北师大版选择性必修第一册6.3.2离散型随机变量的方差学案.docx

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1、3.2离散型随机变量的方差学习目标1 .通过实例了解方差概念的建构过程,理解离散型随机变量方差、标 准差的概念及其实际含义,能计算简单离散型随机变量的方差、标准 差，提升逻辑推理、数学运算素养.2 .会利用离散型随机变量的方差、标准差,反映离散型随机变量的取 值偏离均值的平均程度,并能利用方差解决一些相关的实际问题,提 高学生的数学建模、数学抽象素养.问题:A, B两台机床同时加工同一种产品，设Xi, X2分别表示A, B两台机 床所加工出的次品数,每生产一批数量较大且数量相等的产品时,A, B 两台机床所加工出次品的概率如表.A机床X0123P0. 70.20. 060. 04B机床X?01

2、23P0.80. 060. 040. 10试想利用什么指标可以比拟A, B两台机床的加工质量？提示:EXi=O X0. 7+1X0. 2+2 X 0. 06+3 X 0. 04=0. 44.EX2=0 X0. 8+1X0. 06+2 X 0. 04+3 X 0. 10=0. 44.它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工水平.可以 利用样本方差,它可以刻画样本数据的稳定性.那么判断X和Y的分布列离散程度较大的是(A )A. X B. YC.离散程度相同D.不能确定解析：因为 EX=(-2) X0. 1+(-1) X0. 2+0X0. 4+1X0. 2+2X0. 1=0, EY= (-

3、2) X0. 05+(-1) X0. 15+0X0. 6+1X0. 15+2X0. 05=0,那么 EX=EY;DX= (-2-0)2X0. l+(-l-0)2X0. 2+ (0-0)2X0. 4+(l-0)2X0. 2+ (2-0)2X 0. 1=1. 2,DY= (-2-0)2X0. 05+(-1-0)2XO. 15+(0-0)2XO. 6+(1-OXO. 15+(2-0) 2X0. 05=0. 7,那么DXDY,所以X的分布列离散程度较大.应选A.例1假设随机变量X的分布列如表,且EX=6. 3,那么DX的值为()X4a9p0. 50. 1bB. 7解析:依题意,0. 5+0. 1+b=

4、1,所以b=0. 4,EX=4X0. 5+aXO. 1+9X0. 4=6. 3,所以 a=7,所以 DX以4-6. 3)2X0. 5+(7-6. 3)2X0. l+(9-6. 3)2X0. 4=5. 61.应选C.例2假设随机变量X的分布列如表，随机变量Y=aX+b(a, beR,己0),且EY=10, DY=4,那么a与b的值为X01P0. 2mA. a=10, b=3 B. a=3, b=10C. a=5, b=6 D. a=6, b=5解析：由随机变量X的分布列得m二0. 2=0. 8,所以 EX=0X0. 2+1X0. 8=0. 8,DX= (0-0. 8)2X0. 2+(1-0. 8

5、)2X0. 8=0. 16.因为随机变量 Y=aX+b因 bR, a0),且 EY=10, DY=4,gripj (EY = 0. 8a + b = 10,DY =/ x 0. 16 = 4,解得a=5, b=6.应选C.例3同寝室的四名同学分别写一张贺年卡,先集中起来,然后每人去拿一张,记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.求随机变量X的分布列；求X的数学期望和方差.解：(1)X的可能取值为0, 1, 2, 4, P (X=4) 4=,P (X=2)P(X=1)P (X=0)因此X的分布列为X0124P986124242424(2)EX=0X+1X+2X +4 X=1, 24242424DX=(

6、0-l)2X+(1-1)2X+(2-l)2X+(4-D2X=1. 24242424例4甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的 随机变量,分别记为&与n,且&和n的分布列如表.Pa0. 10.6n123P0. 3b0. 3求a, b的值；分别计算J n的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0. 1+0. 6=1,所以a=0. 3.同理 0. 3+b+0. 3=1,所以 b=0. 4.(2) E=1XO. 3+2 X0. 1+3X0. 6 二 2. 3,E n =1 义 0. 3+2 X 0. 4+3 X 0. 3=2,D g 二(1-

