2016高中的自主招生数学的模拟试地的题目及答案详解.pdf

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1、.某某市 某某一中 自主招生测试题 一、填空题本大题共 10 小题,每一小题 5 分,共 50 分 1.四个实数中,每三个数的和分别为2,4,5,7,如此这四个实数的积是 a满足3(2)42a aaaa,如此1aa的值是 3.如图,三角形ABC的面积为2,点D、E分别在边AB、AC上,ADAExyABAC,且12yx,如此三角形BDE面积的最大值是 x的 方 程|2|xba有 四 个 实 数 解,如 此 化 简|abababababab的结果是,a x y z满足等式(32)(43)4323axyayzyzyx,如此22xyxyyzzx的值是 6.如图,在直角三角形ABC中,4,3ACBC,D

2、是斜边AB上一动点,DEBC,DFAC,垂足分别是,E F,当EF的长最小时,cosFED 6431xxx被2xx除的余式是,a b c是 互 不 等 的 实 数,三 个 方 程 20 xaxb;20 xbxc;20 xcxa中,有公共根p,有公共根q,有公共根r,如此abc 9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n,假如n是偶数,将其减半；假如n是奇数,将其乘以3加1,不断重复这样的过程,经过假如干步后,一定可以得到1.如正整数6n,按上述规如此变换后,可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n按上述变换后的第8个数是1n是第1个数,1可屡次出现,如此n的所有可能值的个

3、数是 10.如图的一个无穷数表,其中 2014 在表中出现的次数是 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 4 7 10 13 16 5 9 13 17 21 6 11 16 21 26 二、解答题本大题 5 小题,共 70 分 11.此题总分为 12 分点(5,0),(5,0)AB,函数1533yx的图象是直线l,点(,)P a b在l上,满足APB是钝角,试求a的取值 X 围.12.此题总分为 12 分关于x的函数22(1)3ykxkxk的图象与x轴有交点.1求k的取值 X 围；A B C D E A C B D F E y x P A B O l.2假如函数图象与x轴有两个不同的交点1

4、2(,0),(,0)xx,且212122(1)34kxkxkx x.试求k的值,并根据图象指出当13kxk 时,函数的最大值和最小值.13.此题总分为 12 分如图,点D是三角形ABC外接圆上一点,DB的延长线交过点A的切线于点E.假如ABAC,ACBD,3 5AE,4DB,求FC的长.14.此题总分为 16 分如图,点C在以AB为直径的O上,过点B、C作圆的切线交于点P,点Q是BC的中点,求证：AB AQAC AP.15.此题总分为 18 分编号为1,2,25的25X 卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15 号卡片给乙后,甲手中卡片编号的平均数增加0.25,乙手中卡片编号的平均数也增加0

5、.25,求原来甲、乙手中各有多少 X 卡片,并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.试题与解答 一、填空题本大题共 10 小题,每一小题 5 分,共 50 分 1.四个实数中,每三个数的和分别为2,4,5,7,如此这四个实数的积是 解：这四个实数的和为245763,所以这四个数分别是62,64,65,67,即4,2,1,1,其积是-8.a满足3(2)42a aaaa,如此1aa的值是 解：去分母得224322aaaa,移项得2223240aaaa.设22aat,如此方程变为2340tt,1t 或4t 舍去.由221aa得2210aa,所以1aa 2.3.如图,三角形ABC的面积为2,点D、E分别

6、在边AB、AC上,ADAExyABAC,且12yx,如此三角形BDE面积的最大值是 解：(1)(1)2(1)BDEABEABEABCBDAESSx SxSx yABAC 221192(1)()212()248x xxxx ,三角形BDE面积的最大值是98.x的方程|2|xba有四个实数解,如此化简|abababababab的结果是 解：显然0a.假如0a,如此方程可变为|2|xb,方程最多两解,不合题意,所以0a.方程可化为|2|xba.当ba时,方程可化为|2|xba,有两解,不合题意.C A B P Q O A E B C D F A B C D E.当ba时,|2|2,|2|0 xa x

7、,有三解,不合题意.当ba时,|2|,|2|xba xba方程有四解,符合题意.故0ba.从而|1 1 1 1|ababababababababababbaab 2.,a x y z满足等式(32)(43)4323axyayzyzyx,如此22xyxyyzzx的值是 解：假如320 xy,如此(43)43ayzyz,于是430yz；假如430yz,如此(32)23axyyx,于是320 xy；假如320 xy且430yz,如此由230(32)0yxaxy得0a；由430(43)0yzayz得0a,矛盾.故320 xy且430yz.于是643xyz,可令2,3,4xt yt zt,所以 2222

8、222496128xyttxyyzzxttt12.6.如图,在直角三角形ABC中,4,3ACBC,D是斜边AB上一动点,DEBC,DFAC,垂足分别是,E F,当EF的长最小时,cosFED 解：连结CD,如此CDEF,所以EF的长最小时即为CD的长最小,此 时CDAB,于 是FEDFCDB ,所 以coscosBCFEDBAB35.6431xxx被2xx除的余式是 解：64341(1)(1)(1)(1)1xxxxxxx xxx,所以余式是+1x.,a b c是互不等的实数,三个方程20 xaxb;20 xbxc;20 xcxa中,有公共根p,有公共根q,有公共根r,如此abc 解：由20pa

