2022年黑龙江省安达市一中学数学九年级第一学期期末考试试题含解析.pdf

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1、2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1如图，矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，将BCE 沿 CE 翻折，点 B 落在点 F 处，tanBCE=43设 AB=x，ABF的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象大致为()A B C D 2已知x，y满足

2、2254440 xxxyy，则xy的值是（）A16 B116 C8 D18 3如图，在ABC 中，DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，错误的结论是（）AADAEDBEC BABACADAE CACECABDB DADDEDBBC 4如图，将 Rt ABC(其中B=35，C=90)绕点 A 按顺时针方向旋转到 AB1C1的位置，使得点 C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于()A35 B50 C125 D90 5如图，在菱形 ABCD 中，AB4，按以下步骤作图：分别以点 C和点 D 为圆心，大于12 CD 的长为半径画弧，两弧交于点 M，N；作直线 MN，且 MN 恰好经过点 A

3、，与 CD 交于点 E，连接 BE，则 BE 的值为（）A7 B27 C37 D47 6如图，在ABC中，点,D E F分别在边,AB AC BC上，且/,/DEBC EFAB，则下列结论不一定成立的是（）AADAEEFEC BBDCEBFCF CADBDAECE DABADBCBF 7已知O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和O的位置关系是（）A点P在圆内 B点P在圆上 C点P在圆外 D不能确定 8已知1x、2x是一元二次方程220 xx的两个实数根，下列结论错误的是()A12xx B21120 xx C122xx D122xx 9如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=-4

4、x+4 的图像与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点，正方形 ABCD 的顶点 C,D在第一象限，顶点 D 在反比例函数y0kkx 的图像上，若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C恰好落在反比例函数的图像上，则 n 的值是（）A2 B3 C4 D5 10反比例函数 y(k0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则 n 等于()A8 B4 C D2 11抛物线23123yxx 的顶点坐标是（）A（2，9）B（2，-9）C（-2，9）D（-2，-9）12“割圆术”是我国古代的一位伟大的数学家刘徽首创的，该割圆术，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求出圆

5、周率的一种方法，某同学在学习“割圆术”的过程中，画了一个如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为 1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（）A1 B3 C3.1 D3.14 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13定义,a b c为函数2yaxbxc的“特征数”如：函数232yxx的“特征数”是1,3,2，函数24yx的“特征数”是1,0,4，在平面直角坐标系中，将“特征数”是2,0,4的函数的图象向下平移 3 个单位，再向右平移 1 个单位，得到一个新函数，这个新函数的“特征数”是_.14如图，一款落地灯的灯柱 AB垂直于水平地面 MN，高度为 1.6 米，支架部分的形为开口向下的抛物

6、线，其顶点 C距灯柱 AB的水平距离为 0.8 米，距地面的高度为 2.4 米，灯罩顶端 D距灯柱 AB的水平距离为 1.4 米，则灯罩顶端 D距地面的高度为_米 15已知ABC 中，AB=10，AC=27，B=30，则ABC 的面积等于_ 16如图，在平行四边形 ABCD中，E为 CB延长线上一点，且 BE：CE2：5，连接 DE交 AB于 F，则ADFBEF:SS=_ 17如图，一次函数的图象yxb 与反比例函数的图象ayx交于 A(2,4)，B(m,2)两点.当 x 满足条件_时，一次函数的值大于反比例函数值.18若关于x的分式方程3222xmx有增根，则m的值为_ 三、解答题（共 78

7、 分）19（8 分）平面直角坐标系中，函数8yx（x0），y=x-1，y=x-4 的图象如图所示，p（a,b）是直线1yx上一动点，且在第一象限.过 P 作 PMx 轴交直线4yx于 M，过 P 作 PNy 轴交曲线8yx于 N.（1）当 PM=PN 时，求 P点坐标（2）当 PM PN 时，直接写出 a 的取值范围.20（8 分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球 2 个，蓝球 1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12（1）求口袋中黄球的个数；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法

8、”，求两次摸出都是红球的概率；21（8 分）如图所示，在等腰ABC 中，ABAC10cm，BC16cm点 D由点 A出发沿 AB方向向点 B匀速运动，同时点 E由点 B出发沿 BC方向向点 C匀速运动，它们的速度均为 1cm/s连接 DE，设运动时间为 t（s）（0t10），解答下列问题：（1）当 t为何值时，BDE的面积为 7.5cm2；（2）在点 D，E的运动中，是否存在时间 t，使得BDE与ABC 相似？若存在，请求出对应的时间 t；若不存在，请说明理由 22（10 分）某广告公司设计一幅周长为 16 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 2000 元设矩形一边长为 x，面积为 S 平方

