第四章 功和能习题讲解.pdf

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1、4-14-1 判断正误判断正误（1 1）质点系的总动量为零，总角动量也一定为零。错）质点系的总动量为零，总角动量也一定为零。错（2 2）一质点做直线运动，质点的角动量一定为零。错）一质点做直线运动，质点的角动量一定为零。错（3 3）一质点做直线运动，质点的角动量一定不变。错）一质点做直线运动，质点的角动量一定不变。错（4 4）一质点做匀速率圆周运动，其动量方向在不断改变，所以角动量的方）一质点做匀速率圆周运动，其动量方向在不断改变，所以角动量的方向也随之不断改变。错向也随之不断改变。错4-24-2 两个自由质点，其质量分别为两个自由质点，其质量分别为m m1 1和和 m m2 2，它们之间的相

2、互作用符合万有，它们之间的相互作用符合万有引力定律，开始时，两质点间的距离为引力定律，开始时，两质点间的距离为 l l，它们都处于静止状态，试求当它们的，它们都处于静止状态，试求当它们的1距离变为距离变为l时，两质点的速度各为多少？时，两质点的速度各为多少？2解：把两个质点当一个系统考虑，没有外力作用，动量和机械能守恒。动量守恒:m1v1 m2v2 0机械能守恒Gm1m2m m112 0 G12m1v12m2v2LL222解得：v1 m22G2G,v2 m1L(m1 m2)L(m1 m2)4-34-3 如附图所示，一根线密度为如附图所示，一根线密度为的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下的均匀柔

3、软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离静止在桌面上，求链条下落距离 y y 时对桌面的瞬时作用力。时对桌面的瞬时作用力。解：在落到桌面前，链条个部分为自由落体，当链条下落y 时，下落部分速1率满足：mv2 mgy v 2gy2dt 时刻内将会有 dy 长度的链条落到桌面上，此时桌面上的链条受到支持力N 和重力 G 的作用，二者的合力改变了链条的动量，若指定向上为正，则(N G)dt 0dy(v)即N yg vdyv2dt所以N v2yg 2g

4、y gy 3gy4-44-4 作用在质量为作用在质量为 10kg10kg 的物体上的力为的物体上的力为 F F=（10+2t10+2t）iN N，式中，式中 t t 的单位为的单位为s s。（1 1）求）求 4s4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。（2 2）为了使这力的冲量为）为了使这力的冲量为 200Ns200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原，该力应在这物体上作用多久，试就一原1来静止的物体和一个具有初速度来静止的物体和一个具有初速度-6-6jm/sm/s 的物体，回答这两个问题。的物体，回答这两个问题。解：（

5、1）根据动量定理，Ix(10 2t)t (mv)Ix(mv)(10t t2)0440 56kgm/smv mv 56kgm/s v 56 5.6m/s10（2）当物体原来静止时，在 x 方向Ix(10 2t)dt 200 t210t 200 0 t 10s0t当初速度为v0 6jm/s时，p0 mv0,I p1 p0mv0(10 2t)idt mv0(10 2t)idt00tt由于 y 方向无力作用，y 方向动量为恒矢量，故仍为 10s。4-54-5 一颗子弹由枪口射出时速率为一颗子弹由枪口射出时速率为 v v0 0m/sm/s，当子弹在枪筒内被加速时，它所，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合

6、力为受的合力为 F F=（a a-bt bt）N N（a a，b b 为常数）为常数），其中，其中 t t 以以 s s 为单位：为单位：（1 1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；时间；（2 2）求子弹所受的冲量；）求子弹所受的冲量；（3 3）求子弹的质量。）求子弹的质量。解：（1）子弹到枪口时，有F (a bt)0 t（2）子弹受的冲量aba212aI(a bt)dt at bt，将t 带入得I 02b2btIa2（3）由动量定理，得m v02bv04-64-6 求实验室内观察到相距很远的一个质子

7、（质量为求实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为 m mp p）和一个氦核（质）和一个氦核（质量为量为 4 4m mp p），沿一直线相向运动，速率都是，沿一直线相向运动，速率都是 v v0 0，求二者能达到的最近距离，求二者能达到的最近距离 R R。解：如图4mpv0rminVv0mpV2当质子和氦核相距最近时，它们的速度一定同方向且相等，由动量守恒得34mpv0mpv0(mp 4mp)V V v05质子带电量为 e，氦核带电量为 2e，它们相距为 r 时具有的势能为k2ee2ke2Ep，其中 k 为静电力常量。rr1112ke2222由能量守恒得4mpv0mpv0(4mp mp)V222

