2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版).docx
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1、2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1(5分)设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,全集U=AB,则集合U(AB)中的元素共有()A3个B4个C5个D6个2(5分)已知=2+i,则复数z=()A1+3iB13iC3+iD3i3(5分)不等式1的解集为()Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x04(5分)已知双曲线=1(a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为()AB2CD5(5分)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中
2、恰有1名女同学的不同选法共有()A150种B180种C300种D345种6(5分)设、是单位向量,且,则的最小值为()A2B2C1D17(5分)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()ABCD8(5分)如果函数y=3cos(2x+)的图象关于点(,0)中心对称,那么|的最小值为()ABCD9(5分)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A1B2C1D210(5分)已知二面角l为60,动点P、Q分别在面、内,P到的距离为,Q到的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为()A1B2
3、CD411(5分)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x1)都是奇函数,则()Af(x)是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)=f(x+2)Df(x+3)是奇函数12(5分)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点Al,线段AF交C于点B,若=3,则|=()AB2CD3二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13(5分)(xy)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 14(5分)设等差数列an的前n项和为Sn,若S9=81,则a2+a5+a8= 15(5分)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,BAC=120,则此球
4、的表面积等于 16(5分)若,则函数y=tan2xtan3x的最大值为 三、解答题(共6小题,满分70分)17(10分)在ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知a2c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b18(12分)如图,四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,SD底面ABCD,AD=,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,ABM=60(I)证明:M是侧棱SC的中点;()求二面角SAMB的大小19(12分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2
5、局中,甲、乙各胜1局(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;()设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求的分布列及数学期望20(12分)在数列an中,a1=1,an+1=(1+)an+(1)设bn=,求数列bn的通项公式;(2)求数列an的前n项和Sn21(12分)如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x4)2+y2=r2(r0)相交于A、B、C、D四个点()求r的取值范围;()当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标22(12分)设函数f(x)=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2,且x11,0,x21,2(1)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满
6、足这些条件的点(b,c)的区域;(2)证明:2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1(5分)设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,全集U=AB,则集合U(AB)中的元素共有()A3个B4个C5个D6个【考点】1H:交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出AB,再根据补集的含义求解【解答】解:AB=3,4,5,7,8,9,AB=4,7,9U(AB)=3,5,8故选A也可用摩根律:U(AB)=(UA)(UB)故选:A【点评】本题考查集合的基本运算,较简单2(5分)已知=2+
7、i,则复数z=()A1+3iB13iC3+iD3i【考点】A1:虚数单位i、复数菁优网版权所有【分析】化简复数直接求解,利用共轭复数可求z【解答】解:,z=13i故选:B【点评】求复数,需要对复数化简,本题也可以用待定系数方法求解3(5分)不等式1的解集为()Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x0【考点】7E:其他不等式的解法菁优网版权所有【分析】本题为绝对值不等式,去绝对值是关键,可利用绝对值意义去绝对值,也可两边平方去绝对值【解答】解:1,|x+1|x1|,x2+2x+1x22x+1x0不等式的解集为x|x0故选:D【点评】本题主要考查解绝对值不等式,属基本题解绝对值不等式
8、的关键是去绝对值,去绝对值的方法主要有:利用绝对值的意义、讨论和平方4(5分)已知双曲线=1(a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率为()AB2CD【考点】KC:双曲线的性质;KH:直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】先求出渐近线方程,代入抛物线方程,根据判别式等于0,找到a和b的关系,从而推断出a和c的关系,答案可得【解答】解:由题双曲线的一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得ax2bx+a=0,因渐近线与抛物线相切,所以b24a2=0,即,故选:C【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率,基础题5(5分
9、)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A150种B180种C300种D345种【考点】D1:分类加法计数原理;D2:分步乘法计数原理菁优网版权所有【专题】5O:排列组合【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法,1名女同学来自甲组和乙组两类型【解答】解:分两类(1)甲组中选出一名女生有C51C31C62=225种选法;(2)乙组中选出一名女生有C52C61C21=120种选法故共有345种选法故选:D【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理,最关键做到不重不漏,先分类,后分步!6(5分)设、
10、是单位向量,且,则的最小值为()A2B2C1D1【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】16:压轴题【分析】由题意可得 =,故要求的式子即 ()+=1 cos=1cos,再由余弦函数的值域求出它的最小值【解答】解:、 是单位向量,=()+=0()+1=1 cos =1cos故选:D【点评】考查向量的运算法则;交换律、分配律但注意不满足结合律7(5分)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()ABCD【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【分析】首先找到异面直
11、线AB与CC1所成的角(如A1AB);而欲求其余弦值可考虑余弦定理,则只要表示出A1B的长度即可;不妨设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1,利用勾股定理即可求之【解答】解:设BC的中点为D,连接A1D、AD、A1B,易知=A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角;并设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为1,则|AD|=,|A1D|=,|A1B|=,由余弦定理,得cos=故选:D【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理8(5分)如果函数y=3cos(2x+)的图象关于点(,0)中心对称,那么|的最小值为()ABCD【考点】HB:余弦函数的对称性菁优网版权所有【专题】11:计算
12、题【分析】先根据函数y=3cos(2x+)的图象关于点中心对称,令x=代入函数使其等于0,求出的值,进而可得|的最小值【解答】解:函数y=3cos(2x+)的图象关于点中心对称由此易得故选:A【点评】本题主要考查余弦函数的对称性属基础题9(5分)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A1B2C1D2【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程;又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程【解答】解:设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又x0+a=1y0=0,x0=1a=2故选:
13、B【点评】本题考查导数的几何意义,常利用它求曲线的切线10(5分)已知二面角l为60,动点P、Q分别在面、内,P到的距离为,Q到的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为()A1B2CD4【考点】LQ:平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题【分析】分别作QA于A,ACl于C,PB于B,PDl于D,连CQ,BD则ACQ=PBD=60,在三角形APQ中将PQ表示出来,再研究其最值即可【解答】解:如图分别作QA于A,ACl于C,PB于B,PDl于D,连CQ,BD则ACQ=PDB=60,又当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值故选:C【点评】本题主要考查了平面与平
14、面之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题11(5分)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x1)都是奇函数,则()Af(x)是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)=f(x+2)Df(x+3)是奇函数【考点】3I:奇函数、偶函数菁优网版权所有【专题】16:压轴题【分析】首先由奇函数性质求f(x)的周期,然后利用此周期推导选择项【解答】解:f(x+1)与f(x1)都是奇函数,函数f(x)关于点(1,0)及点(1,0)对称,f(x)+f(2x)=0,f(x)+f(2x)=0,故有f(2x)=f(2x),函数f(x)是周期T=2(
15、2)=4的周期函数f(x1+4)=f(x1+4),f(x+3)=f(x+3),f(x+3)是奇函数故选:D【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用,并考查函数周期的求法12(5分)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点Al,线段AF交C于点B,若=3,则|=()AB2CD3【考点】K4:椭圆的性质菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题【分析】过点B作BMx轴于M,设右准线l与x轴的交点为N,根据椭圆的性质可知FN=1,进而根据,求出BM,AN,进而可得|AF|【解答】解:过点B作BMx轴于M,并设右准线l与x轴的交点为N,易知FN=1由题意,故FM=,故B点的横坐标为,纵
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- 2009 全国 统一 高考 数学试卷 理科 全国卷 解析
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