(名师导学)2020版高考数学总复习第四章三角函数、平面向量与复数第26讲三角形中的三角函数练习文(.pdf

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1、第 26 讲 三角形中的三角函数 夯实基础【p61】【学习目标】1能熟练利用正、余弦定理将三角形的边角进行转化 2掌握三角形形状的判断；三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等【基础检测】1在ABC 中,若 sin Asin B，则 A 与 B 的关系为（)AAB CAB错误!DAB错误!【解析】由正弦定理知错误!错误!，sin Asin B，ab，AB。故选 B。【答案】B 2在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 b2c2a2bc.若 sin Bsin Csin2A，则ABC 的形状是(）A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形【解析】因为 sin B

2、sin Csin2A，所以错误!错误!错误!,也就是 a2bc，所以 b2c22bc，从而 bc，故 abc，ABC 为等边三角形 故选 C。【答案】C 3在ABC 中，若 b1，c错误!,C错误!，则 a_【解析】因 bc，所以 BC，故 B 为锐角 由正弦定理有错误!错误!，故错误!错误!,故 sin B错误!，所以 B错误!，因此 A错误!，所以 ab1.【答案】1 4设ABC 的内角 A,B，C 的对边分别为 a,b，c，且 a1，b2，cos C14，则 sin B_【解析】解法一：由余弦定理 c2a2b22abcos C 得 c214212错误!4，c2,故ABC 为等腰三角形 如

3、图所示，过点 A 作 BC 的高线 AE，在 RtABE 中，AE错误!错误!错误!,sin B错误!错误!错误!.解法二：由余弦定理 c2a2b22abcos C 得 c214212错误!4，c2.cos C错误!，sin C错误!错误!.又由正弦定理csin C错误!得 sin B错误!sin C错误!.【答案】错误!【知识要点】1判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系或角的关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一 等腰三角形:ab 或 AB.直角三角形：b2c2a2或 A90.钝角三角形：a2b2c2或 A90.锐角三角形：若 a 为最大边，则

4、满足 a2b2c2(A 为最大角,则 A90)2在ABC 中常用的一些基本关系式 ABC；错误!错误!错误!;sin(BC）sin A，cos（BC）cos A，tan(BC）tan A；sin 错误!cos 错误!，cos 错误!sin 错误!；tan Atan Btan Ctan Atan Btan C;三角形中等边对等角,大边对大角，反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ABC 为正三角形的充要条件是 A，B，C 成等差数列且 a，b,c 成等比数列 典 例 剖 析【p62】考点 1 三角形形状的判定 错误!(1）在ABC 中，角 A，B,C 所对边分别为 a

5、,b，c.若 a2b2c20，则三角形 ABC 是(）A锐角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D钝角三角形【解析】由余弦定理得 cos C错误!0,角 C 为钝角，即三角形 ABC 为钝角三角形，故选 D。【答案】D(2)在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且(a2b2)sin（AB）（a2b2)sin C，试判断ABC 的形状【解析】（a2b2)（sin Acos Bcos Asin B)(a2b2）(sin Acos Bcos Asin B），sin Acos B（a2b2a2b2）cos Asin B（a2b2a2b2）,sin Acos Bb2cos Asin B

6、a2，sin Acos B错误!错误!cos Asin B错误!错误!，sin Asin B（sin Bcos Bsin Acos A）0，错误!sin 2A错误!sin 2B，AB 或 2A2B180，故三角形为等腰三角形或直角三角形【小结】（1)判断三角形形状的方法：化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状 化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC 这个结论(2)判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用恒等变换得出内角的关系式；或将条件化为只含有边的关系式,然后

7、利用角的化简变形得出三边的关系 考点 2 三角形中的求值问题 错误!在ABC 中，角 A,B，C 的对边分别为 a，b，c,且 sin Asin B2sin C，a2b。（1）证明：ABC 是钝角三角形;（2）若 SABC错误!错误!,求 c 的值【解析】(1）因为 sin Asin B2sin C，由正弦定理得 ab2c，又 a2b，可得 b错误!c，a错误!c，所以 cos A错误!错误!错误!0，所以 A 为钝角,故ABC 为钝角三角形(2)由 cos A错误!,得 sin A错误!，所以 SABC错误!bcsin A错误!错误!c2错误!错误!错误!,解得 c4。【小结】(1)正弦定理

8、和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理运用，有时需要交替使用；(2)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在(0，）上的单调性求角；(3）正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视 考点 3 有关三角形中的最值（或范围)问题 错误!如图，扇形 AOB 中,圆心角 AOB 等于 60，半径为 2,在弧 AB 上有一动点 P，过 P 引平行于 OB 的直线与 OA 交于点 C，设AOP，求POC 面积的最大值及此时 的值【解析】因为 CPOB，所以CPOPOB60,OCP120.在POC 中，由正弦定理得错误!错误!，错误!错误!所以 CP错误!sin.又错误!错

9、误!，OC错误!sin（60)因此POC 的面积为 S（）错误!CPOCsin 120 错误!错误!sin 错误!sin（60)错误!错误!sin sin（60)错误!sin 错误!错误!错误!,(0，60）所以当 30时，S(）取得最大值为错误!.【能力提升】错误!已知函数 f（x）错误!sin xcos xc（0,R,c是实数常数）的图象上的一个最高点是错误!，与该最高点最近的一个最低点是错误!。(1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间;(2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b，c，且错误!错误!错误!ac,角A的取值范围是区间M,当xM时，试求函数f(x)的取值范

10、围【解析】（1）f（x）3sin xcos xc,f（x）2sin错误!c。（6，1 和错误!分别是函数图象上相邻的最高点和最低点,错误!解得错误!f(x)2sin错误!1。由 2k错误!2x错误!2k错误!,kZ，解得k错误!xk错误!,kZ。函数f（x）的单调递增区间是错误!，kZ.（2)在ABC中，错误!错误!错误!ac,accos（B）错误!ac，cos B错误!，0B，B错误!。AC错误!，0C错误!,即错误!A错误!.M错误!.当xM时，错误!2x错误!错误!，考察正弦函数ysin x的图象,可知，错误!sin错误!1。2f(x）1,即函数f（x）的取值范围是(2，1)【小结】三角

11、形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题 方 法 总 结【p63】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路,主要是利用正弦定理 走 进 高 考 【p63】1(2018天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，

12、c。已知bsin Aacos错误!。(1）求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和 sin（2AB)的值【解析】(1）在ABC中，由正弦定理错误!错误!,可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos错误!，得asin Bacos错误!，即 sin Bcos错误!，可得 tan B错误!.又因为B（0，），可得B3.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B错误!，有b2a2c22accos B7，故b错误!。由bsin Aacos错误!，可得 sin A错误!。因为ac，故 cos A错误!.因此 sin 2A2sin Acos A错误!，cos 2A2cos2A1错误!.所以 s

13、in（2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B错误!错误!错误!错误!错误!。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before

14、the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.