六年级奥数列方程解应用题含答案.docx

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1、 列方程解应用题知识框架方程，是一种顺向的“程序”，即设出未知数之后，完全可以根据题目叙述，把各个量翻译出来，找出等量关系划等号即可.一、 列方程解应用题的要点（1） 设出用哪个未知量表示题目中提到的其他量比较方便，就选择哪个未知量作为未知数.如果只设一个不能进行有效的表达，就再设一两个.（2） 翻译用设出的未知数，逐个对应地翻译题目中提到的其他各个量.（3） 等量按照题目所述，找出并构建等量关系.等量中很容易忽视的是“不变量”和“相同量”，一定要敏感.【提示】有时虽然设出未知数之后等式列出来了，但方程不好解. 此时，可考虑重设未知数、重列方程或采取其他方法，甚至可以考虑先把问题的目标表达式找

2、出来，“设而不求”不占而屈人之兵.二、 列方程解应用题的优势和局限性关系比较复杂的问题，使用方程，通常可以达到事半功倍的效果.但需要注意的是，方程“单飞”有时无力，需要结合线段图、列表法等，能够发挥更加明显的作用.重难点（1） 重点：未知数的选设，其他量的表达，等量关系的寻找（2） 难点：未知数的选设，等量关系的寻找，不定方程和不定方程组解的讨论例题精讲一、 列一般方程解应用题【例 1】 已知足球、篮球、排球三种球平均每个35 元.篮球比排球每个贵 10 元，足球比排球每个贵8 元.问：每个篮球多少元？【考点】列方程解应用题【难度】1 星【题型】解答【解析】设每个排球 x 元，则每个篮球为 x

3、+10 元，每个足球 x+8 元，由已知列方程：六年级奥数.应用题.列方程解应用题 .教师版Page 1 of 12 x+x+8+x+10=353，解得 x=29.【巩固】 有一些糖，每人分 5 块多 10 块；如果现有的人数增加到原人数的 1.5 倍，那么每人 4 块就少 2块.问这些糖共有多少块?【考点】列方程解应用题【解析】设开始共有 x 人，5x+10=41.5x-2，【题型】解答解得 x=12，1【例 2】 一个分数 ，分子与分母的和是 122，如果分子、分母郡减去 19，得到的分数约简后是 那5【考点】列方程解应用题1a=【解析】方法一：设这个分数为,122 - a(122 - a

4、 ) - 19 103 - a 533即a， 那 么 原 来 这 个 分 数 为5a(a +19) + (5a +19)=122, ，解得.=14所以原来的分数是【巩固】 如下左图中的短除式所示，一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除余 1，再把第二次所得的商被 8 除后余 7，最后得到的一个商是a 如下右图中的短除式表明：这个自然数被17 除余 4，所得的商被 17 除余 15，最后得到的一个商是a 的 2 倍求这个自然数【考点】列方程解应用题【题型】解答() 8a + 7 8+18+1= 17 + 2a +17 + 4,【解析】由题意知整理得 512a+457=578a+259，即

5、 66a=198， a=3于是，(80+1)8+1 8+1=1993【例 3】 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶.已知船在静水中的速度为 8 千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为 21.某天恰逢暴雨，水流速度为原来的 2倍，这条船往返共用 9 时.问：甲、乙两港相距多少千米？【考点】列方程解应用题【题型】解答【解析】 设甲、乙两港相距 x 千米，原来水流速度为 a 千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为21，即83xx+再根据暴雨天水流速度变为 2a 千米/时，则有8xx+3【考点】列方程解应用题270717在这段时间内乙走了72.（米）.由于正方形

6、边长为 90 米，共四条边，故由， 【例 4】 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 16 个，或制盒底 43 个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有 150 张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？【考点】列方程解应用题x150x = 8616x 2 = 43yy所以 86 张铁皮制盒身，64 张铁皮制盒底.【答案】86；64【巩固】 运来三车苹果，甲车比乙车多4 箱，乙车比丙车多4 箱，甲车比乙车每箱少3 个苹果，乙车比丙车每箱少 5 个苹果，甲车比乙车总共多 3 个苹果，乙车比丙车总共多 5 个苹果，这三车苹果共有多少个?【考点】列方程解应用题车别箱数甲乙丙xy