7、2. 3)2X0. 3+(2-2. 3)2X0. l+(3-2. 3)2X0. 6=0. 81,D n 二(l-2)2X0. 3+ (2-2)2X0.4+ (3-2)2X0. 3=0. 6.由于E & E n,说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D己D n, 说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面， 各有优势与劣势.离散型随机变量的方差假设离散型随机变量的分布列如表,那么(xEX)2描述了 Xi(i=l,2,n)相对于均值EX的偏离程度，而XX1X2 Xi XnpPlP2 Pi PnDX=E (X-EX)2= (xEX)2pi为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机 i=i

8、变量x与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差, 其算术平方根质为随机变量X的标准差,记作。X.随机变量的方差DX和标准差。x都反映了随机变量的取值偏离于均值 的平均程度.方差(标准差)越小,那么随机变量偏离于均值的平均程度 越小;反之,方差(标准差)越大,那么随机变量偏离于均值的平均程度越 大,那么随机变量的取值越登散.随机变量X服从两点分布,那么DX-p(l-p).思考:假设随机变量X的方差为DX, Y=aX+b (a, b为常数)，你能推导出DX 与DY的关系吗？提示:EY=aEX+b,所以DY = D (aX+b)=(axi+b-aEX-b) 2pi+ (axz+b-a

9、EX-b) 2P2+ (aXn+b-aEX-b) 2pn= (axi-aEX) 2pi+ (ax? - aEX) 2P2+ (axn-aEX) 2pn=a2DX.做一做:设随机变量X的方差DX=1,那么D(2X+1)的值为(C )A. 2B. 3C. 4D. 5解析:D （析+1） =4DX=4 X 1=4.应选 C.离散型随机变量方差的性质设a, b为常数,那么D (aX+b) =a2DX.(2)DcR (其中c为常数).探究点一一离散型随机变量的方差例1 (2021 山东临沂期末)随机变量的分布列如表所示.-101P14ab假设E1二0,那么D1等于()11112346解析：因为E W =

10、0,由表中数据可知E1=(-1) xi+0Xa+lXb=0,解得4b=i,又工+a+b= 1,所以 a=-.所以 D =(-l-0)2xi+0xi+(l-0)2xM 故442424 2选A.求离散型随机变量的方差的步骤理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值.求X取每个值的概率.写出X的分布列.(4)由均值定义求出EX.由方差定义求出DX.针对训练(2021 浙江名校联盟期末)ca,随机变量之，n的分布列如表所示，那么()123Pabcn321PabcA. E OE n, D E II, D C D n D. E 1E n , D 1 二D n解析:E W =a+2b+3c, E n =3

11、a+2b+c, E & -E n =2c-2a0, E & E n ,令 a=b二；, c=;,那么 E 1芸,E n 二:,D Z 二三,D n 二三.应选 B. 42441616探究点二离散型随机变量方差的简单应用例2 (1) (2021 浙江名校联考)随机变量C的分布列如表所示.-101p12ab假设EC=4 那么 D(3C-1)等于() *_zA. 4 B. 5 C. 6 D. 7(2) (2021 重庆南开中学高二期末)假设随机变量X服从两点分布,且P (X=0) 记X的均值和方差分别为EX和DX,那么以下结论正确的选项是()A. EX=|B. E(5X+3)=6C. DX=-D.

12、D (5X+3)=- 55解析：(1)根据题意，可矢口乎4+13=1,贝(J a+b4,因为E C=即+b=3,解得 所以 a=|,所以 D = (-1 +|)2X(0+|)2X|+ (1 +|)2X贝I 63323336 9D (3 C -1)=9D C =9 义 |=5.应选 B.因为随机变量X服从两点分布,且p(x=0)乏,所以P(X=1)M，所以EX=-, DX=- X, E (5X+3) =5EX+3=6, D (5X+3) =52DX=6,应选 AB.555 25求随机变量Y=aX+b方差的方法求随机变量Y=aX+b的方差,一种方法是先求Y的分布列,再求其均值, 最后求方差；另一种

13、方法是应用公式D(aX+b)=/DX求解.针对训练1 (2021 浙江平湖三模)随机变量C的分布 列如表.-101p121-a 2a当a在(09内增大时，那么()A. E C减小,D C减小B. E C减小,D C增大C. E C增大,D C减小D. E C增大,D C增大解析：由题意得,EC二-a,D = (-+a+l)2 X -+ (-+a)2 (-a) + (-+a-l)2 X a=-a2+2a+-, 222224又因为0a1,所以当a增大时,E C增大,DC增大.应选D.针对训练2 (2021 新疆疏勒期末)n的分布列为(1)求n的方差;n010205060p1212135151515