8、rmin得：rmin5ke224mpv04-74-7 F Fx x=30+4=30+4t t（式中（式中 F Fx x的单位为的单位为 N N，t t 的单位为的单位为 s s）的合外力作用在质量为）的合外力作用在质量为m m=10kg=10kg 的物体上，试求：的物体上，试求：（1 1）在开始）在开始 2s2s 内此力的冲量；内此力的冲量；（2 2）若冲量）若冲量 I I=300Ns=300Ns，此力作用的时间；，此力作用的时间；（3 3）若物体的初速度）若物体的初速度 v v1 1=10m/s=10m/s，方向与，方向与 F Fx x相同，在相同，在 t t=6.68s=6.68s 时，此

9、物体的时，此物体的速度速度 v v2 2。解：（1）0-2s 内此力的冲量I Fxdt(30 4t)dt (2t230t)002220 68Ns（2）I 300Ns时，2t230t 300，解得t 6.86s（3）I 300 mv mv0，解得v 40m/s4-84-8 如附图所示，在水平地面上，有一横截面如附图所示，在水平地面上，有一横截面 S S=0.20m=0.20m2 2的直角弯管，管中的直角弯管，管中有流速为有流速为 v v=3.0m/s=3.0m/s 的水通过，求弯管所受力的大小和方向。的水通过，求弯管所受力的大小和方向。解：水在竖直方向和水平方向分别利用冲量定理求冲力分量，弯管所

10、受力大小为水所受的冲力合力。在竖直方向：F1dt d(mv)Svdtv在水平方向：F2dt Svdtv水所受的冲力合力大小为：方向沿直角F F12 F222Sv 2 11030.203.02N 2.5103N，平分线指向弯管内侧。由牛顿第三定律，弯管所受力大小为2.5103N，方向沿直角平分线指向弯管外侧。4-94-9 如附图所示，一做斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，如附图所示，一做斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为最高点距离地面为 19.6m19.6m。爆炸。爆炸 1.00s1.00s 后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，后，第一块落到爆炸点正下方的

11、地面上，3此处距抛出点的水平距离为此处距抛出点的水平距离为 1.01.00 010102 2mm。问第二块落在距抛出点多远的地面上。问第二块落在距抛出点多远的地面上（设空气的阻力不计）（设空气的阻力不计）。解：物体在最高点处爆炸的过程，由于爆炸内力远大于重力，重力的冲量可或略，物体爆照过程动量守恒。设作斜抛物体的初速率为 v0，到最高点所需时间为 t0，则由v0y gt0 0，h v0yt012gt0，得到t022hgv0 xx1g（1）x1t02h12gt，当该碎2物体爆炸后，第一块碎片竖直落下的运动方程为y1 h v1t 片落地时，有y1 0,t t11.00s，则得到第一块碎片抛出的速率

12、v1h v112gt12（2）t1再根据动量守恒定律，在最高点处有mv0 x111mv2x（3）;0 mv1mv2y（4）222联解式（1）（4），得g100m/s;v2y v12hh v2x 2v0 x 2x112gt1214.7m/st1爆炸后，第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为x2 x1 v2xt2（5）y2 h v2yt212gt2（6）2落地时，y2 0，由式（5）和（6）可解得x2 500m4-104-10 如附图所示，质量为如附图所示，质量为 7.27.21010-23-23kgkg，速率为，速率为 6.06.010107 7m/sm/s 的粒子的粒子 A A，与，与另一质量为其

13、一半而静止的粒子另一质量为其一半而静止的粒子 B B 发生二维弹性碰撞，碰撞后粒子发生二维弹性碰撞，碰撞后粒子 A A 的速率为的速率为5.05.010107 7m/s.m/s.求：求：（1 1）粒子）粒子 B B 的速率及相对粒子的速率及相对粒子 A A 原来速度方向的偏转角；原来速度方向的偏转角；（2 2）粒子）粒子 A A 的偏转角。的偏转角。cos mBvBcos解：由动量守恒mAvA mAvA mBvB，即mAvA mAvA4sin mBvBsin（2）;（1）;mAvA弹性碰撞，动能不变11122（3）;mAvAmAvA2mBvB222mA 3.61023kg，vA 6.0107m