9、米 （1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）设计费能达到 24000 元吗？为什么？（3）当 x 是多少米时，设计费最多？最多是多少元？23（10 分）如图，已知 AB 是O 上的点，C 是O 上的点，点 D 在 AB 的延长线上，BCD=BAC（1）求证：CD 是O的切线；（2）若D=30，BD=2，求图中阴影部分的面积 24（10 分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有 1，2，3 的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中（1）求从袋中随机摸出一球，标号是 1 的概率；（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的

10、标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由 25（12 分）在 RtABC中，ACB90，AC1，记ABC，点 D为射线 BC上的动点，连接 AD，将射线DA绕点 D顺时针旋转 角后得到射线 DE，过点 A作 AD的垂线，与射线 DE交于点 P，点 B关于点 D的对称点为 Q，连接 PQ （1）当ABD为等边三角形时，依题意补全图 1；PQ的长为 ；（2）如图 2，当 45，且 BD43时，求证：PDPQ；（3）设 BCt，当 PDPQ时，直接写出 BD的长（用含 t的代数式表示）26如图，在矩形 ABCD 中，BD 的垂直平分线交

11、AD 于 E，交 BC 于 F，连接 BE、DF.（1）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由；（2）若 AB=8，AD=16，求 BE 的长.参考答案 一、选择题（每题 4 分，共 48 分）1、D【解析】设ABx，根据折叠，可证明AFB=90，由tanBCE=43，分别表示EB、BC、CE，进而证明AFBEBC，根据相似三角形面积之比等于相似比平方，表示ABF的面积.【详解】设ABx，则AEEB12x，由折叠，FEEB12x，则AFB90，由tanBCE43，BC23x，EC56x，F、B关于EC对称，FBABCE，AFBEBC，2()EBCyABSEC，y22136662525xx，故

12、选D.【点睛】本题考查了三角函数，相似三角形，三角形面积计算，二次函数图像等知识，利用相似三角形的性质得出ABF和EBC 的面积比是解题关键.2、A【分析】先把等式左边分组因式分解，化成非负数之和等于 0 形式，求出 x,y 即可.【详解】由2254440 xxxyy得 22244440 xyyxxx 22220 xxy 所以2xy=0，2x=0 所以 x=-2,y=-4 所以xy=（-4）-2=16 故选：A【点睛】考核知识点：因式分解运用.灵活拆项因式分解是关键.3、D【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论.【详解】由 DEBC，可得 ADEABC，并

13、可得：ADAEDBEC，ABACADAE，ACECABDB，故 A，B，C 正确；D 错误；故选 D【点睛】考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质 4、C【分析】根据直角三角形两锐角互余求出BAC，然后求出BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角BAB1即为旋转角【详解】B35，C90，BAC90B903555，点 C、A、B1在同一条直线上，BAB1180BAC18055125，旋转角等于 125 故选：C【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键 5、B【解析】由作法得 AE垂直平分 CD，则AED=

14、90，CE=DE，于是可判断DAE=30，D=60，作 EHBC于 H，从而得到ECH=60,利用三角函数可求出 EH、CH的值，再利用勾股定理即可求出 BE的长.【详解】解：如图所示，作 EHBC于 H，由作法得 AE垂直平分 CD，AED=90，CE=DE2，四边形 ABCD为菱形，AD=2DE，DAE=30，D=60，AD/BC，ECH=D=60,在 RtECH中，EH=CEsin60=3232,CH=CEcos60=1212,BH=4+1=5，在 RtBEH中，由勾股定理得，22225(3)2 7BEBHEH.故选 B.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质、解直角三角形等知识

15、.合理构造辅助线是解题的关键.6、B【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可.【详解】/,/DEBC EFAB A=CEF，ADE=ABC，CFE=ABC，ADAEBDCE，ADE=CFE，ADBDAECE，C 选项正确；ADEEFC ADAEEFEC，A 选项正确；又ADAEBFABACBC ABADBCBF，D 选项正确；ADAEBFBDCECF BDCEBFCF不成立 故答案为 B.【点睛】此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题.7、B【解析】根据点与圆的位置关系进行判断【详解】O的半径为 6cm，P 到圆心 O的距离为 6cm，即 OP=

16、6，点 P 在O上 故选：B【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有 3 种，设O的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有：点 P在圆外dr；点 P 在圆上d=r；点 P 在圆内dr 8、D【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.【详解】x1、x2是一元二次方程 x2-2x=0 的两个实数根，这里 a=1，b=-2，c=0，b2-4ac=(-2)2-410=40，所以方程有两个不相等的实数根，即12xx，故 A 选项正确，不符合题意；21120 xx，故 B 选项正确，不符合题意；12221bxxa ，故

