上海教材高中数学知识点总结.pdf

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1、 上海教材高中数学知识点总结-作者:_ -日期:_ 目录 一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量 九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程 十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计 一、集合与常用逻辑 1集合概念 元素：互异性、无序性 2集合运算 全集 U：如 U=R 交集：BxAxxBA且 并集：BxAxxBA或 补集：AxUxxACU且 3集合关系 空集A 子集BA:任意BxAx BABBABAABA 注：数形结合-文氏图、数轴 4四种命题 原命题：若 p

2、则q 逆命题：若 q则p 否命题：若p则q 逆否命题：若q则p 原命题逆否命题 否命题逆命题 5充分必要条件 p 是 q 的充分条件：qP p 是 q 的必要条件：qP p 是 q 的充要条件：pq 6复合命题的真值 q 真（假）“q”假（真）p、q 同真“pq”真 p、q 都假“pq”假 7.全称命题、存在性命题的否定 M,p(x）否定为:M,)(Xp M,p(x）否定为:M,)(Xp 二、不等式 1一元二次不等式解法 若0a，02cbxax有两实根,)(，则 02cbxax解集),(02cbxax解集),(),(注：若0a，转化为0a情况 2其它不等式解法转化 axaax22ax axax

3、 或ax22ax 0)()(xgxf0)()(xgxf )()(xgxfaa)()(xgxf（a 1）)(log)(logxgxfaaf xf xg x()()()0（01a）3基本不等式 abba222 若 Rba,，则abba2 注：用均值不等式abba2、2)2(baab 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质 1奇偶性 f(x)偶函数()()fxf xf(x)图象关于y轴对称 f(x)奇函数()()fxf x f(x)图象关于原点对称 注：f(x)有奇偶性定义域关于原点对称 f(x)奇函数,在 x=0 有定义f(0)=0“奇+奇=奇”（公共定义域内）2单调性 f(x)增函数：

4、x1x2f(x1)f(x2)或 x1x2f(x1)f(x2)或0)()(2121xxxfxf f(x)减函数：？注：判断单调性必须考虑定义域 f(x)单调性判断 定义法、图象法、性质法“增+增=增”奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3周期性 T是()f x周期()()f x Tf x恒成立（常数0T）4二次函数 解析式：f(x)=ax2+bx+c，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x1)(x-x2)对称轴：abx2 顶点：)44,2(2abacab 单调性：a0，2,(ab递减，),2ab递增 当abx2，f(x)minabac442 奇偶性：f(x)=

5、ax2+bx+c 是偶函数b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法-注意对称轴与区间的位置关系 注：一次函数 f(x)=ax+b 奇函数b=0 四、基本初等函数 1指数式 )0(10aa nnaa1 mnmnaa 2对数式 bNalogNab（a0,a1）NMMNaaalogloglog NMNMaaalogloglog MnManaloglog abbmmalogloglogablglg naabbnloglogablog1 注：性质01loga 1logaa NaNalog 常用对数NN10loglg，15lg2lg 自然对数NNelogln，1lne 3指数与对数函数 y=ax与 y

6、=logax 定义域、值域、过定点、单调性？注：y=ax与 y=logax 图象关于 y=x 对称（互为反函数）4幂函数 12132,xyxyxyxy xy 在第一象限图象如下：1 01 0 五、函数图像与方程 1描点法 函数化简定义域讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等 2图象变换 平移：“左加右减，上正下负”)()(hxfyxfy 伸缩：)1()(xfyxfy倍来的每一点的横坐标变为原 对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(xfyxfyxfyxfyxfyxfyyx原点轴轴 注：)(xfy ax 直线)2(xafy 翻折：)(xfy|()|yf x保留x轴

7、上方部分，并将下方部分沿x轴翻折到上方 y=f(x)cbaoyx y=|f(x)|cbaoyx)(xfy(|)yfx保留y轴右边部分，并将右边部分沿y轴翻折到左边 y=f(x)cbaoyx y=f(|x|)cbaoyx 3零点定理 若0)()(bfaf，则)(xfy 在),(ba内有零点（条件：)(xf在,ba上图象连续不间断）注：)(xf零点：0)(xf的实根 在,ba上连续的单调函数)(xf，0)()(bfaf 则)(xf在),(ba上有且仅有一个零点 二分法判断函数零点-0)()(bfaf？六、三角函数 1概念 第二象限角)2,22(kk(Zk)2弧长 rl 扇形面积lrS21 3定义

8、rysin rxcos xytan 其中),(yxP是终边上一点，rPO 4符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦”5诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如sin)2(Sin，sin)2/cos(6特殊角的三角函数值 0 6 4 3 2 23 sin 0 21 22 23 1 0 1 cos 1 23 22 21 0 1 0 tg 0 33 1 3/0/7基本公式 同角1cossin22 tancossin 和差sincoscossinsin sinsincoscoscos tantan1tantantan 倍角 cossin22sin 2222sin211cos2sincos2cos 2ta

