(名师导学)2020版高考数学总复习第三章导数及其应用第18讲导数与函数的综合问题练习文(含解析)新.pdf

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1、第 18 讲 导数与函数的综合问题 夯实基础【p43】【学习目标】掌握利用导数求解与不等式和方程有关的技巧和方法，会利用导数求解实际生活中的优化问题，提高分析问题和解决问题的能力【基础检测】1已知定义在 R 上的函数f错误!的图象如图所示，则xf错误!0 的解集为()A.错误!错误!B.错误!C。错误!D。错误!错误!【解析】不等式xf(x)0 等价为当x0 时，f（x）0，即x0 时,函数递增,此时1x2；或者当x0 时，f(x）0,即x0 时，函数递减，此时x0。综上 1x2 或x0，且函数f(x)4x3ax22bx2 在x1 处有极值，则ab的最大值等于()A3 B6 C9 D2【解析】

2、f（x）12x22ax2b，又因为在x1 处有极值，f（1)0，ab6，a0，b0，ab错误!错误!9，当且仅当ab3 时取等号所以ab的最大值等于 9。【答案】C 3若a错误!，则方程 ln xax0 的实根的个数为()A0 个 B1 个 C2 个 D无穷多个【解析】由于方程 ln xax0 等价于错误!a.设f（x)错误!。f（x）错误!错误!,令f（x)0,得xe，f（x）在(0,e)上单调递增；在(e，）上单调递减f（x)的最大值f（e)错误!，f（x）错误!错误!(仅当xe 时，等号成立）a错误!，原方程无实根【答案】A 4某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统

3、计数据显示,从上午 6 时到 9 时，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出:y错误!t3错误!t236t错误!，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是_时【解析】y错误!t2错误!t36错误!（t12）（t8)，令y0 得t12(舍去)或t8，当 6t8 时,y0,当 8t9 时,y0，当t8 时，y有最大值【答案】8【知识要点】1优化问题 与实际问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题 2导数在优化问题中的应用 3导数与不等式（1)不等式的证明可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小，然后应用导数讨论函数的单调

4、性,从而实现不等式的证明(2)含参数不等式的恒成立问题，通过分离变量，构造函数等价转换为函数最值问题，然后应用导数求函数最值 4导数与方程 方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究,然后应用导数及数形结合确定方程根的存在性和个数 典 例 剖 析【p43】考点 1 利用导数研究生活中的优化问题 错误!某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A 系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的 A 系列一个阶段的调研发现,A 系列每日的销售量f(x）（单位：千克)与销售价格x(元/千克)近似满足关系式f(x）ax410(x7）2，其中4x7，a 为常数已知销售价格为

5、6 元/千克时，每日可售出 A 系列 15 千克（1）求函数 f（x)的解析式;(2）若 A 系列的成本为 4 元/千克，试确定销售价格x 的值,使该商场每日销售 A 系列所获得的利润最大【解析】（1）由题意可知，当 x6 时，f（x)15，即错误!1015，解得 a10，所以 f（x)错误!10(x7)2.（2)设该商场每日销售 A 系列所获得的利润为 h（x)，则 h（x)（x4)错误!10 x3180 x21 050 x1 950（4x7)，h(x)30 x2360 x1 050，令 h（x)30 x2360 x1 0500,得 x5 或 x7（舍去)，所以当 4x5 时，h(x)0，h

6、(x)在（4，5为增函数；当 5x7 时,h（x)0，h（x)在5，7）为减函数，故当 x5 时，函数 h（x)在区间(4，7）内有极大值，也是最大值，即 x5 时函数 h（x）取得最大值 50.所以当销售价格为5 元/千克时，A 系列每日所获得的利润最大【小结】利用导数解决生活中的优化问题的 4 步骤：（1）分析实际问题中变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x）；(2）求函数的导数f(x），解方程f(x)0；（3)比较函数在区间端点和 f(x）0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大（小)值；（4)回归实际问题作答 考点 2 利用导数研究函数的零

7、点或方程根的问题 错误!已知函数 f（x)exmx，mR。（1）当m1 时,求函数f(x）的最小值；（2）若函数g（x）f（x）ln xx2存在两个零点，求m的取值范围【解析】（1)当m1 时,f（x)exx，f(x）ex1，当x0，f（x)1 时，h(x）0,当 0 x1 时,h(x）0，h(x)minh(1)e1。若函数g(x)f(x）ln xx2存在两个零点，则m的取值范围为(e1，）错误!已知函数 f错误!xln xax2x。（1)当 a错误!时,证明:f错误!在定义域上为减函数；(2)若 aR,讨论函数f错误!的零点情况【解析】（1）由题意可知函数f错误!的定义域为错误!。当a12时