17、C 选项正确，不符合题意；120cxxa，故 D 选项错误，符合题意，故选 D.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.9、B【分析】由一次函数的关系式可以求出与 x 轴和 y轴的交点坐标，即求出 OA，OB 的长，由正方形的性质，三角形全等可以求出 DE、AE、CF、BF 的长，进而求出 G点的坐标，最后求出 CG的长就是 n 的值【详解】如图过点 D、C分别做 DEx 轴，CFy 轴，垂足分别为 E,F CF 交反比例函数的图像于点 G 把 x=0 和 y=0 分别代入 y=-4x+4 得 y=4 和 x=1 A(1,0),B(

18、0,4)OA=1，OB=4 由 ABCD 是正方形，易证 AOBDEABCF（AAS）DE=BF=OA=1,AE=CF=OB=4 D(5，1)，F(0,5)把 D 点坐标代入反比例函数 y=kx，得 k=5 把 y=5 代入 y=5x,得 x=1,即 FG=1 CG=CF-FG=4-1=3,即 n=3 故答案为 B【点睛】本题考查了反比例函数的图像上的坐标特征，正方形的性质，以及全等三角形判断和性质，根据坐标求出线段长是解决问题的关键 10、D【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 4n=1(-4)，然后解关于 n的方程即可【详解】点（1，-4）和点（4，n）在反比例函数 y=的图象上，

19、4n=1(-4)，n=-1 故选 D【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y=（k为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k 11、A【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案【详解】223123=3(2)9yxxx，顶点坐标为（2，9）故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解答此题的关键，即在2()ya xhk中，对称轴为 x=h，顶点坐标为（h，k）12、B【分析】先求出30AOB，进而得出AOBS，根据这个圆的内接正十二边形的面积为12AOBS进行求解【详解】是圆的内接正十二边形，30AO

20、B，1OAOB，111(1 sin30)24AOBS，这个圆的内接正十二边形的面积为11234，故选 B 【点睛】本题考查正十二边形的面积计算，先求出AOBS是解题的关键 二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13、2,4,3【分析】首先根据“特征数”得出函数解析式，然后利用平移规律得出新函数解析式，化为一般式即可判定其“特征数”.【详解】由题意，得“特征数”是2,0,4的函数的解析式为224yx，平移后的新函数解析式为222143243yxxx 这个新函数的“特征数”是2,4,3 故答案为：2,4,3【点睛】此题主要考查新定义下的二次函数的平移，解题关键是理解题意.14、1.95【分析】以

21、点 B 为原点建立直角坐标系，则点 C 为抛物线的顶点，即可设顶点式 ya（x0.8）22.4，点 A 的坐标为（0，1.6），代入可得 a的值，从而求得抛物线的解析式，将点 D 的横坐标代入，即可求点 D 的纵坐标就是点 D 距地面的高度【详解】解：如图，以点 B 为原点，建立直角坐标系 由题意，点 A（0，1.6），点 C（0.8，2.4），则设顶点式为 ya（x0.8）22.4 将点 A 代入得，1.6a（00.8）22.4，解得 a1.25 该抛物线的函数关系为 y1.25（x0.8）22.4 点 D 的横坐标为 1.4 代入得，y1.25（1.40.8）22.41.95 故灯罩顶端

22、D 距地面的高度为 1.95 米 故答案为 1.95.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 15、153或 103【分析】作 ADBC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D，分 AB、AC 位于 AD 异侧和同侧两种情况，先在 RtABD 中求得 AD、BD 的值，再在 RtACD 中利用勾股定理求得 CD 的长，继而就两种情况分别求出 BC 的长，根据三角形的面积公式求解可得【详解】解：作 ADBC交 BC（或 BC 延长线）于点 D，如图 1，当 AB、AC 位于 AD 异侧时，在 RtABD 中，B=30，AB=10，AD=ABsinB

23、=5，BD=ABcosB=53，在 RtACD 中，AC=27，CD=2222=(2 7)5=3ACAD，则 BC=BD+CD=63，SABC=12BCAD=12635=153；如图 2，当 AB、AC 在 AD 的同侧时，由知，BD=53，CD=3，则 BC=BD-CD=43，SABC=12BCAD=12435=103 综上，ABC 的面积是 153或 103，故答案为 153或 103【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理 16、9:4【分析】先证ADFBEF，可知2:(:)ADFBEFSSAD BE，根据 BE：CE2：5 和平