14、/s，2把mA 7.21023kg，mBvA 5.0107m/s代入式（1）-（3），得vB 4.69107m/s，2220，5464-114-11 如附图所示，一个质量为如附图所示，一个质量为 m m 的小球，从内壁为半球形的容器边缘点的小球，从内壁为半球形的容器边缘点 A A滑下。设容器质量为滑下。设容器质量为m，半径为，半径为 R R，内壁光滑，并放置在摩擦可以或略的水平，内壁光滑，并放置在摩擦可以或略的水平桌面上，桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。开始时小球和容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底部的点当小球沿内壁滑到容器底部的点 B B时，受到向上的支持力为多大？时，受到向

15、上的支持力为多大？解：水平方向系统动量守恒，下滑过程中系统机械能守恒mvm mvm 0;mgR 1212mvmmvm22其中vm、vm分别表示小球到达 B 点时小球、容器相对于桌面的速度，得vm2mgRm2mgR，vmm mmm m以容器为参考系，求在 B 点小球相对容器的速度vm由于vm vm(vm)，得vm vm vm容器参考系中，小球圆周运动的向心力为mvm22mgR(m m)2mFN mg FN mg mg(3)RmRm2gR(m m)m4-124-12 如附图所示如附图所示,质量为质量为m m,速度为速度为v v的钢球的钢球,射向质量为射向质量为m m的靶，靶中心有的靶，靶中心有一小

16、孔一小孔,内有劲度系数为内有劲度系数为k k的弹簧，此靶最初处于静止状态的弹簧，此靶最初处于静止状态,，但可在水平面上做，但可在水平面上做无摩擦滑动，求钢球射入靶内弹簧后无摩擦滑动，求钢球射入靶内弹簧后,弹簧的最大压缩距离。弹簧的最大压缩距离。5分析分析这也是一种碰撞问题 碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触直至弹簧被压缩到最大,小球与靶刚好到达共同速度为止,在这过程中,小球和靶组成的系统在水平方向不受外力作用,外力的冲量为零,因此,在此方向动量守恒 但是,仅靠动量守恒定律还不能求出结果来又考虑到无外力对系统作功,系统无非保守内力作功,故系统的机械能也守恒应用上述两个守恒定律,并考虑到球与靶具有相

17、同速度时,弹簧被压缩量最大这一条件,即可求解应用守恒定律求解,可免除碰撞中的许多细节问题解解设弹簧的最大压缩量为x0小球与靶共同运动的速度为v1由动量守恒定律,有mv=m+mv1(1)又由机械能守恒定律,有121122(2)mv=m+mv1kx0222由式(1)、(2)可得x0vk m+mmm4-134-13 自动步枪连发时每分钟可射出自动步枪连发时每分钟可射出 120120 发子弹，每颗子弹质量为发子弹，每颗子弹质量为 7.9g7.9g，出，出口速率为口速率为 735m/s735m/s，求射击时所需的平均力。，求射击时所需的平均力。解：枪射出每发子弹所需时间：t=60/120=0.5s，对子

18、弹应用动量定理：Ft p F p/t mv/t 7.9103735/0.511.6N4-144-14 水水力力采采煤煤,是是用高用高 压压水枪水枪 喷喷出的出的 强力水强力水 柱柱冲击冲击 煤煤层。层。设水柱设水柱 直直径径D 30mm，水速，水速56m/s，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。为零，求水柱对煤的平均冲力。解解t 时间内射向煤层的水柱质量为1m V D2x4煤层对水柱的平均冲击力（如图以向右为正方向）为m2x m1x m1x1x D21xF tt4t1 1.0103(30103)2562 2.22103(

19、N)46水柱对煤层的平均冲力为F F 2.22103N，方向向右。4-154-15 F Fx x30304 4的力作用在质量为的力作用在质量为10kg10kg的物体上，求：的物体上，求：(1)(1)在开始在开始2 2 内此力的冲量；内此力的冲量；(2)(2)若冲量若冲量I I 300 N300 Ns,s,此力作用的时间；此力作用的时间；(3)(3)若物体的初速度若物体的初速度1010 mms s-1-1,方向与方向与F F 相同相同,在在t t6.86s6.86s时时,此物体的速度是此物体的速度是多少多少？分析分析本题可由冲量的定义式I I F dt,求变力的冲量,继而根据动量定理t1t2求物

