《勾股定理》专题复习(含答案).pdf

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1、 第一章勾股定理专项练习 专题一：勾股定理 考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题 典例剖析 例 1（1）如图 1 是一个外轮廓为矩形的机器 零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆 孔中心A和B的距离为_mm（2）如图 2，直线l上有三个正方形abc，若ac，的面积分别为 5 和 11，则b的面积为（）4 6 16 55 分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可 解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202

2、=22500，所以 AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选 C 点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决 例 2如图 3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是 1，试求122424454AE AA E CA E C的度数 解：连结180 150 60 60 A B C 图 1 a b c l 图 2 1A2A 3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B4C 1A2A 3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B4C 3C 2C 图 3 32A E32122222A AA AA EA

3、E，32212290A A EA A E，322122RtRtA A EA A E（SAS）322122A E AAE A 由勾股定理，得：224532215C EC E，2245324117A EA E，44332A CA C，445332A C EA C E（SSS）323454A E CA E C 122424454324424323224AE AA E CA E CA E CA E CA E CA E C 由图可知224E C C为等腰直角三角形22445A E C 即12242445445AE AA E CA E C 点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线

4、段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如 450、900、1350，便一目了然以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力 专练一：1、ABC 中，A：B：C=2：1：1，a，b，c 分别是A、B、C 的对边，则下列各等式中成立的是（）（A）222abc；（B）222ab；（C）222ca；（D）222ba 2、若直角三角形的三边长分别为 2，4，x，则 x 的可能值有（）（A）1 个；（B）2 个；（C）3 个；（D）4

5、个 3、一根旗杆在离底面 4.5 米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处，则旗杆折断前高为（）（A）10.5 米；（B）7.5 米；（C）12 米；（D）8 米 A B C 图 7 4、下列说法中正确的有（）（1）如果A+B+C=3：4：5，则ABC 是直角三角形；（2）如果A+B=C，那么ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为 6：8：10，则 ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)nn nn，则 ABC 是直角三角形。（A）1 个；（B）2 个；（C）3 个；（D）4 个 5、如图 4 是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（）A ac B

6、bc C4a2+b2=c2 Da2+b2=c2 6、已知直角三角形两边长分别为 3、4，则第三边长为 7、已知直角三角形的两直角边之比为 3：4，斜边为 10，则直角三角形 的两直角边的长分别为 8、利用图 5（1）或图 5（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 9、一棵树因雪灾于 A 处折断，如图所示，测得树梢触地点 B 到树根 C 处的距离为 4 米，ABC 约 45，树干 AC 垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米（答案可保留根号）10、如图 6，如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形

7、 ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，已知正方形 ABCD 的面积1S为 1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23SS，Sn（n为正整数），ABCDEFGHIJ 图 4 图 5（1）图 6 图 5（2）那么第 8 个正方形的面积8S _。11、如图 7，在ABC 中，AB=AC=10，BC=8用尺规作图 作 BC 边上的中线 AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求 AD 的长 12、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为 12 cm 和 10 cm，求这个三角形的面积.13、在ABC中，C=90,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形

8、的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.14、如图 8：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为 12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？15、如图 9，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.专题二：能得到直角三角形吗 考点分析：本部分内容是勾股定理及其逆定理的应用，它在中考试卷中不单独命题，常与其它知识综合命题 典例剖析 例 1如图 10，A、B两点都与平面镜相距 4 米，且A、B两点相距 6 米，一束光线由A图 8

9、 图 9 射向平面镜反射之后恰巧经过B点，求B点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B点关于CD的对称点B，连结AB，交CD于点O，则O点就是光的入射点，因为BD=DB，所以BD=AC，BDO=OCA=90，B=CAO 所以BDOACO(SSS)，则OC=OD=21AB=216=3 米，连结OB，在RtODB中，OD2+BD2=OB2，所以OB2=32+42=52，即OB=5(米)，所以点B到入射点的距离为 5 米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础 例 2如果只给你一把带刻度的直

10、尺，你是否能检验MPN 是不是直角，简述你的作法 分析：只有一把刻度尺，只能用这把刻度尺量取线段的长度，若P 是一个直角，P所在的三角形必是个直角三角形，这就提示我们把P 放在一个三角形中，利用勾股定理的逆定理来解决此题 作法：在射线 PM 上量取 PA=3，确定 A 点，在射线 PN 上量取 PB=4，确定 B 点 连结 AB 得PAB 用刻度尺量取 AB 的长度，如果 AB 恰为 5，则说明P 是直角，否则P 不是直角 理由：PA=3，PB=4，PA2+PB2=32+42=52，若 AB=5，则 PA2+PB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得PAB 是直角三角形，P 是 图 11 图 10

