2016挑战中考数学压轴题因动点产生的面积问题.pdf

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1、精品 因动点产生的面积问题 例 1 2015 年河南省中考第 23 题 如图 1，边长为 8 的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PFBC于点F点D、E的坐标分别为(0,6)、(4,0)，联结PD、PE、DE（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值 进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使PDE的周长最小

2、的点P也是一个“好点”请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE周长最小时“好点”的坐标 图 1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“15 河南 23”，拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，“使PDE的面积为整数”的点P共有 11 个 思路点拨 1第（2）题通过计算进行说理设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长 2第（3）题用第（2）题的结论，把PDE的周长最小值转化为求PEPF的最小值 满分解答（1）抛物线的解析式为2188yx （2）小明的判断正确，对于任意一点P，PDPF2说理如下：设点P的坐标为21(,8)8xx，那么PFyFyP21

3、8x 而FD222222222111+(86)+(2)(2)888xxxxx，所以FD2128x 因此PDPF2 为定值（3）“好点”共有 11 个 精品 在PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FDPE的最小值 而PDPE(PF2)PE(PFPE)2，因此当P、E、F三点共线时，PDE的周长最小（如图 2）此时EFx轴，点P的横坐标为4 所以PDE周长最小时，“好点”P 的坐标为(4,6)图 2 图 3 考点伸展 第（3）题的 11 个“好点”是这样求的：如图 3，联结OP，那么SPDESPODSPOESDOE 因为SPOD1()32PODxx ，SPOE2111624POE yx，S

4、DOE12，所以 SPDE21316 124xx21344xx21(6)134x 因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x6 如图 4，当8x0 时，4S13所以面积的值为整数的个数为 10 当S12 时，方程21(6)13124x的两个解8,4 都在8x0 范围内 所以“使PDE的面积为整数”的“好点”P共有 11 个 图 4 精品 例 2 2014 年昆明市中考第 23 题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3（a0）与x轴交于A(2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒 3 个单位长度的速度向点

5、B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动 其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动当PBQ存在时，求运动多少秒时PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使SCBKSPBQ52，求点K的坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 昆明 23”，拖动点P从A向B运动，可以体验到，当P运动到AB的中点时，PBQ的面积最大双击按钮“PBQ面积最大”，再拖动点K在BC下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为 2.5 精品 思路点拨 1PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小

6、值 2 PBQ与PBC是同高三角形，PBC与CBK是同底三角形，把CBK与PBQ的比转化为CBK与PBC的比 满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(2,0)、B(4,0)两点，所以ya(x2)(x4)所以8a3解得38a 所以抛物线的解析式为3(2)(4)8yxx233384xx（2）如图 2，过点Q作QHx轴，垂足为H 在 RtBCO中，OB4，OC3，所以BC5，sinB35 在 RtBQH中，BQt，所以QHBQsinB35t 所以SPBQ211399(63)(1)2251010BP QHttt 因为 0t2，所以当t1 时，PBQ的面积最大，最大面积是910。（3）当PBQ的面积最大时

7、，t1，此时P是AB的中点，P(1,0)，BQ1。如图 3，因为PBC与PBQ是同高三角形，SPBCSPBQBCBQ51。当SCBKSPBQ52 时，SPBCSCBK21。因为PBC与CBK是同底三角形，所以对应高的比为 21。如图 4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PBDB21。因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，点D的坐标为11(,0)2 过点K作KEx轴于E设点K的坐标为3(,(2)(4)8xxx 由KECODEBO，得3(2)(4)38942xxx整理，得x24x30 解得x1，或x3所以点K的坐标为27(1,)8或15(3,)8 图 2 图 3 图 4 精品

8、考点伸展 第（3）题也可以这样思考：由SCBKSPBQ52，SPBQ910，得SCBK94 如图 5，过点K作x轴的垂线交BC于F设点K的坐标为233(,3)84xxx 由于点F在直线BC：334yx上所以点F的坐标为3(,3)4xx 所以KF2233333(3)(3)48482xxxxx CBK被KF分割为CKF和BKF，他们的高的和为OB4 所以SCBK213394()2824xx解得x1，或x3 图 5 例 3 2013 年苏州市中考第 29 题 如图 1，已知抛物线212yxbxc（b、c是常数，且c0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1

