2015年北京高考文科数学试题及答案.docx
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1、2015年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(每小题5分,共40分)1(5分)(2015北京)若集合A=x|5x2,B=x|3x3,则AB=()Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x32(5分)(2015北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2+(y1)2=1BB(x+1)2+(y+1)2=1C(x+1)2+(y+1)2=2D(x1)2+(y1)2=23(5分)(2015北京)下列函数中为偶函数的是()Ay=x2sinxBy=x2cosxCy=|lnx|Dy=2x4(5分)(2015北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在
2、抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A90B100C180D3005(5分)(2015北京)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A3B4C5D66(5分)(2015北京)设,是非零向量,“=|”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7(5分)(2015北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A1BCD28(5分)(2015北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2
3、015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 ()A6升B8升C10升D12升二、填空题9(5分)(2015北京)复数i(1+i)的实部为10(5分)(2015北京)23,3,log25三个数中最大数的是11(5分)(2015北京)在ABC中,a=3,b=,A=,则B=12(5分)(2015北京)已知(2,0)是双曲线x2=1(b0)的一个焦点,则b=13(5分)(2015北京)如图,ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为14(5分)
4、(2015北京)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看,在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;在语文和数学系两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是三、解答题(共80分)15(13分)(2015北京)已知函数f(x)=sinx2sin2(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,上的最小值16(13分)(2015北京)已知等差数列an满足a1+a2=10,a4a3=2(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列an
5、的第几项相等?17(13分)(2015北京)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买 甲乙丙丁10021720030085 98(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18(14分)(2015北京)如图,在三棱锥VABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB(3)求三棱
6、锥VABC的体积19(13分)(2015北京)设函数f(x)=klnx,k0(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,)上仅有一个零点20(14分)(2015北京)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由2015年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共40分)1(5分)(2015北京)若集合A=x|5x2,B=x|3x
7、3,则AB=()Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x3考点:交集及其运算菁优网版权所有专题:集合分析:直接利用集合的交集的运算法则求解即可解答:解:集合A=x|5x2,B=x|3x3,则AB=x|3x2故选:A点评:本题考查集合的交集的运算法则,考查计算能力2(5分)(2015北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2+(y1)2=1BB(x+1)2+(y+1)2=1C(x+1)2+(y+1)2=2D(x1)2+(y1)2=2考点:圆的标准方程菁优网版权所有专题:计算题;直线与圆分析:利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程解答:解:由题意知圆半径r=,圆的方程
8、为(x1)2+(y1)2=2故选:D点评:本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,是基础题3(5分)(2015北京)下列函数中为偶函数的是()Ay=x2sinxBy=x2cosxCy=|lnx|Dy=2x考点:函数奇偶性的判断菁优网版权所有专题:函数的性质及应用分析:首先从定义域上排除选项C,然后在其他选项中判断x与x的函数值关系,相等的就是偶函数解答:解:对于A,(x)2sin(x)=x2sinx;是奇函数;对于B,(x)2cos(x)=x2cosx;是偶函数;对于C,定义域为(0,+),是非奇非偶的函数;对于D,定义域为R,但是2(x)=2x2x,2x2x;是非奇非偶
9、的函数;故选B点评:本题考查了函数奇偶性的判断;首先判断定义域是否关于原点对称;如果不对称,函数是非奇非偶的函数;如果对称,再判断f(x)与f(x) 关系,相等是偶函数,相反是奇函数4(5分)(2015北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A90B100C180D300考点:分层抽样方法菁优网版权所有专题:计算题;概率与统计分析:由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,即可得出结论解答:解:由题意,老年
10、和青年教师的人数比为900:1600=9:16,因为青年教师有320人,所以老年教师有180人,故选:C点评:本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,比较基础5(5分)(2015北京)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A3B4C5D6考点:程序框图菁优网版权所有专题:图表型;算法和程序框图分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,k的值,当a=时满足条件a,退出循环,输出k的值为4解答:解:模拟执行程序框图,可得k=0,a=3,q=a=,k=1不满足条件a,a=,k=2不满足条件a,a=,k=3不满足条件a,a=,k=4满足条件a,退出循环,输出k的值为4故选:B点评:本题主要考查
11、了循环结构的程序框图,属于基础题6(5分)(2015北京)设,是非零向量,“=|”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题:平面向量及应用;简易逻辑分析:由便可得到夹角为0,从而得到,而并不能得到夹角为0,从而得不到,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项解答:解:(1);时,cos=1;“”是“”的充分条件;(2)时,的夹角为0或;,或;即得不到;“”不是“”的必要条件;总上可得“”是“”的充分不必要条件故选A点评:考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概
12、念,以及判断方法与过程,数量积的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义7(5分)(2015北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A1BCD2考点:由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离分析:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据,可得答案解答:解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图:其中PA平面ABCD,底面ABCD为正方形PA=1,AB=1,AD=1,PB=,PC=PD=该几何体最长棱的棱长为:故选:C点评:本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体的结构
13、特征是解答本题的关键8(5分)(2015北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 ()A6升B8升C10升D12升考点:一次函数的性质与图象菁优网版权所有专题:函数的性质及应用分析:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,由此得到该车每100千米平均耗油量解答:解:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量486
14、=8;故选:B点评:本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力二、填空题9(5分)(2015北京)复数i(1+i)的实部为1考点:复数的基本概念菁优网版权所有专题:数系的扩充和复数分析:直接利用复数的乘法运算法则,求解即可解答:解:复数i(1+i)=1+i,所求复数的实部为:1故答案为:1点评:本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力10(5分)(2015北京)23,3,log25三个数中最大数的是log25考点:不等式比较大小菁优网版权所有专题:函数的性质及应用分析:运用指数函数和对数函数的单调性,可得0231,132,log25log24=2,即可得到最大数解答:解:由
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