三年级奥数-周长.pdf
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1、 三年级奥数-周长-作者:_ -日期:_ 0 基本概念 周长:封闭图形一周的长度就是这个图形的周长 面积:物体的表面或封闭图形的大小,叫做它们的面积 基本公式:长方形的周长2(长宽),面积长宽 正方形的周长4边长,正方形的面积边长边长 常用方法:对于基本的长方形和正方形图形,可以直接用公式求出它们的周长和面积,对于一些不规则的比较复杂的几何图形,我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形,利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解 转化是一种重要的数学思想方法:在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分转化后的图形虽然形状变了,但其周长和面积不应该改变,所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长
2、度或某部分图形的面积转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形 寻求正确有效的解题思路:意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径因此,我们在解决数学问题时,思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题也就是说,在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时,我们往往转化问题的形式,从侧面或反面寻找突破口,知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题这种解决问题的思想在数学中叫“化归”,它是数学思维中重要的思想和方法 知识点拨 第六讲 几何问题(一)原有图形结对称 旋转 新的图形结在原有图形结构在新的图形结构 1 在几何中,有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的这样的图形我们称
3、为不规则图形不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算那么,不规则图形的面积怎样去计算呢?对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段 平移:在平面图形的计算中,常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算其中,将图形沿一个固定方向的移动叫做平移,一个图形经过平行移动不改变其形状与大小,所以图形面积是保持不变的利用图形的平移,可以使面积计算问题的解法简捷明快,颇有新意 割补:割补法在我国古代叫“出入相补原理”,我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在九章算术注中就明确地提出“出入相补,各从其类”的出入相补原理这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形,它的面积不变
4、对称:平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形轴对称图形沿对称轴折叠,轴两侧可以完全重合也就是说,如果一个图形是轴对称图形,那么对称轴平分这个图形的面积熟悉轴对称图形这个性质,对面积计算会有很大帮助 代换:在几何计算中,对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧 本讲主要通过求一些不规则图形的周长,体会一种转化思想,重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法,包括平移、割补、差不变原理,通过这些方法的学习,让学生体会求周长的技巧,提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力 【例 1】下图表示一块地,四周都用篱笆围起来,转弯处都是直角已知西边篱笆长17米,南边篱笆长23米四周篱笆长
5、多少米?北南西东1723 北南西东1723DCBA【解析】因为这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角,可以将东西方向的篱笆平移到最外边得到线段AD,将南北方向的篱笆平移到最外边得到线段BD,则折线ACB的长等于折线ADB的长 所以东边和北边篱笆的长分别和西边、南边的篱笆长相等列式为:四周篱笆长为:2317280()(米)例题精讲 2【巩固】(希望杯培训题)右图的周长是 分米 6分米7分米【解析】把那些与水平方向平行的小线段都”放”下来,恰好与底边一致;把竖直方向的小线段都依次”贴到”左边,恰好贴满左边,因此多有的短横线的长的和为6分米,所有的短竖线的长的和为7分米,图形的周长为67226()(分
