(新课标)2020版高考数学二轮复习专题六函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程学案理新人教A版(.pdf

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1、第 2 讲 基本初等函数、函数与方程 做真题 题型一 指数与指数函数 1（2019高考全国卷）已知alog20。2，b20.2，c0.20。3，则()Aabc Bacb Ccab Dbca 解析：选 B因为alog20.21，c0。20。3（0,1）,所以acb。故选B 2(2016高考全国卷）已知a2错误!，b4错误!,c25错误!，则（)Abac Babc Cbca Dcab 解析：选 A因为a2错误!16错误!，b4错误!16错误!，c25错误!，且幂函数yx错误!在 R 上单调递增,指数函数y16x在 R 上单调递增,所以bac.3(一题多解)（2019高考全国卷)已知f（x）是奇函数

2、，且当x0 可得x0 时，f(x)f(x)ea(x）eax，则f（ln 2）ealn 28,所以aln 2ln 83ln 2，所以a3.法二：由f(x)是奇函数可知f(x）f(x），所以f（ln 2）f错误!(ealn 错误!)8,所以aln 错误!ln 83ln 2，所以a3。答案：3 题型二 对数与对数函数（一题多解）(2016高考全国卷）若ab1，0c1，则()Aacbc Babcbac Calogbcblogac Dlogaclogbc 解析：选 C法一：由ab1，0cbc，A 错；因为 0c1,所以1c1ac1,又ab0,所以abbc1abac1，即abcbac，B 错;易知ylog

3、cx是减函数,所以 0logcblogca，D 错;由 logbclogac0,又ab10，所以alogbcblogac0，所以alogbcblogac，故 C 正确 法二：依题意，不妨取a4,b2，c错误!.易验证 A、B、D 均是错误的，只有 C 正确 题型三 函数的零点问题 1（2017高考全国卷）已知函数f（x)x22xa(ex1ex1）有唯一零点,则a（)A错误!B错误!C错误!D1 解析：选 C由f(x）x22xa(ex1ex1)，得f（2x）（2x)22(2x）ae2x1e（2x）1x24x442xa（e1xex1)x22xa(ex1ex1），所以f（2x）f（x），即x1 为f

4、（x)图象的对称轴由题意，f（x)有唯一零点，所以f(x）的零点只能为x1,即f(1）1221a(e11e11）0,解得a错误!。故选 C 2(2018高考全国卷)已知函数f（x)错误!，g(x）f（x）xa.若g(x)存在 2个零点,则a的取值范围是(）A1,0）B0，)C1，）D1,)解析：选 C函数g(x）f(x）xa存在 2 个零点，即关于x的方程f(x)xa有2 个不同的实根，即函数f（x)的图象与直线yxa有 2 个交点，作出直线yxa与函数f（x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选 C 3（2018高考全国卷)函数f(x)cos（）3x6在0，的零点个数为_ 解析：

5、由题意知，cos错误!0，所以 3x错误!错误!k，kZ，所以x错误!错误!，kZ，当k0 时，x错误!；当k1 时，x错误!;当k2 时,x错误!，均满足题意，所以函数f（x)在0，的零点个数为 3.答案:3 明考情 1基本初等函数作为高考的命题热点,多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第511题的位置,有时难度较大 2函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难 基本初等函数的图象与性质 典型例题 (1）(2019高考北京卷)下列函数中，在区间(0，）上单调递增的是（)Ayx错误!B y2x Cylog错误!x Dy错误!(2)

6、(2019高考天津卷)已知alog27,blog38,c0.30。2，则a，b，c的大小关系为（)Acba Babc Cbc0,且a1)的图象可能是(）【解析】（1）对于幂函数yx,当0 时，yx在（0，）上单调递增，当0 时，yx在(0,）上单调递减，所以选项 A 正确；选项 D 中的函数y错误!可转化为yx1,所以函数y错误!在(0，)上单调递减，故选项 D 不符合题意；对于指数函数yax(a0,且a1)，当 0a1 时,yax在(,)上单调递增，而选项 B 中的函数y2x可转化为y错误!错误!，因此函数y2x在(0，）上单调递减，故选项 B 不符合题意;对于对数函数ylogax(a0，且

7、a1）,当 0a1 时,ylogax在（0，）上单调递减，当a1 时,ylogax在(0，）上单调递增,因此选项 C 中的函数ylog错误!x在(0，)上单调递减，故选项 C 不符合题意，故选 A(2)因为alog27log242，blog38log392,blog381，c0.30。21,则y错误!是减函数，而yloga错误!是增函数且其图象过点错误!，结合选项可知，没有符合的图象故选 D 优解:分别取a错误!和a2,在同一坐标系内画出相应函数的图象（图略）,通过对比可知选 D【答案】（1)A（2)A(3)D 错误!基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1）对数函数与指数函数的单调性都取决于其