9、,0)精品 （1）b_，点B的横坐标为_（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE/BC，与抛物线交于点E点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC设PBC的面积为S 求S的取值范围；若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有_个 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“13 苏州 29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与COB保持相似点击按钮“C、D、E三点共线”，此时EHDCOD拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有 11

10、 个 请打开超级画板文件名“13 苏州 29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，EHA与COB保持相似点击按钮“C、D、E三点共线”，此时EHDCOD拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有 11 个 思路点拨 1用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB2OC 2当C、D、E三点共线时，EHACOB，EHDCOD 3求PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方 4 求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数注意排除点A、C、B三个时刻的值 满分解答（1）b12c，点B的横坐标为2c（2）由2111()

11、(1)(2)222yxcxcxxc，设 E1(,(1)(2)2xxxc 过点E作EHx轴于H 由于OB2OC，当AE/BC时，AH2EH 所以1(1)(2)xxxc 因此1 2xc 所以(12,1)Ecc 当C、D、E三点在同一直线上时，EHCODHDO所以1212ccc 精品 整理，得 2c23c20解得c2 或12c（舍去）所以抛物线的解析式为213222yxx （3）当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F 直线BC的解析式为122yx 设213(,2)22P mmm，那么1(,2)2F mm，2122FPmm 所以SPBCSPBFSPCF221()24(2)42BCFP xxFP

12、mmm 因此当P在BC下方时，PBC的最大值为 4 当P在BC上方时，因为SABC5，所以SPBC5 综上所述，0S5 若PBC的面积S为正整数，则这样的PBC共有 11 个 考点伸展 点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）当P在BC下方，S4 时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点 精品 例 4 2012 年菏泽市中考第 21 题 如图 1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转 90，得到三角形ABO（1）一抛物线经过

13、点A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积的 4 倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 菏泽 21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体精品 验到，当四边形PBAB是等腰梯形时，四边形PBAB的面积是ABO面积的 4倍 请打开超级画板文件名“12 菏泽 21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PBAB是等腰梯形时，四边形PBAB的面积是A

14、BO面积的 4倍 思路点拨 1四边形PBAB的面积是ABO面积的 4 倍，可以转化为四边形PBOB的面积是 ABO面积的 3 倍 2联结PO，四边形PBOB可以分割为两个三角形 3 过点向x轴作垂线，四边形PBOB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形 满分解答（1）AOB绕着原点O逆时针旋转 90，点A、B的坐标分别为(1,0)、(0,2)因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(2,0)，设解析式为ya(x1)(x2)，代入B(0,2)，得a1 所以该抛物线的解析式为y(x1)(x2)x2x2（2）SABO1 如果S四边形PBAB4 SABO4，那么S四边形PBOB3 SABO3 如图 2，

15、作PDOB，垂足为D 设点P的坐标为(x，x2x2)2321111()(22)22222PB ODSDO B OPDxxxxxx 梯形 2321113(2)(2)22222PDBSDBPDxxxxx 所以22+2PDBPB A DPB ODSSSxx 四边形梯形 解方程x22x23，得x1x21 所以点P的坐标为(1，2)图 2 图 3 图 4（3）如图 3，四边形PBAB是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线 考点伸展 精品 第（2）题求四边形PBOB的面积，也可以如图 4 那样分割图形，这样运算过程更简

16、单 11222PB OPSB O xxx 22112(2)222PBOPSBO yxxxx 所以22+2PB OPBOPB A DSSSxx 四边形 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作AOB关于抛物线的对称轴对称的BOE，那么点E的坐标为(1，2)而矩形EBOD与AOB、BOP是等底等高的，所以四边形EBAB的面积是ABO面积的 4 倍因此点E就是要探求的点P 精品 例 5 2012 年河南省中考第 23 题 如图 1，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线yax2bx3 交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为 3点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B

17、重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D（1）求a、b及 sinACP的值；（2）设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连结PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为 910？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 河南 23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是 910，也可以是 10