20、体的速度v22解(1)由分析知I I 304tdt 30t 2t2|0 68Ns012(2)由I 300 30t 2t2,解此方程可得t 686 s(另一解不合题意已舍去)(3)由动量定理,有I m v2-m v1由(2)可知t 686 s 时I 300 Ns,将I、m 及v1代入可得I mv1v2 40ms-1m4-164-16 质量为质量为mm的质点在的质点在xOyxOy平面内运动，其运动方程平面内运动，其运动方程r r acosti i bsintj j，求：求：(1)(1)质点的动量；质点的动量；(2)(2)从从t t0 0到到t 2这段时间内质点受到的合力的冲量；这段时间内质点受到的

21、合力的冲量；(3)(3)在上述时间内，质点的动量是否守恒在上述时间内，质点的动量是否守恒?为什么为什么?解 质点的速度v v dr r asinti i bcostj j(1)dt(1)质点的动量p p mv v m asinti i bcostj j(2)由(1)式得t 0时，质点的速度v v0 bj jt 2时，质点的速度为v vt asin 2i i bcos2j j bj j根据动量定理I p mvt mv0 0dr r asinti i bcostj jdtdv v解法二：a a a2costi i bw2sintj jdtF F ma a ma2costi i mbw2sintj

22、jv v 72020I I F F dt ma2costi i mbw2sintj j dt 0(3)质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间 t 变化。4-174-17 将一空盒放在台秤盘上，将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底然后从高出盒底h h处将石子以每秒处将石子以每秒n n个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为mm。假定石子与盒。假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后t t秒时，台秤的读数。秒时，台秤的读数。解 t 秒钟后台秤的读数

23、包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称盘的压力N1，另一部分是正下落的石子对秤的冲力N2，显然N1 nmgt取t时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为N，根据动t p 0 nmtv 0 nmt 2gh量定理N2 nm 2gh所以N2 nm 2gh故t时间下落的石子对称的冲力N2 N2因此秤的读数为N N1 N2 nmgt nm 2gh4-184-18 以速度以速度v0前进的炮车，向后发射一炮弹，已知炮车的仰角为前进的炮车，向后发射一炮弹，已知炮车的仰角为，炮弹和，炮弹和炮车的质量分别为炮车的质量分别为 m m 和和 MM，炮弹相对炮车的出口速率为，炮弹相对炮车的出口速率为 v

24、 v，如图所示。求炮车，如图所示。求炮车的反冲速率是多大的反冲速率是多大?解 以大地为参照系，取炮弹与炮弹组成的系统为研究对象，系统水平方向的动量守恒。由图可知炮弹相对于地面的速度的水平分量为vcos v，根据动量守恒定律M mv0 mvcos v Mv所以vM mv0 mvcosM m此即为炮车的反冲速率。4-194-19一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为 20g20g，在，在 A A、B B 两位两位置处的速率都是置处的速率都是 2020m s，vA与与 x x 轴成轴成450角，角，vB与与 y y 轴垂直，求质点由轴垂直，求质点由 A

25、A 点运点运动到动到 B B 点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。8解 由题意知，质点由 A 点到 B 点动量的改变为px mvB mvAcos450 2010320 20103202 0.683kgm s2py 0 mvAsin450 20103202 0.283kgm s2根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量Ix px;Iy py22所以I Ix Iypx2py2IgIx22 0.6 83 0.2 83 0.7 3 9 Ns冲量与 x 轴之间的夹角 arctan arctan 0.283 202.50 0.6834-204-20 如图所示，砂子

26、从如图所示，砂子从 h h0.8m0.8m 处下落到以处下落到以v03 3m s的速率沿水平向右运动的的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下传输带上，若每秒钟落下 100kg100kg 的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。解 如图所示，设t时间内落下的砂子的质量为m，则m的动量改变p p mv v0 v v1显然有v12gh由图可知p mv12mv0222 m v1 v0根据动量定理F Ft p p所以F pm2m22v1 v02gh v0ttt mvmv1 1 mvmv0 0 p p10029.80.8 32 497Nv22 2m s方方

27、4-214-21矿砂从传输带矿砂从传输带 A A 落到另一传输带落到另一传输带 B B，其速度大小为其速度大小为v14 4m s，向如图所示。设传输带的运送量向如图所示。设传输带的运送量m t20002000kg h，求矿砂作用在传输带，求矿砂作用在传输带 B B 上上的力的大小和方向。的力的大小和方向。y y9x x0 0解 取t时间内落下的矿砂m为研究对象，建立如图所示的坐标系，其动量的改变为px mv2cos2 mv1sin1 mv1sin1 v2cos2py mv2sin2 mv1cos1 mv1cos1 v2sin2根据动量定理F Ft p p;Fxt px;Fyt py所以Fxpx