11、 直角 说明：这是一道动手操作题，是勾股定理的逆定理在现实生活中的一个典型应用学生既要会动手操作，又必须能够把操作的步骤完整的表述出来，同时要清楚每个操作题的理论基础 专练二：1做一做：作一个三角形，使三边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,哪条边所对的角是直角？为什么？2断一断：设三角形的三边分别等于下列各组数：7，8，10 7，24，25 12，35，37 13，11，10（1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？（2）把你判断是 Rt的哪组数作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证.3 算一算：一个零件的形状如图 12，已知 AC=3，AB=4，BD=12，求：CD 的

12、长 4一个零件的形状如图 13 所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？图 12 A B C D 5如图 14，等边三角形ABC内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求APB的度数.6若ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3a2b+ab2ac2+bc2b3=0 7请在由边长为 1 的小正三角形组成的虚线网格中，画出 1 个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形 8为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个

13、圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，图 13 图 14 如图 15，已知圆筒高 108，其截面周长为 36，如果在表面缠绕油纸 4 圈，应裁剪多长油纸 专题三：蚂蚁怎样走最近 考点分析：勾股定理在实际生活中的应用较为广泛，它常常单独命题，有时也与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题 典例剖析 例 1如图 16（1）所示，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离 为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 位置上，如图 10（2）所示，测得得 BD=0.5 米，求梯子顶端 A 下落了

14、多少米？分析：梯子顶端 A 下落的距离为 AE，即求 AE 的长已知 AB 和 BC，根据勾股定理可求 AC，只要求出 EC 即可。解：在 RtACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，AC=2，BD=0.5，CD=2在中，Rt ECDECEDCD22222252225.EC=1.5，AEACEC21505.，所以，梯子顶端下滑了 0.5 米 图16（2）A A E C B C B D （1）（2）图16 点评：在实际生活、生产及建筑中，当人们自身高度达不到时，往往要借助于梯子，这时对梯子的选择，及梯子所能达到的高度等问题，往往要用到勾股定理的知识来解决但要 注意：考虑梯子的

15、长度不变 例 2有一根竹竿,不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前,竹竿长比门宽多 4 尺；把竹竿竖放在这扇门前,竹竿长比门的高度多 2 尺；把竹竿斜放,，竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?分析：只要根据题意，画出图形，然后利用勾股定理，列出方程解之 解：设竹竿长为 x 尺。则：（x4）2+（x2）2=x2 x1=10，x2=2（不合题意舍去）答：竹竿长为 10 尺。评注：本题是勾股定理与方程的综合应用问题，它综合考查了同学们的建模思想和方法的理解和运用，符合新课程标准的理念，请注意这类问题！例 3如图 17，客轮在海上以 30km/h 的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏

16、东80，测得C处的方位角为南偏东25，航行 1 小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20，则C到A的距离是（）A15 6km；B15 2km；C15(62)km；D5(63 2)km 分析：本题是一道以航海为背景的应用题，由已知条件分析易知ABC 不是直角三角形，这就需要作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形，问题便可得到解决 解：由条件易得：C=450，ABC=750，则A=600，过 B 作 BDAC，垂足为 D，BCD 是等腰直角三角形，又BC=30km，由勾股定理得：2CD2=302，CD=15 2，BD=15 2，设 AD=x，则 AB=2x，由勾股定理得：BD=3x，

17、3x=15 2，x=5 6，AC=15 2+5 6，故选 D 北 东 图 17 A B C D 点评：在航海中，有时需要求两船或船与某地方的距离，以保证航海的安全，有时就需要用勾股定理及判定条件来加以解决，熟练应用勾股定理是解题的关键 专练三：1小明从家走到邮局用了 8 分钟，然后右转弯用同样的速度走了 6分钟到达书店(如图 18),已知书店距离邮局 640 米，那么小明家距离书店 米 2一根新生的芦苇高出水面 1 尺，一阵风吹过，芦苇被吹倒一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为 5 尺，则水池的深度和芦苇的长度各是 3小明叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为 48m2，其对角线长为 1

18、0m，为建起栅栏，要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算一算，周长应该是 4求图 19 所示（单位 mm）矩形零件上两孔 中心 A 和 B 的距离（精确到 0lmm）5假期，小王与同学们在公园里探宝玩游戏，按照游戏中提示的方向，他们从 A 出发先向正东走了 800 米，再向正北走了 200 米，折向正西走 300 米，再向正北走 600 米，再向正东走 100 米，到达了宝藏处 B，问 A、B 间的直线距离是 米 6如图 20 所示，为修铁路需凿通隧道 AC，测得A=53，B=37AB=5km，BC=4km，若每天凿 0.3km，试计算需要几天才能把隧道 AC 凿通 家 邮书图 18 图

