线性代数常用公式合集.pdf

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1、概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 A可逆r(A)nA的列（行）向量线性无关A的特征值全不为0Ax 只有零解 x，Ax A 0 n,Ax 总有唯一解ATA是正定矩阵A EA p p pp是初等阵12si存在n阶矩阵B,使得AB E 或 AB E注注：全体：全体n维实向量构成的集合维实向量构成的集合n叫做叫做n维向量空间维向量空间.A不可逆r(A)nA 0 A的列（行）向量线性相关0是A的特征值Ax 有非零解,其基础解系即为A关于 0的特征向量r(aE bA)n注注aE bA(aE bA)x 有非零解=-ab向量组

2、等价矩阵等价()具有反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()关于关于e1,e2,en：错误！未找到引用源。称为称为n的标准基，的标准基，n中的自然基，单位坐标向量中的自然基，单位坐标向量p教材87；错误！未找到引用源。e1,e2,en线性无关；线性无关；错误！未找到引用源。e1,e2,en1；trE=n；任意一个任意一个n维向量都可以用维向量都可以用e1,e2,en线性表示线性表示.a11行列式的定义行列式的定义Dna12a22a1na2nannj1j2a21(1)(j1j2jnjn)a1j1a2 j2anjnan1an2 行列式的计算：行列式的计算：错误！未找到引用源。行列式按行（列）

3、展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数1余子式的乘积之和余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.AO错误！未找到引用源。若若A与B都是方阵（不必同阶）都是方阵（不必同阶）,则则OB=AOBAOB A B（拉普拉斯展开（拉普拉斯展开OAA=(1)mnA BBOBO式）式）错误！未找到引用源。上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积上三角、下三角、主对角行

4、列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线：关于副对角线：a1na2n1OOa2n1an1a1n(1)On(n1)2a1na2nan1（即：所有取自不同（即：所有取自不同an1行不同列的行不同列的n个元素的乘积的代数和）个元素的乘积的代数和）1x1X X 德蒙德行列式：德蒙德行列式：x12x1n11x22x2n1x21xn2xnn1xn1 jinx xij a11a12a21a22矩阵的定义矩阵的定义 由由mn个数排成的个数排成的m行行n列的表列的表Aam1am2Amna1na2n称为称为mn矩阵矩阵.记作：记作：Aaij或或mnamn伴随矩阵伴随矩阵A*Aij T A11A12A1nA21A

5、22A2nAn1An2，Aij为为A中各个元素的代数余子式中各个元素的代数余子式.Ann 逆矩阵的求法逆矩阵的求法:主ab1 dbA1注注：错误！未找到引用源。Aad bccaA副cd(E A1)错误！未找到引用源。(A E)初等行变换1换位变号a1错误！未找到引用源。方阵的幂的性质：方阵的幂的性质：A A Amna211a1 a3mn1a2a13a3mna21a1 1a11a31a2mn(A)(A)2 设设Amn,Bns,A的列向量为的列向量为1,2,n,B的列向量为的列向量为1,2,s，则则AB Cmsb11b12b21b221,2,nbn1bn2b1sb2sc1,c2,bns,csAi

6、ci，(i 1,2,s)i为为Ax ci的解的解A1,2,sA1,A2,Asc1,c2,csc1,c2,cs可由可由1,2,n线线性表示性表示.即：即：C的列向量能由的列向量能由A的列向量线性表示，的列向量线性表示，B为系数矩阵为系数矩阵.同理：同理：C的行向量能由的行向量能由B的行向量线性表示，的行向量线性表示，A为系数矩阵为系数矩阵.Ta11a12a21a22即：即：an1an2a1n1 c1 a111a122aaa2n2c2211222amnncmam11am22a1n2 c1a2n2 c2amn2 cm 用对角矩阵用对角矩阵左左乘一个矩阵乘一个矩阵,相当于用相当于用的对角线上的各元素依

7、次乘此矩阵的的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行行向量；向量；用对角矩阵用对角矩阵右右乘一个矩阵乘一个矩阵,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列列向量向量.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.AB AT 分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的转置矩阵：TCDB A1 A分块矩阵的逆矩阵：分块矩阵的逆矩阵：B A1 ACOBO11TCTTDB1BA1A11B1A1A1CB1O AO11CBBBB CA A11分块对角阵相乘：分块对角阵相乘：AB11,B A22*A11B11AB B22AB*B*nn

8、 A11,A A22B22nA22 ABA*分块对角阵的伴随矩阵：分块对角阵的伴随矩阵：BAmn(1)B A(1)mnA B 矩阵方程的解法矩阵方程的解法(A 0)：设法化成：设法化成(I)AX B或 (II)XA B(E X)(I)的解法：构造(A B)初等行变换(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT BT，用(I)的方法求出X，再转置得XT 零向量是任何向量的线性组合零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关部分相关,整体必相关；整体无关整体必相关；整体无关