28、mv1sin1v2cos220004sin3002cos1503.79102Ntt3600pymv2sin2 v1cos120002sin150 4cos300 2.21NFytt3600故矿砂作用在传输带 B 上的力F Fx2 Fy22.1123.79103 2.22N2Fx3.79103 arctg10与竖直方向的夹角 arctgFy2.114-224-22 某弹道火箭初始总质量某弹道火箭初始总质量M012.9t t，内装，内装 m m9.0t9.0t 的燃料，由静止开始的燃料，由静止开始发射。发射。发射时喷气速率发射时喷气速率u 2.0103m s，喷气流量为喷气流量为 q q12512

29、5kg s，二者都是常量。二者都是常量。不计重力及空气阻力，求火箭受到的反推力和它在燃料烧尽后的速度。不计重力及空气阻力，求火箭受到的反推力和它在燃料烧尽后的速度。解 取 dt 时间内喷出的气体为研究对象，根据动量定理Fdt dp udm所以Fdpdmuuqdtdt火箭受到的反推力F F uq(1)F 2.0103125 2.5105N设燃料燃烧尽后火箭的速度为v，根据动量定理Fdt M0 qtdv(2)燃料燃烧时间T m0(3)quqdt(4)M0 qtT联立(1)、(2)两式得dv 将上式积分得0vdv 0uqdt(5)M0 qt联立(3)、(5)两式得v ulnM012.9 2.0103

30、ln 2.4103m sM0 m012.9 9.0104-234-23初始质量为初始质量为M0的火箭，在地面附近空间以相对于火箭的速率的火箭，在地面附近空间以相对于火箭的速率 u u 垂直垂直向下喷射高温气体，每秒钟消耗的燃料量向下喷射高温气体，每秒钟消耗的燃料量dm dt为常量为常量 C C。设初速为零，试求火。设初速为零，试求火箭上升速度与时间的函数关系。箭上升速度与时间的函数关系。解：经过时间 t 后，火箭的速度为 v，dv uvM0ctdm gdtm0dv M0dmtugdt0mM0 gtM0 ct因此v uln4-244-24依靠火箭将卫星进入轨道。依靠火箭将卫星进入轨道。发射前火箭

31、和卫星的总质量为发射前火箭和卫星的总质量为M012.0t t。其中燃料质量其中燃料质量m m=9.0t=9.0t。若希望在燃料烧尽后火箭能达到第一宇宙速度若希望在燃料烧尽后火箭能达到第一宇宙速度 v v=7.9=7.9kg s，不计空气阻力和重力，则燃料喷气相对于火箭的速率不计空气阻力和重力，则燃料喷气相对于火箭的速率 u u 应为多大应为多大?解：v ulnM0M0 mv7.9103u 5.7103m s 5.7km s所以M012.0lnln12.0 9.0M0 m4-254-25质量为质量为 m m 的质点，的质点，当它处在当它处在 r r=-2=-2i i+4+4j j+6+6k k

32、的位置时的速度的位置时的速度 v v=5=5i i+4+4j j+6+6k k，试求其对原点的角动量。试求其对原点的角动量。解：质点对原点的角动量为L L r r p p mr r v vi ij jk k m 246 m(42j j 28k k)5464-264-26一质量为一质量为 m m2200kg2200kg 的汽车的汽车 v v=60=60km h的速率沿一平直公路行驶。的速率沿一平直公路行驶。求求汽车对公路一侧距公路为汽车对公路一侧距公路为 d d50m50m 的一点的角动量是多大的一点的角动量是多大?对公路上任一点的角对公路上任一点的角动量又是多大动量又是多大?解：根据角动量的定

33、义式L L r r mv v(1)L rmvsin mvd 220060103360050 1.83106kg m2s(2)对公路上任一点 r rv v，所以L 04-274-27 哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是r18.751010m，其时它的速率为，其时它的速率为v15.46104m s；它离太阳最远时的速率是；它离太阳最远时的速率是11v29.08102m s，这时它离太阳的距离，这时它离太阳的距离r2是多少。是多少。解：彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最远的地点时，速

