一元一次方程知识点总结.pdf

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1、 一元一次方程知识点总结 Prepared on 22 November 2020 一元一次方程知识点总结 一、等式与方程 1等式：（1）定义：含有等号的式子叫做等式（2）性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变 若ab那么acbc 等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为 0的整式，等式的值不变 若ab那么有acbc或acbc（0c）对称性：若ab，则ba 传递性：若ab，bc则ac（3）拓展：等式两边取相反数，结果仍相等 如果ab，那么ab 等式两边不等于 0 时，两边取倒数，结果仍相等 如果0ab，那么11ab 等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质

2、 如移项，运用了等式的性质；去分母，运用了等式的性质 运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义 2方程：（1）定义：含有未知数的等式叫做方程（2）说明：方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可 未知数：通常设 x、y、z 为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以 未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程 一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似 指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数 未知数次数最高是几就叫几次方程 方程有整式方程和分式方程 整式方程：方程的两

3、边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 二、一元一次方程 1一元一次方程的概念：（1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是 1（次）的整式方程叫做一元一次方程 （2）一般形式：0axb（a，b为常数，x为未知数，且0a）（3）注意：该方程为整式方程 该方程有且只含有一个未知数 该方程中未知数的最高次数是 1 化简后未知数的系数不为 0如：212xx，它不是一元一次方程 未知数在分母中时，它的次数不能看成是 1次如13xx，它不是一元一次方程 2一元一次方程的解法：（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：“?

4、x”的形式 （2）解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程（3）移项：定义：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项 说明：移项的标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变 移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质 移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解（4）解一元一次方程的一般步骤及根据：去分母等式的性质 去括号分配律 移项等式的性质 合并合并同类项法则 系数化为 1等式的性质 检验把方程的解分别代入方程的左右边看求得的

5、值是否相等（在草纸上）（5）一般方法：去分母，程两边同时乘各分母的最小公倍数 去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律 移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号（一般都是把未知数移到一起）合并同类项，合并的是系数，将原方程化为axb（0a）的形式 系数化 1，两边都乘以未知数的系数的倒数 检验，用代入法，在草稿纸上算 （6）注意：（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形；去

6、分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘 分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；系数化为 1 时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）；不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质不同 分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为 0的数或除以同一个不为 0的数，分数的值不变 3一元一次方程的应用：（

7、1）解决实际应用题的策略：审题：就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤 设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量 找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程（2）分析问题方法：文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系 表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系 示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系（3）设未知量方法：一个应用题，往往涉及到几个

8、未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为 x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程 设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量（4）找等量关系的方法：“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系 标关键词语，抓住关键句子确定等量关系（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系 紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据

9、常见的数量关系确定等量关系（比如体积公式，单价数量总价，单产量数量总产量，速度时间路程，工效时间工作总量等这些常见的基本数量关系，就是等量关系）通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系 借助线段图确定等量关系。线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系（5）列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点：“审”要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意即弄清已知量、未知量及其相互关系 “设”设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项式加单位括号“列”根据等量关系列出方程，即所列的方程应

10、满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位统一，用题目中的原数；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用，重复用一个条件会得到恒等式，解不出来 “解”解出方程，一定在草纸上一步步认真计算，先化简往往会简化计算“验”检验两方面，一是解得是否正确，用代入法；二是是否符合实际情况“答”写出答案，一定要答完整，有单位要加单位（6）解应用题关键与核心：根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系（这是关键一步）就是抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程核心是设出适当未知量，根据关系表示出其它量，表示出等量关系中的各个部分，从而列出方程（8）实际问题的常见题目类型：基本量、基本关系、等量关

11、系：“和、差、倍、分类问题”：弄清和谁比，比谁多，比谁少 增长量=原有量增长率，现有量=原有量+增长量 “等积变形问题”：锻造前的体积=锻造后的体积 长方体的体积=长宽高，圆柱的体积=底面积高“打折利润问题”：利润是和成本比的 利润=售价-进价，利润率=利润进价，售价=标价折扣 “行程问题”：（相遇问题和追及问题）路程=时间速度，时间=路程速度，速度=路程时间 （注意单位：路程米、千米；时间秒、分、时；速度米秒、米分、千米小时）“销售问题”总价=单价数量，总钱数=各部分钱数和“利率（息）问题”本息和=本金+利息，利息=本金利率时间（期数）“工程问题”工作总量=工作时间工作效率，工作总量=各部分工作量的和 数字问题（包括日历中数字规律）比例分配问题 调配问题 注意：应用题分类只是帮助同学们理解记忆，切不可死记题型，生搬硬套，实际上法无定法，要多加练习，培养分析问题解决问题的能力，熟练掌握列方程解应用题的一般方法