9、,部分必无关部分必无关.（向量个数变动）（向量个数变动）3 原向量组无关原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关原向量组相关.（向量维数变动）（向量维数变动）两个向量线性相关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114.向量组向量组1,2,n中任一向量中任一向量i(1in)都是此向量组的线性组合都是此向量组的线性组合.向量组向量组1,2,n线性相关线性相关向量组中至少有一个向量可由其余向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示个向量线性表示.向量组向量组1,2,n线性无

10、关线性无关向量组中每一个向量向量组中每一个向量i都不能由其余都不能由其余n1个向量线性表示个向量线性表示.m维列向量组维列向量组1,2,n线性相关线性相关 r(A)n；m维列向量组维列向量组1,2,n线性无关线性无关 r(A)n.若若1,2,n线性无关，而线性无关，而1,2,n,线性相关线性相关,则则可由可由1,2,n线性表示线性表示,且表示法唯一且表示法唯一.矩阵的行向量组的秩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为可画出一条阶梯线，线的下方全

11、为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为当非零行的第一个非零元为 1 1，且这些非零元所在列的其他元素都是，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简时，称为行最简形矩阵形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩即：矩阵

12、的初等变换不改变矩阵的秩.矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对对A施行一次初等施行一次初等行行变换得到的矩阵变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵等于用相应的初等矩阵左左乘乘A；对对A施行一次初等施行一次初等列列变换得到的矩阵变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵等于用相应的初等矩阵右右乘乘A.矩阵的秩矩阵的秩 如果矩阵如果矩阵A存在不为零的存在不为零的r阶子式，且任意阶子式，且任意r1阶子式均为零，则称矩阵阶子式均为零，则称矩阵A的秩为的秩为r.记作记作r(A)r向量组的秩向量组的秩 向量组向量组1,2,n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩的极大无关组所

13、含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作记作r(1,2,n)矩阵等价矩阵等价A经过有限次初等变换化为经过有限次初等变换化为B.记作：记作：A B向量组等价向量组等价1,2,n和和1,2,n可以相互线性表示可以相互线性表示.记作：记作：1,2,n1,2,n 矩阵矩阵A与与B等价等价PAQ B，P,Q可逆可逆r(A)r(B),A,B为同型矩阵 A,B作为向量组等价作为向量组等价,即：即：秩秩相等的向量组不一定等价相等的向量组不一定等价.矩阵矩阵A与与B作为向量组等价作为向量组等价r(1,2,n)r(1,2,n)r(1,2,n,1,2,n)矩阵矩阵A与与B等价等价.向量组向量组1,2,s可由向量组可由

14、向量组1,2,n线性表示线性表示AX B有解有解r(1,2,n)=r(1,2,n,1,2,s)r(1,2,s)r(1,2,n).4 向量组向量组1,2,s可由向量组可由向量组1,2,n线性表示线性表示,且且s n，则，则1,2,s线性相关线性相关.向量组向量组1,2,s线性无关线性无关,且可由且可由1,2,n线性表示线性表示,则则sn.向量组向量组1,2,s可由向量组可由向量组1,2,n线性表示线性表示,且且r(1,2,s)r(1,2,n),则两向量组等则两向量组等价；价；p教材94,例10 任一向量组和它的极大无关组等价任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价向量组的任

15、意两个极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等则它们包含的向量个数相等.设设A是是mn矩阵矩阵,若若r(A)m，A的行向量线性无关；的行向量线性无关；若若r(A)n，A的列向量线性无关的列向量线性无关,即：即：1,2,n线性无关线性无关.矩阵的秩的性质：矩阵的秩的性质：若A O r(A)1若A O r(A)00r(Amn)min(m,n)r(A)r(AT)r(ATA)p教材101,例15r(kA)r(A)若k 0若A r(A

16、)r(B)nmn,Bns,若r(AB)0B的列向量全部是Ax 0的解r(AB)minr(A),r(B)若A可逆 r(AB)r(B)若B可逆 r(AB)r(A)即：可逆矩阵不影响矩阵的秩即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.Ax 只有零解若若r(A r(AB)r(B)mn)nAB O B O；A在矩阵乘法中有左消去律AB AC B C若若r(Bns)n r(AB)r(B)B在矩阵乘法中有右消去律.若r(A)r A与唯一的ErOOO等价，称ErOOO为矩阵A的等价标准型等价标准型.r(A B)r(A)r(B)maxr(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B)p教材70r AOOBOABO r(A)r(B)ACrOB r(A)r(B)5