24、行四边形的性质可得 AD:BE的值，由此得解.【详解】解：BE：CE=2：5，BE：BC=2：3，即 BC：BE=3：2，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AD=BC，AD：BE=3：2，ADFBEF，2:(:)9:4ADFBEFSSAD BE.故答案为：9:4.【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质.熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.17、x4或0 x2【分析】（1）根据一次函数 y=-x+b 的图象与反比例函数ayx（a0）的图象相交于 A(2,4)，B(m,2)两点，可以求得 a=-8，m=-4，根据函数图象和点 A、B 的坐标可以得到当

25、x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值【详解】一次函数 y=-x+b 的图象与反比例函数ayx的图象相交于 A（2，-4）、B（m，2）两点，将 x=2，y=-4 代入ayx得，a=-8；8yx 将 x=m，y=2 代入8yx，得 m=-4，点 B（-4，2），点 A（2，-4），点 B（-4，2），由函数的图象可知，当 x4 或 0 x2 时，一次函数值大于反比例函数值 故答案为：x4 或 0 x2.【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件 18、3【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，并求出 x 的值，然后再令 x

26、+2=0，即可求得 m的值.【详解】解：由3222xmx得：x=4-2m 令 x+2=0，得 4-2m+2=0，解得 m=3 故答案为 3.【点睛】本题考查了分式方程的增根，解分式方程和把增根代入整式方程求得相关字母的值是解答本题的关键.三、解答题（共 78 分）19、（1）（2，1）或（22 3，12 3）；（2）222 3a【分析】（1）根据直线1?yx与直线4yx的特征，可以判断PABM为平行四边形，且3PM，再根据坐标特征得到等式8|(1)|aa=3，即可求解；（2）根据第（1）小题的结果结合图象即可得到答案.【详解】（1）直线1?yx与x轴交点1?0A，直线4yx与x轴交点4?0B，

27、3AB，直线1yx 与直线4yx平行，且PMx轴，PABM为平行四边形，3PM，PNy轴，N在8yx的图象上，8N aa，P在直线1yx上，,?1?P a a，PMPN，8|(1)|aa=3，解得：2a 或22 3a，（2）如图，2a 或22 3a，PMPN，当点P在直线2x 和22 3x 区间运动时，PMPN,222 3a 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象性质解决问题是本题的关键 20、(1)1;(2)16 【分析】（1）设口袋中黄球的个数为 x 个，根据从中任意摸出一个球是红球的概率为12和概率公式列出方程，解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，然后由

28、树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：21212x 解得：x=1 经检验：x=1 是原分式方程的解 口袋中黄球的个数为 1 个（2）画树状图得：共有 12 种等可能的结果，两次摸出都是红球的有 2 种情况 两次摸出都是红球的概率为：21126.【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件 21、（1）t为 3 秒时，BDE的面积为 7.3cm3；（3）存在时间 t为5013或8

29、013秒时，使得BDE 与ABC相似【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形 BDE边 BE的高即可求解；（3）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可【详解】解：（1）分别过点 D、A作 DFBC、AGBC，垂足为 F、G 如图 DFAG，DFAGBDAB ABAC10，BC11BG8，AG1 ADBEt，BD10t，DF61010t 解得 DF35（10t）SBDE12BEDF7.3 35（10t）t13 解得 t3 答：t为 3 秒时，BDE的面积为 7.3cm3（3）存在理由如下：当 BEDE时，BDE与BCA，BEABBDBC即10t1016

30、t，解得 t5013，当 BDDE时，BDE与BAC，BEBCBDAB即16t1010t，解得 t8013 答：存在时间 t为5013或8013秒时，使得BDE与ABC相似【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形 22、（1）S=x2+8x，其中 0 x8；（2）能，理由见解析；（3）当 x=4 米时，矩形的最大面积为 16 平方米，设计费最多，最多是 32000 元【解析】试题分析：（1）由矩形的一边长为 x、周长为 16 得出另一边长为 8x，根据矩形的面积公式可得答案；（2）由设计费为 24000 元得出矩形面积为 1

31、2 平方米，据此列出方程，解之求得 x 的值，从而得出答案；（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况 试题解析：（1）矩形的一边为 x 米，周长为 16 米，另一边长为（8x）米，S=x（8x）=，其中 0 x8，即（0 x8）；（2）能，设计费能达到 24000 元，当设计费为 24000 元时，面积为 24000200=12（平方米），即=12，解得：x=2 或 x=6，设计费能达到 24000 元（3）=，当 x=4 时，S最大值=16，当 x=4 米时，矩形的最大面积为 16 平方米，设计费最多，最多是 32000 元 考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值

