新人教版九年级数学(上)——圆地概念与垂径定理.pdf

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1、知识点一、圆的定义知识点一、圆的定义圆的概念与垂径定理圆的概念与垂径定理1 1、圆的第一定义：、圆的第一定义：在一个平面内在一个平面内,线段线段OAOA绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O O旋转一周旋转一周,另一个端点另一个端点A A所形成的图形叫做圆所形成的图形叫做圆这个固定的端点O叫做圆心圆心,线段OA叫做半径半径以O点为圆心的圆记作：O O,读作圆圆 O O2 2战国时期的墨经中对圆的定义是：圆圆,一中同长也一中同长也3 3圆的第二定义：圆的第二定义：由圆的定义可知：圆上的各点到圆心的距离都等于定长即半径定长即半径 rr；在一个平面内,到圆心的距离等于半径长的点都在圆上因此,圆是在一

2、个平面内圆是在一个平面内,所有到一个定点的距离等于定长的点组成的所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形图形要确定一个圆,需要两个根本条件：一个是圆心一个是圆心,另一个是半径另一个是半径,其中,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小注意：由圆的概念可知：注意：由圆的概念可知：错误错误!圆指的是圆指的是 圆周圆周,即一条封闭的曲线即一条封闭的曲线,而不是圆面而不是圆面.错误错误!确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径.例题例题 1 1：如下说法错误的有错误错误!经过 P 点的圆有无数个；错误错误!以 P 为圆心的圆有无数个；错误错误!半径为 3cm 且经过 P 点

3、的圆有无数个；错误错误!以 p 为圆心,以 3cm 为半径的圆有无数个.A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个知识点二、圆的有关概念知识点二、圆的有关概念1 1弦：弦：连结圆上任意两点间的线段线段叫做弦弦经过圆心的弦叫做直径直径并且直径是同一圆中最长最长的弦的弦2.2.弧：弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧圆弧,简称弧弧,以 A,C 为端点的弧记作AC,读作圆弧圆弧 ACAC或弧弧 ACAC3 3圆的直径直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆半圆4 4在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧大于半圆的弧叫做优弧；如以下图ABC叫做优弧小于半圆的弧叫做劣弧小于半圆的弧叫做劣弧 如以下图AC或BC

4、叫做劣弧5 5半径相等的两个圆叫做等圆等圆反过来,等圆的半径相等；在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧等弧.例题例题 2 2：如下命题中,正确的个数是.错误错误!直径是圆中最长的弦；错误错误!弧是半圆；错误错误!过圆心的直线是直径；错误错误!半圆不是弧.A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个例题例题 3 3：如下几个命题中,正确的答案是 A两条弧的长度相等,那么他们是等弧 B.等弧只有在同圆中存在.C.度数相等的弧的长度相等 D.等弧的长度相等巩固练习巩固练习如如下图,假如点 O 为O 的圆心,如此线段_是圆 O 的半径；线段_是圆 O 的弦,其中最长的弦是_；_是劣弧；_是半圆假

5、如A=40,如此ABO=_,C=_,ABC=_综合讲练综合讲练讲练讲练 1 1：如图,在同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C,D 两点求证：AOC=BOD；试确定 AC 与 BD 两线段之间的大小关系,并证明你的结论讲练讲练 2 2：如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的弦,AB,CD 的延长线交于 E,假如 AB=2DE,E=18,求C 与AOC 的度数知识点三、垂直于弦的直径垂径定理知识点三、垂直于弦的直径垂径定理1 1圆是轴对称图形圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线其对称轴是任意一条过圆心的直线说明：圆的对称轴是直径所在的直线说明：圆的对称轴是直径所在的直线,而不是直径本

6、身而不是直径本身圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴2 2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧用符号语言描述：O 中 CD 是直径、AB 是弦,且 CDAB 于 M,AMBM,ACBC,AD BD你能试着证明吗？你能试着证明吗？说明：说明：垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；在有关计算直径或半径、弦长以与圆心到弦的距离等问题在有关计算直径或半径、弦长以与圆心到弦的距离等问题理常常和勾股定理结合使用理常常和勾股定理结合使用,2 22 22 2即：即：弦的一半弦的一半 圆心到弦的距