7、x4y5每箱苹果数xy-（x-4）（y+5）=5【例 5】 有甲、乙、丙、丁4 人，每 3 个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l 和 17这4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少?【考点】列方程解应用题【题型】解答xyz +十得：2( +y+z+ )=90，xwx + y + z + w则=1532x =14 x-得：-得：,=21；z=3；323z = 2，所以最大年龄与最小年龄的差为=213=18(岁)x- w【答案】18三、 列不定方程或不定方程组解应用题【例 6】 新发行的一套邮票共 3 枚，面值分别为 20 分、40 分和 50 分，小明花 5.00 元买了 15 张

8、.问：其中三种面值的邮票各多少张？【考点】列方程解应用题【难度】2 星【题型】解答【解析】根据题意，设面值 20 分的 张，面值 40 分的 张，面值 50 分的 张，可列方程得xyz =6x + + =15x y zy= 7解得20x + 40y + 50z = 500z = 2所以 20 分的 6 张，40 分的 7 张，50 分的 2 张【答案】6；7；2【巩固】 某次数学竞赛准备了 22 支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6 支，二等奖每人发 3 支，三等奖每人发 2 支.后来又改为一等奖每人发 9 支，二等奖每人发 4支，三等奖每人发 1 支.问：获一、二

9、、三等奖的学生各几人？【考点】列方程解应用题【难度】3 星【题型】解答【解析】根据题意，设一等奖 人，二等奖 人，三等奖 人，可列方程得x y z =1x6x + 3y + 2z = 229x + 4y + z = 22y= 2解得z = 5所以，一等奖 1 人，二等奖 2 人，三等奖 5 人.六年级奥数.应用题.列方程解应用题 .教师版Page 5 of 12 【答案】1；2；5【例 7】 工程队要铺设 78 米长的地下排水管道，仓库中有 3 米和 5 米长的两种管子.问：可以有多少种不同取法？【考点】列方程解应用题【难度】2 星【题型】解答【解析】根据题意，设 3 米管子 根，5 米管子

10、根，可列方程得xy3x + 5y = 78 =26x = 21 x =16 x =11 x = 6x =1x解得或 或或 或或 y = 0y = 3y = 6y = 9 y =12 y =15所以共有 6 种取法.【答案】6【巩固】 用 1 分、2 分和 5 分硬币凑成 1 元钱，共有多少种不同的凑法？【考点】列方程解应用题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】根据题意，设 5 分有 个，2 分有 个，1 分有 个，可列方程得xyz5x + 2y + z =1005 分取 20 个，有 1 种.5 分取 19 个，2 分有 3 种取法（2 个、1 个、0 个），共 3 种.5 分取 18 个，

11、共 6 种.（同上）5 分取 17 个，共 8 种.5 分取 16 个，共 11 种.根据规律不难求出共有1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51=18+58+98+138+178+51=490+51=541【答案】541【例 8】 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 216 棵树那么其中有多少名男职工?【考点】列方程解应用题【难度】4 星【题型】解答【解析】设男职工 人，孩子 人，则女职

12、工 3 - 人(注意，为何设孩子数为 人，而不是设女工为 人)，xyy xyy( )13x +10 3y - x +6y=216，化简为3x + 36y=216，即x +12y=72那么有 =12 = 24 = 36 = 48 = 60xxxxx有 . y = 5 y = 4 y = 3 y = 2 y =1六年级奥数.应用题.列方程解应用题 .教师版Page 6 of 12 =x必须是自然数，所以只有【巩固】 一居民要装修房屋，买来长0.7 米和 O.8 米的两种木条各若干根如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4 米，0.7+0.8=1.5 米

