湘教版选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质学案.docx

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1、双曲线的简单几何性质1.双曲线的几何性质标准方程22a2 b2(a0, b0)22a2 b2(a0,b0)图象吸性质范围xa或yW-a 或 yNa对称性对称轴:X轴,y轴,对称中心:原点顶点(-a, 0), (a, 0)(0, -a), (0, a)轴长实轴长二2a,虚轴长二2b离心率e=-(el) a渐近线y=-x a1 CL思考1渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗?提示:渐近线相同的双曲线有无数条,但它们的实轴长与虚轴长的比 值相同.思考2椭圆与双曲线的离心率都是e,其范围一样吗？提示:不一样.椭圆的离心率0el.2.直线与双曲线的位置关系v2 0变式训练4双曲线号-y2二1,求过点A(3

2、,-1)且被点A平分的弦 4MN所在直线的方程.解:法一 由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为y+1=k(x-3),即 y=kx-3k-l,(y = kx-3k-l,由一消去y,整理得 二 1，(l-4k2) x2+8k (3k+l) x-36k2-24k-8=0.设 M（xi,设，N（X2, y2）,因为点A (3, T)为弦MN的中点, 所以第二3,即黑谓)二3,解得k二4当k=-0t,满足A 0,符合题意，4所以所求直线MN的方程为尸-a+),44即 3x+4y-5=0.法二 设M (xb法,N区,y2),因为点M, N均在双曲线上,两式相减,得萼二犬-比, 4所以所以为一月_ %2

3、+久1 %2 一券 1 4(y2+yi)因为点A (3,-1)平分弦MN, 所以 Xi+x2=6, yi+y2=-2.,y2-yi, 2+1为2一%1 4（y2+7i）膜经验证，该直线MN存在.所以所求直线MN的方程为y+l=-(x-3),4即 3x+4y-5=0.1 .双曲线x2-的实轴长是(C )16A. 1 B. 4 C. 2 D. 8解析：由双曲线的标准方程得a2=l,故a=l,所以实轴长为2a=2.应选C.2 2.双曲线巳-9=16)的右焦点为0),那么该双曲线的离心率 az 5等于(c )A.壁 B.2 CD.3 14423解析：由题意知a2+5=9,解得a=2,故e=|.应选C.

4、2 .以y二土x为渐近线且经过点(2, 0)的双曲线方程为.解析：以y二土x为渐近线的双曲线为等轴双曲线,双曲线方程可设为x2-y2=入(入W0).代入点(2, 0)得X =4,所以双曲线的方程为x2-yM,22即土-44v2答案:-二14 4224.假设双曲线巳-卷=1 (a0, b0)与直线y=V3x有交点,那么离心率e的取 az bz值范围为.解析:双曲线1二1 (a0, b0)与直线y=V3x有交点,可得与机,可得 b23a2,可得 c24a2,所以 e24.因为el,所以e2.所以双曲线的离心率e的取值范围为（2,+8答案：（2,+8）22将y=kx+m与子口联立消去y得一元方程 a

5、z bz(b2-a2k2) x2-2a2kmx-a2 (m2+b2) =0.k的取值位置关系公共点个数k=- a相交1aA02A=0相切1A0, n0)化为标准方程为22二一Ul(mO, n0), m n由此可知，实半轴长a二标，虚半轴长 b=Vn, c=7m + 71,焦点坐标为(Vm + n, 0), (-Vm + n, 0),离心率e二J年二E， a y/m 7 m顶点坐标为(-Vm, 0), (Vm, 0),渐近线方程为y二土噌x二土叵x. yjmm由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤如下.把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键；由标准方程确定焦点位置,确定a, b的值；由0?=

6、a?+b2求出c值,从而得到双曲线的几何性质.变式训练1假设把本例中的双曲线方程改为“9y2-4x2=-36，试求之.22解:双曲线的方程化为标准形式是7-二1, 94所以除9万二4,所以 a=3, b=2, c=V13.又双曲线的焦点在x轴上，所以顶点坐标为(-3, 0), (3, 0),焦点坐标为(-V13, 0), (V13, 0),实半轴长a=3,虚半轴长b=2,离心率e=-=p, a 3渐近线方程为y二士|x.探究点二 由双曲线的性质求双曲线的标准方程22例2 （1） （2022 贵州遵义高二期末）求与双曲线千士二1有共同的 9 16渐近线且过点PC3, 2巡）的双曲线方程；22双曲

7、线q-巳二1 （a0, b0）的一条渐近线平行于直线 a2 b2l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线1上,求双曲线的方程.22解：设所求双曲线方程为二入（入W0） 9 16因为点P（-3, 2巡）在双曲线上，所以二一曳可二人，解得人 9162所以所求双曲线方程为不二1.显然双曲线的焦点在X轴上,又易知直线1与X轴交于点（-5, 0）,所以c=5.又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,故组2, a结合 c2=a2+b2,得 a2=5, bMO,22所以双曲线的方程为9tl.由几何性质求双曲线方程的方法如下.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,常用待定系数法.首先,根 据所给的性质,判

8、断焦点的位置,设出双曲线的标准方程,再利用 构造关于参数的方程（组）求得.当双曲线的焦点位置不明确时，方程 可能有两种形式,此时应注意分类讨论.假设双曲线的渐近线方程为工士白0,求双曲线方程时,为防止讨论,减少运算量,可设双曲线方 a b22程为巳宅尸入（入W0）,再根据其他条件确定人的值 az b已变式训练2 （1）双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2 ： 3,且经过点P（述,2）,求双曲线的方程；双曲线的焦点在x轴上,离心率为|,且经过点M（-3, 2V3）,求双曲线的方程； 假设双曲线的渐近线方程为2x3y=0,且两顶点间的距离是6,求双 曲线的方程.解：设所求双曲线方程为冷言l