9、n1tan22tan 降幂 cos2=22cos1 sin2=22cos1 叠加)4sin(2cossin)6sin(2cossin3)sin(cossin22baba)(tanba 8三角函数的图象性质 单调性：)2,2(增 ),0(减 )2,2(增 注：Zk 9解三角形 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 sinx cosx tanx 值域-1，1-1，1 无 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 周期 2 2 对称轴 2/kx kx 无 中心 0,k 0,2/k 0,2/k 基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos2s

10、inCBA 正弦定理：Aasin=Bbsin=Ccsin ARasin2 CBAcbasin:sin:sin:余弦定理：a2=b2+c22bccosA（求边）cosA=bcacb2222（求角）面积公式：S21absinC 注：ABC中，A+B+C=？BABAsinsin a2b2+c2 A2 七、数 列 1、等差数列 定义：daann1 通项：dnaan)1(1 求和：2)(1nnaanS dnnna)1(211 中项：2cab（cba,成等差）性质：若qpnm，则qpnmaaaa 2、等比数列 定义：)0(1qqaann 通项：11nnqaa 求和：)1(1)1()1(11qqqaqnaS

11、nn 中项：acb 2（cba,成等比）性质：若qpnm 则qpnmaaaa 3、数列通项与前n项和的关系)2()1(111nssnasannn 4、数列求和常用方法 公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法 八、平面向量 1向量加减 三角形法则，平行四边形法则 BCABAC首尾相接，OCOB=CB共始点 中点公式：ADACAB2D是BC中点 2 向量数量积 ba=cos ba=2121yyxx 注：ba,夹角：001800 ba,同向：baba 3基本定理 2211eea（21,ee不共线-基底）平行：ba/ba1221yxyx（0b）垂直：0baba02121yyxx 模：a22yx 22)

12、(baba 夹角：cos|baba 注：0a cbacba（结合律）不成立 cabacb（消去律）不成立 九、复数与推理证明 1复数概念 复数：biaz(a,b)R，实部 a、虚部 b 分类：实数（0b），虚数（0b），复数集 C 注：z是纯虚数0 a，0b 相等：实、虚部分别相等 共轭：biaz 模：22baz 2zzz 复平面：复数 z 对应的点),(ba 2复数运算 加减：（a+bi）(c+di)=？乘法：（a+bi）（c+di）=？除法：dicbia=)()(dicdicdicbia=乘方：12i，nirrkii4 3合情推理 类比：特殊推出特殊 归纳：特殊推出一般 演绎：一般导出特殊

13、（大前题小前题结论）4直接与间接证明 综合法：由因导果 比较法：作差变形判断结论 反证法：反设推理矛盾结论 分析法：执果索因 分析法书写格式：要证 A 为真，只要证 B 为真，即证，这只要证 C 为真，而已知 C 为真，故 A 必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程 5数学归纳法：(1)验证当 n=1 时命题成立,(2)假设当 n=k(kN*，k1)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立 由(1)(2)知这命题对所有正整数 n 都成立 注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用 十、直线与圆 1、倾斜角 范围0,斜率 2121tanyykxx 注：直线向上方向与

14、x轴正方向所成的最小正角 倾斜角为90时，斜率不存在 2、直线方程 点斜式)(00 xxkyy，斜截式bkxy 两点式121121xxxxyyyy，截距式1byax 一般式0CByAx 注意适用范围：不含直线0 xx 不含垂直x轴的直线 不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系（注意条件）平行12kk 且21bb 垂直121k k 垂直12120A AB B 4、距离公式 两点间距离：|AB|=221221)()(yyxx 点到直线距离：0022AxByCdAB 5、圆标准方程：222)()(rbyax 圆心),(ba，半径r 圆一般方程：022FEyDxyx（条件是？）圆心,22DE 半径

15、2242DEFr 6、直线与圆位置关系 注：点与圆位置关系 22020)()(rbyax点00,P x y在圆外 7、直线截圆所得弦长 222ABrd 十一、圆锥曲线 一、定义 椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)位置关系 相切 相交 相离 几何特征 dr dr dr 代数特征 0 0 0 双曲线：|PF1|-|PF2|=2a(02ab0)双曲线12222byax(a0,b0)中心原点 对称轴？焦点 F1(c,0)、F2(-c,0)顶点:椭圆(a,0),(0,b)，双曲线(a,0)范围:椭圆-axa,-byb 双曲线|x|a，yR 焦距：椭圆 2c（c=22ba）双曲线 2c

16、（c=22ba）2a、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长 离心率：e=c/a 椭圆 0e1 注：双曲线12222byax渐近线xaby 方程122 nymx表示椭圆nmnm.0,0 方程122 nymx表示双曲线0 mn 抛物线 y2=2px(p0)顶点（原点）对称轴（x 轴）开口（向右）范围 x0 离心率 e=1 焦点)0,2(pF 准线2px 十二、矩阵、行列式、算法初步 十、算法初步 一程序框图 二基本算法语句及格式 1 输入语句：INPUT“提示内容”；变量 2 输出语句：PRINT“提示内容”；表达式 程序框 名称 功能 起止框 起始和结束 输入、输出框 输入和输出的信息 处