13、那么在 3.6 米、3.8米、3.4 米、3.9 米、3.7 米这 5 种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?【考点】列方程解应用题【题型】解答【解析】设 0.7 米，0.8 米两种木条分别 x ， y 根，则0.7 x +0.8 y =3.4，3.6，即7 x +8 y =34，36，37，38，39. 将系数，常数对 7 取模，有 y 6，l，2，3，4(mod 7)，于是 y 最小分别取 6,1,2，3，4但是当 y 取 6 时，86=48 超过 34， x 无法取值【例 9】 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔 4 分就有一辆与此人迎面相遇，每隔 6 分就有一辆从背后超

14、过此人.如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？【考点】列方程解应用题由、，得将代入，得x4.8【答案】4.8【巩固】 某地收取电费的标准是：若每月用电不超过 50 千瓦时，则每千瓦时收 5 角；若超过 50 千瓦时，则超出部分按每千瓦时 8 角收费.某月甲用户比乙用户多交 3 元 3 角电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？【考点】列方程解应用题【题型】解答 【解析】根据题意可知，因为 3 元 3 角既不是 5 角的整数倍，也不是 8 角的整数倍.所以甲用的电超过 50千瓦时，乙用的电没有超过 50 千瓦时，设甲用的电超过 50 千瓦时的部分为 千瓦时电，乙用的x =1x电与

15、50 千瓦时相差 千瓦时电，可列方程得y【例 10】 某校师生为贫困地区捐款 1995 元这个学校共有 35 名教师，14 个教学班各班学生人数相同且多于 30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？【考点】列方程解应用题【题型】解答【解析】设每班有 a(30a45)名学生，每人平均捐款 x 元(x 是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995于是14a+35|1995又 3la45，所以 46914a+35665，而 1995=35719，在 469 与 665 之间它的约数仅有 665，故 14a+35=665，x=3，平均每人捐款 3 元【巩固】 一

16、次数学竞赛中共有 A、B、C 三道题，25 名参赛者每人至少答对了一题在所有没有答对A 的学生中，答对B 的人数是答对 C 的人数的两倍，只答对问题A 的人数比既答对 A 又至少答对其他一题的人数多 1又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A请问有多少学生只答对 B?【考点】列方程解应用题xy25- x=3，=7 时， 、 都是正整数，所以x= 7, y = 6, z = 2.xz故只答对 B 的有 6 人【答案】6【随练1】 有一队伍以 1.4 米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.6 米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10 分 50 秒.问

17、：队伍有多长？ 【考点】经济问题【题型】解答解得 x500【随练2】 六（1）班举行一次数学测验，采用 5 级计分制（5 分最高，4 分次之，以此类推）.男生的平均成绩为 4 分，女生的平均成绩为 3.25 分，而全班的平均成绩为 3.6 分.如果该班的人数多于 30人，少于 50 人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？【考点】列方程解应用题【题型】解答在大于 30 小于 50 的自然数中，只有 45 可被 15 整除，所以【随练3】(1)将 50 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大质数是多少?(2)将 60 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小

18、，则这个最大的质数是多少?【考点】列方程解应用题【解析】(1)首先确定这 10 个质数或其中的几个质数可以相等，不然10 个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于 50 所以，其中一定可以有某几个质数相等欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有 9 个 2，那么最大质数不超过 5029=32，而不超过 32 的最大质数为 31，所以满足条件的最大质数为 318个2(2)最大的质数必大于 5，否则 10 个质数的之和将不大于 50所以最大的质数最小为 7，为使和为 60，所以尽可能的含有多个 7607=84，60=

19、7+7+7+ +7+4 ，而 4=2+2，恰好有60=7+7+7+ +7+2+28个78个72 个 2 的和为 60，显然其中最大的质数最小为 7 【随练4】在同一路线上有 4 个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的 12 时追上乘助力车的，14 时遇到骑自行车的，而开摩托车的相遇是 16 时开摩托车的遇到乘助力车的是 17 时，并在 18 时追上了骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助车的?【考点】经济问题【题型】解答【解析】设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为 a，b，c，d，设在 12 时骑自行车的与坐汽车的距离为