9、（aO, b0）.由题意知髻. a2 b2b 3又因为双曲线过点P（倔2）,所以24二1. az bz 2 _ 3联立方程组（b4 _3e _ 解得） =小（万记=L = 3,故所求双曲线方程为为=1. 4322设所求双曲线方程为卷二1 （a0, b0）.qZ bz因为e=f,所以二鳖匕+与常 3az az az 9所以a 3又因为双曲线过点M（-3, 2V3）,所以*L az bza2b294 4,f -联立方程组（ 9 ： 12 解得足一记二L所以所求双曲线方程为孚-1二1.9422设所求双曲线方程为4x2-9y2-入（入WO）,即2会1 （入WO）,49由题意得a=3.当人0时，工9,入

10、=36,422双曲线方程为？二1;94当入0时，&9,入二-81,双曲线方程为I-争二1. 981故所求双曲线方程为总-9二1或3一黑二1.探究点三 双曲线的离心率例3 (1)双曲线的一条渐近线方程为y=2x,那么其离心率为；22在平面直角坐标系xOy中,假设双曲线京噎二1 (a0, b0)的右焦点F(c, 0)到一条渐近线的距离为唱c,求其离心率的值.思路点拨：(1)利用离心率与2的关系求解,注意要分类讨论焦点的位 a a置.利用条件建立齐次方程求解.(1)解析：当焦点在X轴上时,空2,这时离心率 ae=-= 11 + 22=V5.a az当焦点在y轴上时,$2,即安这时离心率e占,+ (勺

11、2二”.b a 2q 722答案:遮或自(2)解:因为双曲线的右焦点F(c, 0)到渐近线y=-x,即bxay=0的 a巨离为4二如二b,所以b二4c,因止匕a2=c2-b2=c4c24c2,即a=%,所以Vaz+bz c2442离心率e=-=2.a求双曲线离心率的方法如下.假设可求得a, c的关系或值,那么直接利用e二求解. a假设a, b的值或关系,那么直接利用e二J1 +(今2求解.假设得到的是关于a,c的齐次方程或不等式,那么转化为关于e的方程 或不等式求解.22变式训练3双曲线巳-卷(a0, b0)的左、右焦点分别为F2, az bzn2且右顶点到渐近线的距离与到直线X二匕距离的比值

12、大于2,那么双曲线C的离心率的取值范围为()A. (l,f) B. (1,V2)C. (1,2) D. (1,今22解析：由双曲线巳-=1 (a0, b0)的左、右焦点分别为Fb F2,且右顶点n2(a, 0)到渐近线bx+ay=0的距离与到直线x二匕距离的比值大于2,可得 C(a-) 2, yja2+b2 c即 22,c-ar2_n2所以 2二 2 24,c-2ac+aze2-le2-2e+l4,解得e(l,9.应选A.探究点四直线与双曲线的位置关系 例4双曲线乂?-!,直线l:y=k(x-1),试在以下条件下讨论实 数k的取值范围.直线1与双曲线有两个公共点；直线1与双曲线有且只有一个公共

13、点;直线1与双曲线没有公共点.y2 _”2 A解:由(广：消去y得ly = k(1-k2) x2+2k2x-k2-4=0. (*)当IT?=0,即k二1时,直线1与双曲线的渐近线平行,方程(*)化为2x=5,此时方程(*)只有一个实数解，即直线1与双曲线相交,且只有一个公共点.当 1-lWO,即 kWl 时，二(2k2) -4(1-k2) (-k-4)=4(4-3k2).当4一3# 0, g 2V32V3I 1-k2 HO, 33且kWl时，方程(*)有两个不同的实数解,即直线1与双曲线有两个公共点.当鹿：/即k二土争寸，方程(*)有两个相同的实数解，即直线1与双曲线有且仅有一个公共点.当4-

14、3k2 雷时,方程(*)无实数解，即直线1与双曲线无公共点.综上所述，(1)当k (-乌,-1) U (-1, 1) U (1,*时,直线1与双曲线有两个公共占/、八、一当k=1或k二土警时，直线1与双曲线有且只有一个公共点.当k (-8,誉)U (竽,+8)时,直线1与双曲线没有公共点.(1)直线与双曲线的位置关系的判定方法.直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况，其判定方法通常是用来解决.设直线方程为Ax+By+C=0(A, B不同时为0),双曲线方程为22巳-意二1 (a0, b0),两方程联立消去y得加+nx+q=0 (*)形式的方程.假设mWO,方程(*)为关于x的一元二次方程.当0时,方程有两解,那么直线与双曲线相交于不同的两点；当AR时,方程有一解,那么直线与双曲线相切；当0时,方程无解,那么直线与双曲线相离.假设m=0,方程(*)为关于x的一次方程,xY 直线与双曲线相交于一 n点(此时直线平行于渐近线).双曲线的弦长公式.与直线和椭圆相交所得的弦的长度求法一样,设直线y=kx+b与双曲线交于A(xi, yi), B(X2, y2)两点,那么I AB | =Al + H | x,-x2=V1 + /c2 J (41 + %2)2-4%1%2或 | AB | 二+ 翌 | yi-y27 k2=J1+专 J (yi + 丫2)2-4yly2.