17、理框 赋值、计算 判断框 判断某一条件是否成立 循环框 重复操作以及运算 3 赋值语句：变量=表达式 4 条件语句“IFTHENELSE”语句 “IFTHEN”语句 IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句 1 语句 ELSE END IF 语句 2 END IF 5 循环语句 当型循环语句 直到型循环语句 WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”三算法案例 1、求两个数的最大公约数 辗转相除法：到达余数为 0 更相减损术：到达减数和差相等 2、多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0

18、的求值 秦九韶算法：v1=anx+an1 v2=v1x+an2 v3=v2x+an3 vn=vn1x+a0 注：递推公式 v0=an vk=vk1X+ank(k=1,2,n)求 f(x)值，乘法、加法均最多 n 次 3、进位制间的转换 k 进制数转换为十进制数：0111011.)(.akakakakaaaannnnnn 十进制数转换成 k 进制数：“除 k 取余法”例 1 辗转相除法求得 123 和 48 最大公约数为 3 例 2 已知 f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，秦九韶算法求 f(5)12324827 v0=2 4812721 v1=255=5 271216 v2=554=

19、21 21363 v3=215+3=108 623+0 v4=10856=534 v5=5345+7=2677 十三、立体几何 1三视图 正视图、侧视图、俯视图 2直观图：斜二测画法X OY=450 平行 X 轴的线段，保平行和长度 平行 Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半 3体积与侧面积 V柱=S底h V锥=31S底h V球=34R3 S圆锥侧=rl S圆台侧=lrR)(S球表=24 R 4公理与推论 确定一个平面的条件：不共线的三点 一条直线和这直线外一点 两相交直线 两平行直线 公理：平行于同一条直线的两条直线平行 定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。5两直线

20、位置关系 相交、平行、异面 异面直线不同在任何一个平面内 6直线和平面位置关系 a aA /a 7平行的判定与性质 线面平行：ab，ab,a a，ba,ab 面面平行：AB，AC平面ABC，aa 8垂直的判定与性质 线面垂直：ABCpACpABp面,面面垂直：aa,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 三垂线定理：aPAaAOPO,aAOaPAPO,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？9空间角、距离的计算 异面直线所成的角 范围（0，90 平移法：转化到一个三角

21、形中，用余弦定理 直线和平面所成的角 范围0，90 定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形 二面角 范围0，180 定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形 点到平面的距离 体积法-用三棱锥体积公式 注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出 abaPOA 10立体几何中的向量解法 法向量求法：设平面 ABC 的法向量n=（x,y）0,0,ACnABnACnABn 解方程组，得一个法向量n 线线角：设12,n n是异面直线12,l l的方向向量，12,l l所成的角为，则21,coscosnn 即12,l l所成的角等于21,nn或12,n n 线面角：设n是平面的法向量，AB是平面的 一条斜

22、线，AB与平面所成的角为，则nABnABABn,cossin 二面角：设12,n n是面,的法向量，二面角l 的大小为，则21,coscosnn或21,cosnn 即二面角大小等于21,nn或12,n n 点到面距离：若n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线段，且B，则点A到平面的距离AB ndn 十四、计数原理 1.计数原理 加法分类，乘法分步 2排列组合 差异-排列有序而组合无序 公式mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn mnC=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn 关系：mnmnCmA！性质：mnC=mnnC nnnnnnCCCC2210 3排列组合应用题 原则：分类后分步，

23、先选后排，先特殊后一般 解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”复杂问题“排除法”4二项式定理 nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(A B C 特例1(1)1nrrnnnxC xC xx 通项rrnrnrbaCT1)210(nr，注rnC-第1r项二项式系数 性质：所有二项式系数和为n2 中间项二项式系数最大 赋值法：取1,1,0 x等代入二项式 十五、概率与统计 1古典概型：()mP An（总的基本事件个数包含的基本事件个数A）求基本事件个数：列举法、图表法 2几何概型：P A积）区域总长度（面积或体积）的区域长度（面积或体A 注：试验出现的结果无限

24、个 3加法公式：若事件A和B互斥，则 P ABP AP B 1P AP A 互斥事件:不可能同时发生的事件 对立事件:不同时发生，但必有一个发生的事件 4常用抽样（不放回）简单随机抽样：逐个抽取（个数少）系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）5用样本估计总体 众数：出现次数最多的数据 中位数：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）平均数：niixnx11 方差)(112niixxnS标准差s 6频率分布直方图 小长方形面积=组距组距频率=频率 各小长方形面积之和为 1 众数最高矩形中点的横坐标 中位数垂直于x轴且平分直方图面积的直线与x轴交点的横坐标 -THE END,THERE IS NO TXT FOLLOWING.-