20、，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为 y有x(+)2 一(+)，得10310x即t3所以骑自行车的在 15 时 20 分遇见骑助力车的【答案】15 时 20 分【作业1】甲、乙、丙、丁四人今年分别是 16、12、11、9 岁.问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的 2 倍？【考点】列方程解应用题解得 x=6.所以，6 年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2 倍.【答案】6【作业2】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为 3.6 千米/时，骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒，通过骑车人用 26 秒，

21、这列火车的车身总长是多少？【考点】列方程解应用题【题型】解答 （x-1）22=（x-3）26.解得 x=14.所以火车的车身长为（14-1）22=286（米）.【答案】286【作业3】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴得 5 分，套中小狗得 2 分.小明共套了 10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10 次共得 61 分.问：小明至多套中小鸡几次？【考点】列方程解应用题【难度】3 星【题型】解答【解析】设套中小鸡 x 次，套中小猴 y 次，则套中小狗（10-x-y）次.根据得 61 分可列方程9x+5y+2（10-x-y）=61，化简后得 7x=413y.显然

22、 y 越小，x 越大.将 y=1 代入得 7x=38，无整数解；若 y=2，7x=35，解得 x=5.【答案】5【作业4】袋子里有三种球，分别标有数字2，3 和 5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43.问：小明最多摸出几个标有数字 2 的球？【考点】列方程解应用题【难度】3 星【题型】解答【解析】根据题意，设摸出标有数字 2 的 个，摸出标有数字 3 的 个，摸出标有数字 5 的 个，可列方xyz2x + 3y + 5z = 43程得最大为所求.x， =20x所以，摸出标有数字 2 的最多为 20 个.y=1解得z = 0【答案】20【作业5】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时

23、总要叫上几声表示问候.若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了 15 天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这 15 天内它们共叫了 61 声.问：波斯猫至少叫了多少声？【考点】列方程解应用题【难度】3 星【题型】解答【解析】根据题意，设白天见面的次数为 ，晚上见面的次数为 ，可列方程得x y3x + 5y = 61白天见面最多时，波斯猫叫声最少.即 最大为所求.x =12x解得所以，波斯猫至少叫12+53 = 27（声）.= 5y【答案】27【作业6】 小明买红、蓝两支笔，共用了17 元两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝

24、笔贵小强打算用 35 元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把 35 元恰好用完那六年级奥数.应用题.列方程解应用题 .教师版Page 11 of 12 么红笔的单价是多少元?【考点】列方程解应用题【解析】如下表【难度】3 星【题型】解答先 枚 举 出所有可能的单价如表1再依次考虑：首先，不能出现 35 的约数否则只买这种笔就可以刚好用完35 元，所以含有 7，5，1 的组合不可能然后，也不能出现 3517=18 的约数否则先各买一支需 17 元，那么再买这种笔就可以花去 18 元，一共花 35 元所以含有 9，6，3，2 的组合也不可能所以，只有 13+4 的组合可能

25、，经检验 13x+4y=35 这个不定方程确实无自然数解所以红笔的单价为 13 元么红笔的单价是多少元?【考点】列方程解应用题【解析】如下表【难度】3 星【题型】解答先 枚 举 出所有可能的单价如表1再依次考虑：首先，不能出现 35 的约数否则只买这种笔就可以刚好用完35 元，所以含有 7，5，1 的组合不可能然后，也不能出现 3517=18 的约数否则先各买一支需 17 元，那么再买这种笔就可以花去 18 元，一共花 35 元所以含有 9，6，3，2 的组合也不可能所以，只有 13+4 的组合可能，经检验 13x+4y=35 这个不定方程确实无自然数解所以红笔的单价为 13 元么红笔的单价是多少元?【考点】列方程解应用题【解析】如下表【难度】3 星【题型】解答先 枚 举 出所有可能的单价如表1再依次考虑：首先，不能出现 35 的约数否则只买这种笔就可以刚好用完35 元，所以含有 7，5，1 的组合不可能然后，也不能出现 3517=18 的约数否则先各买一支需 17 元，那么再买这种笔就可以花去 18 元，一共花 35 元所以含有 9，6，3，2 的组合也不可能所以，只有 13+4 的组合可能，经检验 13x+4y=35 这个不定方程确实无自然数解所以红笔的单价为 13 元