高考数学专题： 双变量不等式的证明.pdf

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1、 专题专题 双变量不等式的证明双变量不等式的证明 1. 已知函数， （）设（其中是的导函数） ，求的最大值； （）求证: 当时，有； 2. 已知函数 （1）试求函数的单调区间和极值 （2）若 直线与相交于不同两点， 若 证明：. ( )lnf xx21( )22g xxx)() 1()(xgxfxh)(xg( )g x( )h x0ba()(2 )2baf abfaa( )ln (0)f xxx x( )f x( )( ),g xfxykxb( )g x1122( ,), (,)A x yB xy1202xxx0()kg x 3. 已知函数. （1） 若函数满足,且在定义域内恒成立， 求实数b

2、的取值范围； （2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围； （3）当时，试比较与的大小. 4. 已知函数，当时，函数取得极大值. （1）求实数的值； （2）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有； a( )ln(1)f xxmx0 x ( )f xm( )ln(1)f xxmx( , )a b1a 0( , )xa b0( )( )()f bf afxba121xx 121112()()( )()()f xf xg xxxf xxx12( ,)xx x( )( )f xg x 5. 已知函数. （）讨论的单调性； （）若恒成立，

3、证明：当时，. 6. 已知函数已知函数，其中，其中 为大于零的常数为大于零的常数 （）讨论）讨论的单调区间；的单调区间； （）若）若存在两个极值点存在两个极值点，且不等式，且不等式恒成立，恒成立， 求实数求实数 的取值范围的取值范围. . ( )2ln()f xxaxa aR( )f x( )0f x 120 xx21211()()12(1)f xf xxxx 7. 已知函数已知函数 f f（x x）x x2 2+2+2alnxalnxbxbx（a a0 0） ） （）若）若 a a1 1，b b3 3，求函数，求函数 y yf f（x x）在（）在（1 1，f f（1 1） ）处的切线方程；

4、） ）处的切线方程； （）若）若 f f（x x1 1）f f（x x2 2）0 0，且，且 x x1 1xx2 2，证明：，证明：ff（）0 0 8. 已知函数1( )lnf xxaxx (1)讨论( )f x的单调性； (2)若( )f x存在两个极值点12,x x，证明：1212()()2f xf xaxx 9. 已知函数 22ln2(0)f xxmxxm （1）讨论函数 f x的单调性； （2）当3 22m 时，若函数 f x的导函数 fx的图象与x轴交于,A B两点，其横坐标分别为1212,()xxxx，线段AB的中点的横坐标为0 x，且12,x x恰为函数 2lnh xxcxbx的

5、零点，求证：1202ln23xxhx 10. 已知函数 22ln0f xxaxxx， f x的导函数是 fx， 对任意两个不相等的正数12,x x，证明： （）当0a 时， 121222f xf xxxf （）当4a 时， 1212fxfxxx（说明说明：7.8 班基础薄弱的同学选做班基础薄弱的同学选做） 专题专题 双变量不等式的证明双变量不等式的证明答案答案 1.解：(),， 当时，；当时， 因此，在上单调递增，在上单调递减 因此，当时，取得最大值； （） 当时， 由 （1） 知： 当时， 即 因此，有 2. 答案如下 3.解： （1）因为，所以，由令， 可得在上递减，在上递增，所以，即 (

6、2)若， 令当，当， 所以时取得极小值即最小值而当时 ，必有根，必有极值，在定义域上不单调.所以 （3）由（1）知在上单调递减 所以时，即 而时，所以，所以 4.答案如下答案如下 /( )(1)( )ln(1)2h xf xg xxx1x 1( )111xh xxx 10 x ( )0h x0 x ( )0h x( )h x( 1,0)(0,)0 x ( )h x(0)2h0ba102baa 10 x ( )2h x ln(1) xx()(2 )lnln 1222abbabaf abfaaaa 21 f1a xxxxxfln2bxxxxbxxxxxlnln11222 xxxxgln11 xg,

7、( 10), 1 01 gxgmin0bea210 ,ln02xxaxxgxf xaxg12 ,axxg210ax210, ,0 xg,ax21 ,0 xgax21ea210021121aagln 0 xf xfea21 xxxgln1110,11yxe ygxgyyxxlnln1111yxe01xln01xlnxyxylnln11 5. 解： （） 若，在上递增； 若，当时，单调递增； 当时，单调递减 （） 由 （） 知， 若，在上递增， 又， 故不恒成立 若，当时，递减，不合题意 若，当时，递增，不合题意 若，在上递增，在上递减，符合题意， 故，且（当且仅当时取“”） 当时， ，所以 6.