32、；最值问题 23、（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为433【解析】（1）连接 OC，易证BCD=OCA，由于 AB 是直径，所以ACB=90，所以OCA+OCB=BCD+OCB=90，CD 是O的切线；（2）设O的半径为 r，AB=2r，由于D=30，OCD=90，所以可求出 r=2，AOC=120，BC=2，由勾股定理可知：AC=23，分别计算OAC 的面积以及扇形 OAC 的面积即可求出阴影部分面积.【详解】（1）如图，连接 OC，OA=OC，BAC=OCA，BCD=BAC，BCD=OCA，AB 是直径，ACB=90，OCA+OCB=BCD+OCB=90 OCD=90 OC 是半径，C

33、D 是O的切线（2）设O的半径为 r，AB=2r，D=30，OCD=90，OD=2r，COB=60 r+2=2r，r=2，AOC=120 BC=2，由勾股定理可知：AC=23，易求 SAOC=12231=3 S扇形OAC=120443603，阴影部分面积为433.【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含 30 度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.24、（1）13；（2）这个游戏不公平，理由见解析.【分析】（1）由把三个分别标有 1，2，3 的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；（

34、2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平【详解】解：（1）由于三个分别标有 1，2，3 的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是 1 的概率为：13；（2）这个游戏不公平 画树状图得：共有 9 种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有 5 种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有 4 种情况，P（甲胜）=59，P（乙胜）=49 P（甲胜）P（乙胜），故这个游戏不公平【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不

35、公平 25、（1）详见解析；1；（1）详见解析；（3）BD2223tt【分析】（1）根据题意画出图形即可 解直角三角形求出 PA，再利用全等三角形的性质证明 PQPA即可（1）作 PFBQ于 F，AHPF于 H通过计算证明 DFFQ 即可解决问题（3）如图 3 中，作 PFBQ于 F，AHPF于 H设 BDx，则 CDxt，21ADxt，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题【详解】（1）解：补全图形如图所示：ABD 是等边三角形，ACBD，AC1 ADC60，ACD90 2 3sin603ACAD ADPADB60，PAD90 PAADtan601 ADPPDQ60，DPDPDADBD

36、Q PDAPDQ（SAS）PQPA1（1）作 PFBQ于 F，AHPF于 H，如图：PAAD，PAD90 由题意可知ADP45 APD904545ADP PAPD ACB90 ACD90 AHPF，PFBQ AHFHFCACF90 四边形 ACFH是矩形 CAH90，AHCF ACHDAP90 CADPAH 又ACDAHP90 ACDAHP（AAS）AHAC1 CFAH1 43BD，BC1，B，Q关于点 D对称 13CDBDBC，43DQBD 2132DFCFCDDQ F为 DQ 中点 PF垂直平分 DQ PQPD（3）如图 3 中，作 PFBQ于 F，AHPF于 H设 BDx，则 CDxt，

37、21ADxt PDPQ，PFDQ 12DFFQx 四边形 AHFC是矩形 12AHCFCDDFxtxt ACBPAD PAADACCB 211xtPAt 21xtPAt PAHDAC PAAHADAC 2213211xtxttxt 解得2223txt 2223tBDt 故答案是：（1）详见解析；1；（1）详见解析；（3）2223tBDt【点睛】本题是三角形综合题目，主要考查了三角形的旋转、等边三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，构造全等三角形、相似三角形、直角三角形是解题的关键 26、（1）四边形 BEDF 是菱形，理由见解析；（2）BE 的长为 1

38、0.【分析】（1）如图，由垂直平分线的性质可得,BEDE BFDF，再由等边对等角和平行线的性质得13 ，根据三线合一的性质可知BEF是等腰三角形，且BEBF，从而得出四边形 BEDF 是菱形；（2）设BEx，由题（1）的结论可得 DE 的长，从而可得 AE 的长，在Rt ABE中利用勾股定理即可得.【详解】（1）四边形 BEDF 是菱形，理由如下：EF是 BD 的垂直平分线,BEDE BFDF BDEF 12 四边形 ABCD 是矩形/ADBC 32 13，即 BD 是EBF的角平分线 BDEF BEF是等腰三角形，且BEBF BEDEDFBF 四边形 BEDF 是菱形；（2）设BEx，由（1）可得DEBEx 则16AEADDEx 又四边形 ABCD 是矩形 90A 在Rt ABE中，222ABAEBE，即2228(16)xx，解得10 x 所以 BE 的长为 10.【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、菱形的定义、勾股定理，掌握灵活运用这些性质和定理是解题关键.