7、离圆心到弦的距离 半径半径 例例 1 1 如图,直线与两个同心圆分别交于图示的各点,如此正确的答案是AMP 与 RN 的大小关系不定B.MP=RNC.MPRND.MPRN例例2 2 如图,AB是O的弦,半径OCAB于D点,且AB6cm,OD4cm,求 DC 的长 课堂操练课堂操练 1 1如图,O 的直径 CDAB,AOC=50,如此CDB 大小为A、25B、30C、40D、50中中,垂垂径径定定2 2 如图,在直径 AB12 的O 中,弦 CDAB 于 M,且 M 是半径 OB 的中点,求弦 CD 的长 结果保存根号.3 3如图,O 的直径 CD10cm,AB 是O 的弦,ABCD,垂足为3：

8、5,求 AB 的长AM,OM：OCCMBOD知识点四、垂径定理的推论知识点四、垂径定理的推论推论推论 1 1：平分弦不是直径的直径垂直于弦：平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧第 2 题图推论推论 2 2：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.推论推论 3 3：弦的垂直平分线经过圆心：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.问：你能分别用符号语言描述吗？请试着表示！概念理解：概念理解：1下面四个命题中正确的一个是A平分一条直径的弦必垂直于这条直径B

9、平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2如下命题中,正确的答案是 A过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧跟踪练习：跟踪练习：1、如图,CD 为O 的直径,ABCD 于 E,DE=8cm,CE=2cm,如此 AB=_cm1 题图2如图,O 的半径 OC 为 6cm,弦 AB 垂直平分 OC,如此 AB=_cm,AOB=_2 题图3如图,AB 为O 的弦,AOB=90,AB=a,如此 OA=_,O 点到 AB 的距离=_3 题

10、图4如图,O 的弦 AB 垂直于 CD,E 为垂足,AE=3,BE=7,且 AB=CD,如此圆心 O 到 CD 的距离是_4 题图5如图,P 为O 的弦 AB 上的点,PA=6,PB=2,O 的半径为 5,如此 OP=_5 题图6如图,O 的弦 AB 垂直于 AC,AB=6cm,AC=4cm,如此O 的半径等于_cm6 题图综合讲练：综合讲练：讲练讲练 1 1：如图,AB 是O 的直径,弦 CD 交 AB 于 E 点,BE=1,AE=5,AEC=30,求 CD 的长讲练讲练 2 2：如图,试用尺规将它四等分讲练讲练 3 3：O 的半径为 25cm,弦 AB=40cm,弦 CD=48cm,ABC

11、D求这两条平行弦 AB,CD之间的距离讲练讲练 4 4：如图,A,B 是半圆 O 上的两点,CD 是O 的直径,AOD=80,B 是的中点在 CD 上求作一点 P,使得 APPB 最短；假如 CD=4cm,求 APPB 的最小值随堂练习：随堂练习：1如以下图,O 的直径 AB 和弦 CD 交于 E,AE=6cm,EB=2cm,CEA=30,求 CD 的长2、如图,AB、AC为O的两条弦,D、E分别为AB、AC中点,求证：AM=AN.A3、如以下图,在 RtABC 中,C900,AC3,BC4,以点 C 为圆心,CA为半径的圆与 AB、BC 分别交于点 D、E,求 AB 和 AD 的长.4、如图

12、,：在O中,AB是直径,CD是弦,CE CD交AB于E,DF CD交AB于F求证：AE BF5、如以下图,P 为弦 AB 上一点,CPOP 交O 于点 C,AB8,AP:PB1:3,求 PC 的长.ADMNOEBDEBCCA.POBC6如以下图,破残的圆形轮片上,弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C,交弦 AB 于点 D.：AB=24cm,CD=8cmC1求作此残片所在的圆不写作法,保存作图痕迹；AB2求1中所作圆的半径.D7、如图,AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,ABMN 于点 E,CDMN 于点 F,P 为 EF 上的任意一点,如此PA+PC 的最小值为多少？.