6、米)【巩固】计算右边图形的周长(单位:厘米)。1510【解析】要求这个图形的周长,似乎不可能,因为缺少条件。但是,我们仔细观察这个图形,发现它的每一个角都是直角,所以,我们可以将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见右下图),这样正好移补成一个长方形。求长方形的周长就易如反掌了。所以图形的周长是:(1015)250(厘米)。【例 2】下图中标出的数表示每边长,单位是厘米它的周长是多少厘米?【解析】平移转化为求长方形的周长,长方形的长 5+6=11(厘米),宽 1+3=4(厘米),周长(11+4)2=30(厘米),(5+6)+(1+3)2=30(厘米),它的周长是30厘米 【巩固
7、】如下图是某校的平面图,已知线段 a120米,b130米,c70米,d60米,l250米杨老师每天早晨绕学校跑3圈,问每天跑多少米?3 【解析】平移法转化为长方形再求(120130+60)(70+250)233780(米)【巩固】图、图都是由完全相同的正方形拼成的,并且图的周长是22厘米,那么图的周长是多少厘米?(2)(1)【解析】图的周长是小正方形边长的12倍,图的周长是小正方形边长的18倍,因此,图的周长为2212 1833厘米 【例 3】下图的小正方形边长为 1 厘米这个图形的外沿的周长是多少厘米?【解析】28 厘米 【例 4】一个周长是 20 厘米的正方形,剪下一个周长是 6厘米的正方
8、形,剩下的图形的周长是 (写出所有可能的结果)【解析】周长为 6 厘米的正方形的边长为:641.5(厘米),周长为 20厘米的正方形的边长为2045(厘米),在一个正方形中剪下一个小正方形有两种情况:图1图2 4 对于图 1 的周长,与原来正方形的周长相等,为 20 厘米;图 2的周长,观察可以发现,比原来正方形的周长多了两条小正方形的边,即为:201.5223(厘米)【巩固】求右图的周长 【解析】140 厘米 【例 5】求下图的周长 【解析】通过平移转化为右上图,周长等于大长方形周长加上AB、CD的长,即有周长为(50+35)2+102=190(厘米)【例 6】(第七届”小机灵杯”数学竞赛初
9、赛)下面两张图中,周长较大的是 (在横线上填写表示图名的字母)第 题 141410BA【解析】通过平移比较发现B比A多两小段边,得B的周长较大 【巩固】如下图,正方形操场边长 100米,一只蚂蚁沿甲地走了一圈,另一只蚂蚁沿乙地走了一圈,谁走的路长?它们各走了多少米?5 【解析】我们分别求甲、乙的周长甲的周长可转化为长方形周长(如图),即为(100+50+30)2=360(米)再求乙的周长 乙的周长等于长方形周长加上 2 个 30 米,即为(100+50)2+302=360(米)所以它俩走的一样长 【巩固】求右图所示图形的周长(单位:分米)501050【解析】这道题最简单的方法也是用平移法来解下
10、面我们来看一个基本解法 这是一个组合图形,由两个矩形组成,不要误认为两个矩形周长的和就是组合图形的周长仔细观察图形可以发现:右边矩形的右边边长可以移到左边,这样就可以使左边的矩形变得完整所以,这个组合图形的周长就是左边矩形的周长再加上右边矩形的一条已知边长的2倍 即:50102502220()(分米)【例 7】如图是一个机器零件的侧面图,图中每一条最短线段长 5厘米,这个零件高 30厘米,求这个零件侧面的周长是多少厘米?【解析】采用平移,零件侧面的周长等于长方形周长加上内部10条最短线段长,即(57+30)2+510=180(厘米)6【例 8】下图是一面砖墙的平面图,每块砖长 20厘米,高 8
11、厘米,像图中那样一层、二层一共摆十层,求摆好后这十层砖墙的周长是多少?【解析】我们仍然可以通过平移转化为长方形来求长方形的长是10块砖的长度,即 2010=200(厘米),宽是 10块砖的宽度,即 810=80(厘米),所以十层砖墙的周长是(200+80)2=560(厘米)【巩固】把长 2 厘米、宽 1 厘米的长方形砖块摆成如图的形状,求该图形的周长?【解析】66 厘米 【例 9】右图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是多少厘米?【解析】考虑此类问题我们即可以局部分析,各个突破,也可以纵观全局整体思考 每个正方形的面积为4001625(平方厘米)
12、,所以每个正方形的边长是5厘米观察右图,这个图形的周长从上下方向来看是由7214条正方形的边组成,从左右方向来看是由423 420 条正方形的边组成,所以其周长为5 14520170 厘米 【巩固】下图是由边长为 1厘米的 11个正方形堆成的“土”字图形试求出其周长 7【解析】周长是由 24 条 1 厘米的边长组成,所以周长=124=24(厘米)【例 10】如图所示,一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形,各条线段长度见图(单位:厘米)求:图中所有长方形的周长之和 21342【解析】类似于上题,题目中所说的长方形,并不只包括最小的几个长方形,因此需要先求出每条线段在求和过程中被累加了多少次因
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