《数学的模型》第三版课后答案详解二.pdf

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1、.一、假如设在疾病传播期内所考察地区的总人口数为N,t时刻易感染者和已感染者两类人在总人口数中所占的比例分别为()s t和()i t,每个病人每天有效接触的平均人数是常数,试建立传染病模型中的SI 模型.15 分 解：由题意可知()()1diNisNdts ti t 4 分 令0(0)ii 如此有0(1),(0)diiiiidt4 分 解得：01111tiei 4 分 其关系式图如图 3、图 4 3 分 二、设渔场鱼量的自然增长服从 Gompertz 模型xNrxtxln)(,又单位时间捕捞量为Exh,讨论渔场鱼量的平衡点与其稳定性,求最大持续产量mh与获得最大产量的捕捞强度mE和渔场鱼量水平

2、*0 x.15 分 解：设时刻t渔场中鱼量为 x t,由得：（1）鱼量的自然增长服从 Gompertz 规律,即 ()lnNx tf xrxx 2 分 其中r为固有增长率,N为环境容许的最大鱼量.（2）单位时间的捕捞量 h x与渔场鱼量 x t成正比,即 h xEx,其中比例系数E为单位时间捕捞率 2 分 从而,在有捕捞的条件下,有以下的方程()()()()lnNx tF xf xh xrxExx 2 分 令 0 x t,即 0F x,也即ln0NrxExx 解得两个平衡点 图 3 图 4.所以0 x点稳定,1x点不稳定.2 分 由图 4 可知,当()()h xf x与在抛物线*P顶点相交时可

3、获得最大的持续产量,此时的稳定平衡点为*0Nxe 且单位时间的最大持续产量和捕捞率为：,mmrNhEre 3 分 三、某渔场在无捕捞条件下,鱼量的自然增长服从 Logistic 规律,假如在有捕捞的条件下,单位时间的捕捞量与渔场鱼量成正比,试建立捕鱼业的持续收获中的产量模型.15 分 解：设时刻t渔场中鱼量为 x t,由得：（3）鱼量的增长服从Logistic规律,即 ()(1)xx tf xrxN 其中r为固有增长率,N为环境容许的最大鱼量.（4）单位时间的捕捞量 h x与渔场鱼量 x t成正比,即 h xEx,其中比例系数E为单位时间捕捞率 从而,在有捕捞的条件下,有以下的方程()()()

4、()(1)xx tF xf xh xrxExN 令 0 x t,即 0F x,也即(1)0 xrxExN 解得两个平衡点 01(1),0ExNxr 所以假如Er,有01()0,()0F xF x,故0 x点稳定,1x点不稳定；假如Er,如此结果正好相反.2 分 由图2可知,当()()h xf x与在抛物线*P顶点相交时可获得最大的持续产量,此时的稳图:图:.定平衡点为*02Nx 且单位时间的最大持续产量和捕捞率为 即使渔场鱼量保持在最大鱼量 N 的一半时,能够获得最大的持续产量.3 分 四、求差分方程211251428,3,5kkkxxxxx的解.15 分 解：21514280kkkxxx 令2211,kkkkkkyxa yxa yxa 2 分 如此有 215140kkkyyy 1 从而得 14514289aaaa 3 分 由1式的特征方程 从而 112212(2)7kkkkkycccc 2 1214(2)79kkkkxyacc3 4 分 把123,5xx代入3式得 解得 123814127567cc，4 分 13814114(2)72756793814114(2)7)27819kkkkkkxx 或 2 分