8、，f错误!ln x1x1ln xx，令g错误!ln xx,则g错误!错误!1错误!，当 01 时,g错误!0，所以g错误!错误!g错误!1,即g错误!ln xx0,所以f错误!0，所以方程可化为a错误!，令h错误!错误!，则h错误!错误!错误!，令h错误!0，可得xe2，当 0e2时，h(）x0，所以h错误!错误!的图象大致如图所示，结合图象可知，当a错误!时,方程a错误!没有根;当a错误!或a0 时，方程a错误!有一个根；当 0错误!时，函数f错误!无零点；当a错误!或a0 时,函数f错误!有一个零点；当0a错误!时，函数f错误!有两个零点【小结】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调

9、性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求，画出函数图象的走势规律,标明函数极(最）值的位置,通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现 考点 3 利用导数解决含参不等式问题 错误!已知函数 f(x)aln x(a1）x错误!x2(a0)（1）若 x1 是函数 f（x)的极大值点，求函数 f（x）的单调递减区间；（2)若 f(x）12x2axb 恒成立，求实数ab 的最大值【解析】(1）f(x)错误!a1x错误!错误!,x1 是函数 f(x）的极大值点，0a0)，g(x)ax1错误!，g（x）在(0，a）上递增，在(a，）上递减，g(x）maxg(a）aln a

10、ab0，baaln a，aba2a2ln a，令 h（x）x2x2ln x(x0)，h（x)x2xln xx(12ln x)，h（x）在错误!上递增，在(e错误!,)上递减，h（x）maxh（e错误!）错误!，ab错误!，实数 ab 的最大值为错误!.【小结】利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围;也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 考点 4 利用导数证明不等式 例5设函数 f（x）ln xx1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2）证明：当 x（1，）时，1错误!x.【解析】(1）函

11、数 f（x)ln xx1 的定义域为(0，）,其导函数为 f（x)错误!1,由 f(x）0，可得 0 x1；由 f(x）0，可得 x1，即 f（x）的增区间为（0，1);减区间为（1，）(2）当 x（1，)时，1错误!x,即为 ln xx1xln x。由（1）可得 f(x）ln xx1 在（1，)上递减，可得 f（x）f(1)0，即有 ln xx1；设 F（x)xln xx1，x1，则 F（x)1ln x1ln x，当 x1 时，F（x）0，可得 F（x)递增，即有 F(x）F(1）0，即有 xln xx1，则原不等式成立【小结】利用导数证明不等式：若证明 f(x)g（x)，x（a，b)，可以

12、构造函数 F(x)f(x)g（x),如果 F(x)0，则 F(x）在(a,b）上是减函数,同时若 F(a）0,由减函数的定义可知，x（a，b）时，有 F（x)0，即证明了 f(x）g（x）【能力提升】错误!已知函数 f(x）1错误!ln错误!（a 为实数）(1)当 a1 时,求函数 f(x)的图象在点错误!处的切线方程；(2）设函数 h（a）3a2a2（其中 为常数），若函数 f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a 满足 h(a)错误!，求 的取值范围;(3)已知 nN*,求证：ln(n1)1错误!错误!错误!错误!错误!。【解析】（1)当a1 时,f(x)1错误!ln错误!，f（x）

13、错误!错误!，则f错误!422,f错误!12ln 2ln 21，函数f(x)的图象在点错误!处的切线方程为：y（ln 21）2错误!，即 2xyln 220。（2）f（x）错误!错误!错误!，由f(x)0，解得xa,由于函数f(x）在区间（0,2）上不存在极值，所以a0 或a2，由于存在a满足h（a)错误!，所以h(a)max错误!，对于函数h（a）3a2a2，对称轴a错误!,当错误!0 或错误!2，即0 或错误!时，h（a)maxh错误!错误!2，由h（a)max错误!，即错误!2错误!，结合0 或错误!可得：19或错误!；当 0错误!1,即 0错误!时,h(a）maxh（0）0,由h（a）

14、max错误!,即 0错误!，结合 0错误!可知:不存在；当 1错误!2，即错误!错误!时,h(a）maxh(2）68;由h(a）max错误!，即 68错误!，结合错误!错误!可知：错误!错误!,综上可知，的取值范围是错误!错误!。（3)当a1 时，f（x）错误!,当x错误!时，f(x）0，f（x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0，f（x)单调递减，f(x）1错误!ln错误!在x1 处取得最大值f（1）0，即f(x）1错误!ln错误!f(1）0，ln错误!错误!，令x错误!，则 ln错误!错误!，即 ln（n1）ln n错误!，ln(n1）ln（n1）ln 1错误!错误!（ln 2ln 1)

15、错误!错误!错误!，故 ln（n1）0，g(x)单调递增；所以g(x)g（1）0.因此f(x）e0。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully be

16、fore the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.