8、6. 解解： （） ， （1）当时，在在上单调递增 （2）当时，设方程的两根为， 则， ， 在，上单调递增，上单调递减 2( ),0axfxxx0a ( )0fx ( )f x(0,)0a 2(0,)xa( )0fx ( )f x2( ,)xa( )0fx ( )f x0a ( )f x(0,)(1)0f( )0f x 2a 2( ,1)xa( )f x( )(1)0f xf02a2(1, )xa( )f x( )(1)0f xf2a ( )f x(0,1)(1,)( )(1)0f xf2a ln1xx1x 120 xx221211()()2ln2()2xf xf xxxx22112(1)2(

9、)2xxxx21112(1)()xxx21211()()12(1)f xf xxxx （）由（）可知，且， 由 因为 所以 设， 令， 当时， 故在上单调递减， 所以 综上所述，时，恒成立. 7.7. 解解： （）若 a1，b3，f（x）x2+2lnx3x，导数为 f（x）2x3， 可得在 x1 处切线的斜率为2，f（1）0，可得切线方程为 y2（x1） ， 即为 2x+y20； （）证明：若 f（x1）f（x2）0，且 x1x2， 可得 x12+2alnx1bx10，x22+2alnx2bx20， 两式相减可得（x1x2） （x1+x2）a（lnx1lnx2）b（x1x2）0， 即有 x1+

10、x2ba， 可设 x0， 由 f（x0）2x0b（x1+x2b）a lnln， 令 t，t1，可得 f（x0）lnt， 设 u（t）lnt，t1，导数为 u（t）0， 可得 u（t）在 t1 递增，且 u（1）0， ，可得 u（t）u（1）0， 即 lnt0，又 a0，x2x10，可得 f（x0）0，综上可得 f（）0 8. 解：(1)的定义域为， （i）若，则，当且仅当，时， 所以在单调递减 （ii）若，令得，或 当时，； 当时 ， 所 以在，单调递减，在单调递增 ( )f x(0,)22211( )1axaxfxxxx 2a( )0fx2a 1x ( )0fx( )f x(0,)2a (

11、)0fx242aax242aax2244(0,)(,)22aaaax( )0fx2244(,)22aaaax( )0fx( )f x24(0,)2aa24(,)2aa2244(,)22aaaa (2)由(1)知，存在两个极值点当且仅当 由于的两个极值点，满足，所以， 不妨设，则由于 ， 所以等价于 设函数，由(1)知，在单调递减，又，从而当时，所以，即 9.【答案】过程如下： 综上所述， 当02m时， f x在0,内单调递增； 当2m 时 ， f x在2244,22mmmm内 单 调 递 减 ， 在240,2mm， 24,2mm内单调递增. （2） 由 （1） 知， 221xmxfxx， 所以

12、 fx的两根1x， 2x即为方程210 xmx 的两根.因为3 22m ，所以240m ， 12xxm， 121x x . 又因为1x， 2x为 2lnh xxcxbx的零点， 所以2111ln0 xcxbx， 2222ln0 xcbx，两式相减得 11212122ln0 xc xxxxb xxx，得121212lnxxbc xxxx. 而 12hxcxbx，所以： ( )f x2a ( )f x1x2x210 xax 121x x 12xx21x 12121221212121222( )()lnlnlnln2ln11221f xf xxxxxxaaaxxx xxxxxxx 1212()()2

13、f xf xaxx22212ln0 xxx1( )2lng xxxx( )g x(0,)(1)0g(1,)x( )0g x 22212ln0 xxx1212()()2f xf xaxx 120120012xxh xxxcxbx121212121212ln2xxxxc xxc xxxxxx 1211222lnxxxxxx 12112212ln1xxxxxx.令12(01)xttx ，由2212xxm 得22212122xxx xm，因为121x x ，两边同时除以12x x，得212tmt， 因为3 22m ，故152tt，解得102t 或2t ，所以102t . 设 12ln1tG ttt，所

14、以 22101tG tt t，则 yG t在10,2上是减函数，所以 min12ln223G tG ，即120yxxhx的最小值为2ln23. 所以1202ln23xxhx . 10证明：（）由 22lnf xxaxx 得 1222121212111lnln222f xf xaxxxxxx 22121212121ln2xxxxax xx x 2121212124ln222xxxxxxfaxx 而22222212121212112242xxxxxxx x 又2221212121224xxxxx xx x 1212124xxx xxx 12122xxx x 1212lnln2xxx x 0a 12

15、12lnln2xxax xa 由、得 2221212121212121214lnln22xxxxxxax xax xx xxx 即 121222f xf xxxf （）证法一：由 22lnf xxaxx，得 222afxxxx 12122211222222aafxfxxxxxxx121222121222xxaxxx xx x 121212221212221xxafxfxxxx xx x 下面证明对任意两个不相等的正数12,x x,有12221212221xxax xx x恒成立 即证1212122 xxax xx x； 121212121224xxx xx xx xx x 设 2124,0tx

16、 x u xttt，则 242uxtt 令 0ux 得32t ，列表如下： t 30,2 32 32, u t _ 0 u t 极小值33 4 Z 333 41084u ta 1212122 xxx xax x 对任意两个不相等的正数12,x x，恒有 1212fxfxxx 证法二：由 22lnf xxaxx，得 222afxxxx 12122211222222aafxfxxxxxxx 121222121222xxaxxx xx x 12,x x是两个不相等的正数 12322121212122422xxaax xx xx xx x31212442x xx x 设121tx x， 322440u tttt 则 4 32u ttt，列表： t 20,3 23 2,3 u t _ 0 u t 极小值3827 Z 38127u 即 12221212221xxax xx x 1212121222121222xxafxfxxxxxx xx x 即对任意两个不相等的正数12,x x，恒有 1212fxfxxx