18、9 思路点拨 1第（1）题由于CP/y轴，把ACP转化为它的同位角 2第（2）题中，PDPCsinACP，第（1）题已经做好了铺垫 3PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比 4两个三角形的面积比为 910，要分两种情况讨论 满分解答 精品 （1）设直线112yx与y轴交于点E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在 RtAEO中，OA2，OE1，所以5AE 所以2 5sin5AEO 因为PC/EO，所以ACPAEO因此2 5sin5ACP 将A(2,0)、B(4,3)分别代入yax2bx3，得4230,16433.abab 解得12a，12b （2）由2

19、11(,3)22P mmm，1(,1)2C mm，得221111(1)(3)42222PCmmmmm 所以222 52 5159 5sin(4)(1)55255PDPCACPPCmmm 所以PD的最大值为9 55（3）当SPCDSPCB910 时，52m；当SPCDSPCB109 时，329m 图 2 考点伸展 第（3）题的思路是：PCD与PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比 而252 511coscos(4)(2)(4)5525DNPDPDNPDACPmmmm，BM4m 当SPCDSPCB910 时，19(2)(4)(4)510mmm解得52m 当SPCDSPCB1

20、09 时，110(2)(4)(4)59mmm解得329m 精品 例 6 2011 年南通市中考第 28 题 如图 1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx(x0)交于点B(2，1)过点(,1)P p p(p1)作x轴的平行线分别交曲线myx(x0)和myx(x0)于M、N两点（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y2 上，求证：PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由 精品 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11 南通 28”，拖动点P在射线 AB 上运动，可以体验到，当直线 MN 经过（0，2

21、）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN 和AMP 是两个同高的三角形，MN4MP 存在两种情况 思路点拨 1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中 2第（3）题把SAMN4SAMP转化为MN4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论 满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线myx上，所以m2设直线l的解析式为ykxb，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得0,21.kbkb 解得1,1.kb 所以直线l的解析式为1yx （2）由点(,1)P p p(p1)的坐标可知，点P在直线1yx上 x 轴的上方如图 2，当y2 时，点P的坐标为(3，2)此时点M的坐标为(1，2)，点

22、N的坐标为(1，2)由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等腰直角三角形 由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形 所以PMBPNA 图 2 图 3 图 4 （3）AMN和AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上 当SAMN4SAMP时，MN4MP 精品 如图 3，当M在NP上时，xMxN4(xPxM)因此222()4(1)xxxx 解得1132x或1132x（此时点P在x轴下方，舍去）此时1132p 如 图4，当M在NP的 延 长 线 上 时，xMxN 4(xMxP)因 此222()4(1)xxxx 解

23、得152x或152x（此时点P在x轴下方，舍去）此时152p 考点伸展 在本题情景下，AMN能否成为直角三角形？情形一，如图 5，AMN90，此时点M的坐标为（1，2），点 P 的坐标为（3，2）情形二，如图 6，MAN90，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半 不存在ANM90的情况 图 5 图 6 精品 例 7 2010 年广州市中考第 25 题 如图 1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12yxb 交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OA

24、BC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10 广州 25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变双击按钮“第（2）题”可以切换 思路点拨 精品 1数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长 2求ODE的面积，要分两种情况当E在OA

25、上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求ODE的面积 3第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形 4图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理 满分解答(1)如图 2，当E在OA上时，由12yxb 可知，点E的坐标为(2b,0)，OE2b 此时SSODE112122OE OCbb 如图 3，当E在AB上时，把y1 代入12yxb 可知，点D的坐标为(2b2,1)，CD2b2，BD52b把x3 代入12yxb 可知，点E的坐标为3(3,)2b，AE32b，BE52b此时 SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD 131 5133()()(52)1(22)2

26、22 22bbbb 252bb (2)如图 4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DMDN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形 作DHOA，垂足为H由于CD2b2，OE2b，所以EH2 设菱形DMEN的边长为m在 RtDEH中，DH1，NH2m，DNm，所以 12(2m)2m2解得54m 所以重叠部分菱形DMEN的面积为54 图 2 图 3 图 4 考点伸展 把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图 5），精品 那么这个菱形的最小面积为 1，如图 6 所示；最大面积为53，如图 7 所示 图 5 图 6 图 7