8、底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a1 和 0a1 两种情况讨论：当a1 时,两函数在定义域内都为增函数；当 00 和0 两种情况的不同 对点训练 1（一题多解)若函数f(x）与g（x）的图象关于直线yx对称，函数f(x）错误!错误!，则f(2)g(4）(）A3 B4 C5 D6 解析：选 D法一:因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线yx对称，又f（x）错误!x2x，所以g(x）log2x，所以f(2)g(4)22log246.法二:因为f（x)错误!错误!.所以f（2)4,即函数f(x)的图象经过点(2，4)，因为函数f(x）与g(x)的图象关于直线yx对称,所以函数g（x)的图

9、象经过点(4，2），所以f(2)g（4）426。2（2019福建五校第二次联考）已知alog3错误!，b错误!错误!,clog错误!错误!，则a，b，c的大小关系为(）Aabc Bbac Cbca Dcab 解析：选 Dalog3错误!，clog错误!错误!log35,由对数函数ylog3x在（0，）上单调递增，可得 log35log3错误!log33，所以ca1.借助指数函数y错误!错误!的图象易知b错误!错误!（0，1),故cab,选 D 3(2019开封模拟）设x1，x2，x3均为实数，且 ex1ln(x11），ex2lg x2，ex3ln x3，则（）Ax3x2x1 Bx2x1x3 C

10、x3x1x2 Dx1x3x2 解析：选 D根据题意可知，实数x1,x2，x3分别是函数yex与yln(x1）、ylg x、yln x图象交点的横坐标在同一直角坐标系中作出函数yex、yln（x1）、ylg x、yln x的图象如图所示，由图知，x1x3x2，故选 D 函数与方程 典型例题 命题角度一 确定函数零点的个数或其存在情况 （1）已知实数a1，0b1,则函数f（x）axxb的零点所在的区间是（）A(2，1)B（1,0)C（0，1）D（1，2）(2）设函数f（x)的定义域为 R，f（x)f(x)，f（x)f（2x），当x0，1时，f(x)x3，则函数g（x)|cos x|f(x）在区间错

11、误!上零点的个数为（)A3 B4 C5 D6【解析】（1）因为a1，0b1，f(x)axxb，所以f（1)错误!1b0，f(0)1b0,所以f（1)f(0)0,则由零点存在性定理可知f（x)在区间（1，0）上存在零点（2）由f（x）f(x），得f(x）的图象关于y轴对称由f(x)f（2x）,得f(x)的图象关于直线x1 对称当x0,1时，f(x)x3,所以f（x）在1，2上的图象如图 令g(x）|cos xf（x）0，得cos xf(x）,两函数yf(x)与y|cos x|的图象在错误!上的交点有 5 个【答案】（1)B（2）C 判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f（x)0，则方程解的

12、个数即为零点的个数（2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点（3）数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题 命题角度二 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围 （1）（2019合肥市第二次质量检测)设函数f(x)错误!若函数g(x)f（x)b有三个零点，则实数b的取值范围是(）A(1，)B错误!C0（1，)D(0，1(2)（2019济阳模拟)若关于x的方程 exaxa0 没有实数根，则实数a的取值范围是()A（e2，0 B0，e2）C(e，0 D0，e）【解析】（1)当x0

13、时，f(x）ex(x1），则f（x）ex(x1）exex(x2），由f(x)0，得函数f(x)的单调递增区间为(2，0，由f（x)0，得函数f（x）的单调递减区间为（，2），且易知x1 时，f(x）错误!，令f（x)错误!,则f(x）错误!0,则f(x)单调递减，即有f(x）0,解得a0，即a0;当x1 时，e0 成立，a可以是任意实数；当x1 时,a错误!，令f（x)错误!，则f(x)错误!,当x(1，2)时，f(x)0,f(x)单调递减，当x（2，)时,f（x）0，f(x）单调递增，所以当x2 时，f（x)取得极小值，也是最小值 e2，即有ae2，解得ae2。综上，实数a的取值范围是(e2

14、,0，故选 A【答案】（1）D(2）A 错误!利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值）问题求解（3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解 对点训练 1（2019长春市质量监测（一）)已知函数f（x）x1x2与g(x)1sin x，则函数F(x)f(x)g(x）在区间2,6上所有零点的和为()A4 B8 C12 D16 解析：选 D令F（x)f(x）g(x）0，得f（x)g（x），在同一平面直角坐标系中分别画出函数f（x)1错误!与g(x）1sin x的图象,如图所示，又f(x），g（x）的

15、图象都关于点（2，1)对称，结合图象可知f（x）与g(x)的图象在2,6上共有 8 个交点,交点的横坐标即F（x)f（x)g（x)的零点，且这些交点关于直线x2 成对出现,由对称性可得所有零点之和为 42216,故选 D 2已知函数f(x)错误!kx（e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是_ 解析：由题意，知x0,函数f（x)有且只有一个零点等价于方程错误!kx0 只有一个根,即方程错误!k只有一个根,设g（x）错误!，则函数g（x）错误!的图象与直线yk只有一个交点 因为g（x)错误!，所以函数g（x）在（,0)上为增函数,在(0，2）上为减函数，在(2，）上为增函数,