19、19 A C B 图 20 7如图 21，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,你能求出 CD 的长吗？8观察下列表格：列举 猜想 3、4、5 32=4+5 5、12、13 52=12+13 7、24、25 72=24+25 13、b、c 132=b+c 请你结合该表格及相关知识，求出 b、c 的值。9如图 22 所示的一块地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积 CBADE图 21 A D C B 图 22 参考答案 专练一：132003；212，

20、13；328；5、1000 6 解：因为A=53，B=37ACB=90，在 RtABC 中，AC2=AB2-BC2=52-42=9，所以 AC=3，需要的时间3100.30.3ACt （天）答：需要 10 天才能把隧道 AC 凿通。7由勾股定理得：AB=10，设 CD=x，则 DE=x，BD=8-x，BE=4，由勾股定理得：42+x2=(8-x)2，解得 x=3，即 CD=3 812，5 9连结 AC，在 RtADC 中，ACCDAD22222129225，AC15，在ABC 中，AB2=1521 ACBC222215361521，ABACBCACB22290，SSAC BCAD CDABCA

21、CD121212153612129270542162()m 答：这块地的面积是 216 平方米。专练二：1做一做：5 cm 所对的角是直角，因为在直角三角形中直角所对边最长.A D C B 2断一断：(1)72+242=252,122+352=372 (2)略 3解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理：BC2=AC2+AB2=32+42=25，在直角三角形CBD 中，根据勾股定理：CD2=BC2+BD2=25+122=169，CD=13 442+32=52,52+122=132,即AB2+BC2=AC2，故B=90,同理，ACD=90 S四边形ABCD=SABC+SACD=2134+215

22、12=6+30=36.5解：如图,以AP为边作等边APD，连结BD.则1=60BAP=2,在ADB和APC中,AD=AP.1=2，AB=AC ADBADC(SAS)BD=PC=5，又PD=AP=3，BP=4 BP2+PD2=42+32=25=BD2 BPD=90 APB=APD+BPD=150 6(1)a2+b2+c2+100=12a+16b+20c，(a212a+36)+(b216b+64)+(c220c+100)=0，即(a6)2+(b8)2+(c10)2=0 a6=0,b8=0,c10=0，即a=6,b=8,c=10，而 62+82=100=102，a2+b2=c2，ABC为直角三角形.

23、(2)(a3a2b)+(ab2b3)(ac2bc2)=0，a2(ab)+b2(ab)c2(ab)=0，(ab)(a2+b2c2)=0 ab=0 或a2+b2c2=0，此三角形ABC为等腰三角形或直角三角形.7解：本题答案不惟一，只要符合要求都可以，以下答案供参考 8解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等 4 段只需求出 AC 长 即可，在 RtABC 中，AB=36，BC=274108 由勾股定理得 AC2=AB2+BC2=362+272 AC=45，故整个油纸的长为 454=180（）专练三：1、C；2、B；3、B；4、C；5、D；6、5，7；7、6，8；8、勾股定理，2

24、22abc；9、44 2；10、128；11、（1）作图略；（2）在ABC 中，AB=AC，AD 是ABC 的中线，ADBC，118422BDCDBC.在 RtABD 中，AB10，BD4，222ADBDAB，22221042 21ADABBD.12、如图：等边ABC中BC=12 cm，AB=AC=10 cm 作ADBC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6 cm 在 RtABD中，AD2=AB2BD2=10262=64 AD=8 cm SABD=21BCAD=21128=48(cm2)13、解：(1)ABC中，C=90，AC=2.1 cm，BC=2.8 cm AB2=AC2+BC2=2.

25、12+2.82=12.25 AB=3.5 cm，SABC=21ACBC=21ABCD，ACBC=ABCD，CD=ABBCAC=5.38.21.2=1.68(cm)(2)在 RtACD中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，AD2=AC2CD2=2.121.682=(2.1+1.68)(2.11.68)=3.780.42=21.8920.21=2290.210.21，AD=230.21=1.26(cm)，BD=ABAD=3.51.26=2.24(cm)14、解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为 3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：312=36(m2)15、解：根据题意得：RtADERtAEF，AFE=90,AF=10 cm,EF=DE，设CE=x cm，则DE=EF=CDCE=8x，在 RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即 82+BF2=102，BF=6 cm，CF=BCBF=106=4(cm)，在 RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x)2=x2+42，6416x+x2=x2+16，x=3(cm),即CE=3 cm