14、设 Y= 2 n -E n,求 DY.解：（DHJ En=0xi+10X-+20X+50X+60X=16, 35151515所以Dn= (o-16) 2x1+(10-16) 2x|+(20-16) 2X+(50-16) 2X+(60-16) 2X= 384.因为Y=2n-En,所以 DY=D(2n-En)二22Dn =4X384= 1 536.探究点三离散型随机变量方差的实际应用例3 (2021 山西临汾一模)某人对周边的水产养殖产业进行了研 究.A、B两个投资工程的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分 析,X和Y的分布列如表：X5%10%P0.80. 2Y2%8%12%P0. 20. 50

15、. 3假设在A、B两个工程上各投资100万元，C和n分别表示投资工程A和B所获得的利润,求方差D C , D n ；假设在A、B两个工程上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A 工程所得利润的方差与投资B工程所得利润的方差之和最小,最小值 是多少？解：(1)由题知，C , n的分布列分别为所以 E C =5X0. 8+10X0. 2=6, D C =(5-6)2X0. 8+(10-6)2X0. 2=4.故 E510P0.80.2n2812P0.20. 50. 3n=2X0. 2+8 X 0. 5+12 X 0. 3=8, D n= (2-8)2X0. 2+(8-8)2X0. 5+(12-8

16、)2X0. 3=12.设在A、B两个工程上分别投资x万元，(200-x)万元，利润的方差2nnn) -5%150)+7 500625所以当x=150时,f (x)=12为最小值.综上，当A、B两个工程分别投资150万元,50万元时,能使投资A工程所得利润的方差与投资B工程所得利润的方差之和最小,最小值是12.用方差处理决策问题的一般步骤用不同的字母表示问题中的相关的随机变量,写出分布列.分别求出它们的均值和方差.在均值相等或相差不大的情况下，一般取较小方差对应的方案.针对训练某投资公司在某年的年初准备将1 000万元投资到“低碳”工程上,现有两个工程可供选择：工程一:新能源汽车.据市场调研,投

17、资到该工程上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为白的；99工程二:通信设备.据市场调研,投资到该工程上,到年底可能获利50%, 可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 和以 15针对以上两个投资工程，请你为投资公司选择一个合理的工程，并说明理由.解:假设按工程一投资,设获利为X1万元,那么Xl的分布列为所以 EX尸300X。(-150) X /200(万元), 99X300-150P7929DXf(300-200)2X-+ (-150-200)2X-=35 000. 99假设按工程二投资,设获利为X2万元,那么X2的分布列为所以 EX2=

18、500 X -+ (-300) X i+0 X =200 (万元), 5315500-3000P3513115DX2= (500-200)2 X |+ (-300-200)2 X -+ (0-200) 2X=140 000. 所以 EXi=EX2, DXKDX2,这说明虽然工程一、工程二平均获利相等，但工程一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择工程一投资.1. (2021 广东潮州高二期末)随机变量C的分布列是012P1-Q212a2假设均值EC=1,那么方差DC等于（B ）1 1A. 1 B. -C. -D. 224解析:根据离散型随机变量的期望公式得E C =0X等+1 X92X*1,

19、乙乙乙解得所以根据方差公式得DC 4X（O-D2+|X（1-1）2+7X（2-1） 24应选B. 42422. （2021 湖北武汉期中）下表为离散型随机变量X的概率分布歹U,那么概率P（X2DX）等于（A ）A卷 B* C, D*X0123P123410101010解析:由题意得EX=0义看+1 X总+2 X2+3 X巳=2,DX二(0-2)2X-+(1-2)2X+ (2-2)2X-+ (3-2)?义至= 1,故 P(X2101010101)=1-=-.应选 A.10 103. （2021 北京十二中期末）某校高一、高二两个年级比赛目测某一本 书的长度,设高一、高二年级目测误差分别为X, Y,且X和Y （单位:cm） 的分布列如表，X-2-1012P0. 10. 20.40.20. 1Y-2-1012P0. 050. 150.60. 150. 05