16、g（x)的极小值g(2）错误!，且x0 时，g（x)，x时,g（x）0，x时，g(x），则g(x）的图象如图所示，由图易知 0k4.8，即a5开始超过 200，所以 2022 年投入的研发资金开始超过 200 万元，故选 B 2某食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：）满足的函数关系式为yekxb(e2。718为自然对数的底数，k，b为常数）若该食品在 0 的保鲜时间是 192 h,在22 的保鲜时间是 48 h,则该食品在 33 的保鲜时间是_ h。解析：由已知,得 eb192，e22kb48，两式相除得 e22k错误!,所以 e11k错误!，所以 e33kb(e11k)3eb18

17、19224，即该食品在 33 的保鲜时间是 24 h。答案：24 一、选择题 1已知函数f(x）（m2m5)xm是幂函数,且在x（0，）时为增函数，则实数m的值是()A2 B4 C3 D2 或 3 解析：选 Cf(x)(m2m5)xm是幂函数m2m51m2 或m3。又在x(0，）上是增函数，所以m3。2函数yax21（a0，且a1)的图象恒过的点是()A(0，0）B（0，1)C（2,0）D（2,1)解析：选 C令x20，得x2，所以当x2 时，ya010,所以yax21（a0，且a1）的图象恒过点（2，0)3若alog错误!错误!,be错误!,clog3cos 错误!，则（)Abca Bbac

18、 Cabc Dcab 解析:选 B因为 0错误!错误!log错误!错误!0，所以 0ae01，所以b1.因为 0cos 错误!1，所以 log3cos 错误!log310，所以c0,则1x1，排除 A、B，又y错误!1 在(1，1)上是增函数,所以f（x)在(1,1)上是增函数，选 D 5若函数ya|x|（a0 且a1)的值域为y|0y1，则函数ylogax|的图象大致是(）解析:选 A若函数yax|（a0 且a1)的值域为y0y1，则 01 解析：选 A作出函数f（x)ln（x1）的图象如图所示，由f（a)f(b）(a b），得ln(a1）ln(b1)，即abab0,所以 0abab0，所以

19、ab0.故选 A 9已知函数f（x)x26x6，x0，3x3，x0 时,f（x）ln xx1，f（x）错误!1错误!,所以x(0,1）时f(x)0,此时f(x）单调递增；x(1，)时，f（x）0，此时f（x)单调递减因此，当x0 时，f(x）maxf（1)ln 1110。根据函数f(x)是定义在 R 上的奇函数作出函数yf（x）与yex的大致图象如图所示,观察到函数yf（x)与yex的图象有两个交点,所以函数g(x)f(x)ex（e 为自然对数的底数）有 2 个零点 11(2019重庆市学业质量调研）已知函数f(x)2xlog3 错误!，若不等式f错误!3成立，则实数m的取值范围是()A（1，

20、）B（,1)C错误!D错误!解析：选 D由错误!0 得x（2，2),又y2x在(2，2）上单调递增，ylog3 错误!log3 错误!log3错误!在(2，2）上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)3，所以不等式f错误!3 成立等价于不等式f错误!f(1）成立，所以错误!解得错误!m1，故选 D 12已知函数f（x）sin xsin 3x，x0,2，则f(x）的所有零点之和等于（）A5 B6 C7 D8 解析：选 Cf（x）sin xsin 3xsin（2xx)sin（2xx)2cos 2xsin x,令f(x）0，可得 cos 2x0 或 sin x0，因为x0，2,所以 2x0，

21、4，由 cos 2x0 可得 2x2或 2x错误!或 2x错误!或 2x错误!，所以x错误!或x错误!或x错误!或x错误!,由 sin x0 可得x0 或x 或x2,因为错误!错误!错误!错误!027，所以f(x）的所有零点之和等于 7，故选 C 二、填空题 13已知函数f(x)错误!则f错误!f(log2 错误!）_ 解析：由题可得f错误!log错误!错误!2，因为 log2 错误!0，所以f错误!错误!错误!2错误!6，故f错误!f错误!8。答案：8 14已知函数f（x）是定义在 R 上的奇函数,且在区间0,）上单调递增,若错误!f(1）,则x的取值范围是_ 解析:因为函数f(x)是定义在

22、 R 上的奇函数，所以f（ln x)f错误!f（ln x)f（ln x）f(ln x）f（ln x)2f(ln x)，所以错误!f(1）等价于f(ln x）f(1），又f(x）在区间0，)上单调递增，所以1ln x1，解得1exe.答案:错误!15已知函数f（x)log3 x2xa在区间(1，2）内有零点,则实数a的取值范围是_ 解析：因为函数f（x）log3 x2xa在区间（1，2)内有零点，且f(x）在(1，2)内单调，所以f（1)f(2）0，即(1a）(log32a）0，解得 log320，又g(1）错误!0，g（e3）错误!错误!0，所以在1,）上g（x)f（x)错误!有 2 个不同的

23、零点,则由题意知当x0 时，g（x)在(,1）上有最小值，且g(x）ming(0）a错误!0，此时函数g(x）有零点，不满足题意；当a0 时,g(x)错误!0，此时函数g（x）无零点，满足题意；当a0 时，g（x）在（,1)上有最大值,且g（x)maxg（0)a错误!,由g（x)max0,得错误!a0。综上可知,实数a的取值范围是错误!.答案：错误!尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同

24、进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.