34、度的方向均与对太阳的矢径方向垂直，所以根据角动量守恒mr1v1 mr2v2r1v18.7510105.46104由此得到r2 5.261012m2v29.08104-284-28若将月球轨道视为圆周，其转动周期为若将月球轨道视为圆周，其转动周期为 27.3d27.3d，求月球对地球中心的，求月球对地球中心的角动量及面积速度角动量及面积速度(m月 7.351022kgkg，轨道半径，轨道半径 R R=3.84108m)m)。解：设月球的速度为v，月球对地球中心的角动量为L，则v 2R/TL m月Rv m月2RT22827.3510(3.8410)23.14 2.891034kg m2/s27.3

35、243600月球的面积速度为v面R2/T 1.961011m2/s4-294-29氢原子中的电子以角速度氢原子中的电子以角速度 4.13106r a ds在半径在半径r 5.31010mm 的的圆形轨道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数圆形轨道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数h h 表示之表示之(h 6.631034Js)。解：电子的轨道角动量L mr29.11031 5.3101024.131061.0610421.6109JsL 2.411024h4-304-30海海王王星星的的轨轨道道运运动动可可看看成成是是匀匀速速率率圆圆周周运运动动，轨轨道道半半径径

36、约约为为绕太阳运行的周期为绕太阳运行的周期为 T T=165=165 年。年。海王星的质量约为海王星的质量约为m 1.01026kg，R 5109km，试计算海王星对大阳中心的角动量的大小。试计算海王星对大阳中心的角动量的大小。解：海王星对太阳中心的角动量L mRv;v 2RT293联立两式得到L m2R1.010262 5.010 103.021042kgm2sT16536524360024-314-316 6 月月 2222 日，地球处于远日点，到太阳的距离为日，地球处于远日点，到太阳的距离为1.521011mm，轨道速度，轨道速度为为2.93104m s。6 6 个月后，地球处于近日点，

37、到太阳的距离为个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为1.471011m。求：(1)在近日点地球的轨道速度；(2)两种情况下地球的角速度。12解：设在近日点附近地球的轨道速度为v1，轨道半径为r1，角速度为1；在远日点地球的轨道速度为v2，轨道半径为r2，角速度为2。(1)取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。m地r1v1 m地r2v2r2v21.521011 2.93104所以v1 3.03104m s11r11.471044(2)1v13.0310 2.06107rad s;2v22.93101.93107rad s1111r11.4710r21.53104-324-32 光滑圆盘上有

38、一质量为光滑圆盘上有一质量为m的物体的物体 A A，拴在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细，拴在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细绳上，如图所示。开始时，该物体距圆盘中心绳上，如图所示。开始时，该物体距圆盘中心 O O 的距离为的距离为r0，并以角速度，并以角速度0绕绕盘心盘心 O O 作圆周运动。现向下拉绳，当质点作圆周运动。现向下拉绳，当质点 A A 的径向距离由的径向距离由r0减少到减少到12r0时，向下时，向下拉的速度为拉的速度为v，求下拉过程中拉力所作的功。，求下拉过程中拉力所作的功。解：质点所受合外力为有心力，角动量守恒mv0r0 mvrv为12r0时小球的横向速度。221根据质点的动能定理，

39、拉力作功A 12mvB2mv02vB为小球对地的总速度，而vB v2 v222231当r 12r0时A 2mr002mv4-334-33如图所示，如图所示，在光滑的水平面上有一轻质弹簧在光滑的水平面上有一轻质弹簧(其劲度系数为其劲度系数为 k)k)，它的一端它的一端固定，另一端系一质量为固定，另一端系一质量为m m的滑块的滑块.最初滑块静止时，弹簧呈自然长度最初滑块静止时，弹簧呈自然长度l l0 0，今有一质量为今有一质量为m m的子弹以速度的子弹以速度v v0 0沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l l时，求滑块速度时，求滑块速度v v的大的大小和方向小和方向.13解：子弹射入滑块瞬间，因属非弹性碰撞，根据动量守恒定律有mv0m mv (1)在弹簧的弹力作用下，滑块与子弹一起运动的过程中，若将弹簧包括在系统内，则系统满足机械能守恒定律，有 (2)111222m mv m mv kl l0222又在滑块绕固定点作弧线运动中，系统满足角动量守恒定律，故有mmvl0mmvlsin (3)式中 为滑块速度方向与弹簧线之间的夹角.联立解上述三式，可得22，mv0l0m2kl l0 arcsinv v0m mvlmmmm14