9、pb,20pbpc得,()0ab pbc,cbpab.同理acqbc,barca.1pqr .又,p q r互不相等,如pq,如此,p q的公共根,于是pqr,从而1pqr,代入有1,1,1bacbac ,三式相加得03,矛盾.由上述结论可知,的两根为,p r；的两根为,p q；的两根为,q r.由根与系数关系,有,apr bpq crq,故222abcp q r1.9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n,假如n是偶数,将其减半；假如n是奇数,将其乘以3加1,不断重复这样的过程,经过假如干步后,一定可以得到1.如正整数6n,按上述规如此变换后,可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,

10、1.如果正整数n按上述变换后的第8个数是1A C B D F E.n是第1个数,1可屡次出现,如此n的所有可能值的个数是 解：反推 n的所有可能值的个数是6.10.如图的一个无穷数表,其中 2014 在表中出现的次数是 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 4 7 10 13 16 5 9 13 17 21 6 11 16 21 26 解：观察知,表中第m行第n列的数是1mn.由12014mn 得20133 11 61mn ,m是2013的正约数,所以(,)m n有 8 对,从而2014在表中出现的次数是8.二、解答题本大题 5 小题,共 70 分 11.此题总分为 12 分点(5,0),

11、(5,0)AB,函数1533yx的图象是直线l,点(,)P a b在l上,满足APB是钝角,试求a的取值 X 围.解：以AB为直径作圆,交l于点,C D,如此点P在线段CD上不含端点.4 分 设点00(,)C xy,如此 00220015(1)335(2)yxxy6 分 把1代入2,整理得,220 xx,2,1xx,8 分(2,1),(1,2)CD.故a的取值 X 围是21a.12 分 12.此题总分为 12 分关于x的函数22(1)3ykxkxk的图象与x轴有交点.1求k的取值 X 围；2假如函数图象与x轴有两个不同的交点12(,0),(,0)xx,且212122(1)34kxkxkx x.

12、试求k的值,并根据图象指出当13kxk 时,函数的最大值和最小值.解：1当0k 时,函数为23yx,图象与x轴有交点.2 分 当0k 时,图象与x轴有交点的条件是 解得1k.分 综上,k的取值 X 围是1k.4 分 212122(1)3,kkxxx xkk.5 分 由2112(1)30kxkxk得,21132(1)kxkkx,212122(1)34kxkxkx x可化为 1 2 4 16 8 1 2 32 4 64 10 8 1 128 21 20 3 16 2 5 l y x P A B O C D.12122(1)()4kxxx x8 分 2(1)32(1)4kkkkk 解得,1k 或2k

13、 .10 分 但1k 时,函数图象与x轴仅有一个交点,舍去.2k 时,函数为22132212()22yxxx ,画图可知当1x 1时,最大值为32,最小值为3.12 分 13.此题总分为 12 分如图,点D是三角形ABC外接圆上一点,DB的延长线交过点A的切线于点E.假如ABAC,ACBD,3 5AE,4DB,求FC的长.解：AE是圆的切线,2AEEB ED.设EBx,如此(4)45x x,解得5x.3 分 AE是圆的切线,EABACB.ABAC,ACBABC,EABABC,AEBC,5 分 又BDAC,四边形AEBC是平行四边形,7 分 3 5,5BCAEACBE.又由ACBD得,BFBDF

14、CAC,即3 545FCFC,解得5 53FC.12 分 14.此题总分为 16 分如图,点C在以AB为直径的O上,过点B、C作圆的切线交于点P,点Q是BC的中点,求证：AB AQAC AP.证明：连接OP,如此点Q在OP上.2 分 OBPB,OPBC,2PBPQ PO.4 分 设PA交O于M,如此2PBPM PA.6 分 PQ POPM PA,POMPAQ,OMAQOPAP8 分 OBAQOPAP10 分 又OQAC,BOPBAC,OBPRtACBRt,OBACOPAB,12 分 AQACAPAB,AB AQAC AP.16 分 15.此题总分为 18 分编号为1,2,25的25X 卡片分别

15、拿在甲、乙两人手中.甲将手中的C A B P Q O A E B C D F.15 号卡片给乙后,甲手中卡片编号的平均数增加0.25,乙手中卡片编号的平均数也增加0.25,求原来甲、乙手中各有多少 X 卡片,并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.解：12325325.2 分 设乙原来手中有卡片xX,平均数为y,如此原来甲手中有25xX 卡片,平均数为32525xyx.4 分 由题意得,150.25(1)13103250.25(2)2425xyyxxyxyxx6 分 由得,59144yx 8 分 由得,1(310)(25)(325)(24)(25)(24)4xyxxyxxx,22131025253103252424325(25)(24)4xyxx yxyxx yxx,即11550(25)(24)4xyxxx11 分 将代入得,259111550(25)(24)444xxxxx,解得16x.15 分 故原来甲手中有9X 卡片,乙手中有16X 卡片.把16x 代入3,得434y.于是甲原来9X 卡片总和为325153xy,平均数为17.因此,可写出如下一种原来甲、乙手中所持的卡片：甲：13,14,15,16,17,18,19,20,21.18 分