高考大题冲关系列.docx

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1、高考大题冲关系列（2）-I1角函数的综合问题 1命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的 一种数学工具.高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的 交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等.备 考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的 定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本 性质.题型1三角函数图象与性质的综合例1 （2020福建漳州模拟）函数八x） = sin（x + 8）（0/1,0忘9或冗）是R上 的偶函数，其图象关于点M仔 0）对称.求（p, co的值；（

2、2）求“X）的单调递增区间； 3兀 兀（3）x-y,升 求/U）的最大值与最小值.兀解（1）因为“X）二sin（x + 9）是R上的偶函数，所以9 = 5 +底Z,又兀，贝I= 2,即x） = coscox.因为图象关于点3兀兀2所以X 丁=5 +%兀，kZ, X Qcd1 ,所以二2（2）由（1）得./（X）= cosx,由一兀 + 2E2（2）由（1）得./（X）= cosx,由一兀 + 2E3兀2E,左CZ,得匕I,kSZ,所以函数九X）的单调递增区间是弧-芸3E , &CZ.37r 71271 71（3）因为 -y, 2，所以一1 3，斗必一坐斗必一坐(7lcos2x = sin(2x

3、 -习.人- 兀， 兀八 、 5兀 匕I ,令 2x - = E + / Z),得 x 二五 十 工-(忆 Z),57r kit即函数y=/（x）图象的对称轴方程为工二五+爹（左 Z）.5兀5兀（2）由及条件可知（XI ,於1）与（必於2）关于工二五对称，那么Xi +X2=d,COS(X| 一 X2)= COS X 一COS(X| 一 X2)= COS X 一5兀 不一加5兀71=cosl 2xi I = cos I 2xi - q7T23,题型5解三角形与平面向量的综合例5 （2020.山东省、海南省新高考高三4月模拟）在锐角三角形A3C中，求ABC的周长/的范围. A)1注：在加二注：在加

4、二71sing且施二 一 /,cosA(2/7-c） = acosC,外幻二侬-引一/火二:这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.解假设选，那么由机A _ COS,A A、cosg, sin叩，且m二一125/日 2A 2- cos 2 + sin 2 = 一1 (所以cosA=又A.O,.兀办所以a 2、3近二4,2所以 h = 4sinB, c = 4sinC = 4sinf - BI271/ABC 的周长/ = 4sing271/ABC 的周长/ = 4sing+4sinB +2v5(.2兀2兀.=4|sin-cosB - cos-ysinB+ 4sinB + 2y/3=

5、6sinB + 25cosB + 2y/3,( 疝即 / 二 4小si* + | + 2V.jr因为锐角三角形ABC中，A=?71 &6J 2Tl_，所以3+群5yj.(712 兀所以ABC的周长/ 6(6 +25，63.假设选，由 cosA(2/? - c) = acosC,得 26cosA = acosC + ccosA,所以 2sin8cosA = sinAcosC + cosAsinC = sin(A + C) = sinB;又 3(0,兀)，所以 sinBWO,所以 cosA = g.又A(0, f71,所以A=1.又急= = 4,所以 A = 4sinB,2(2兀 3c = 4si

6、nC = 4sin亍 - B.(2兀ABC 的周长/ = 4sinq+4sinB +2v5(.2tt2兀.)=41smycosB - cossinBJ +4sinB + 2 小=6sinB + 2/3cosB + 2yj3,7l即 / = 4V5sin 8 + k +2小.6Jjr因为锐角三角形ABC中，A=?_、，71 7171所以B + y, B,71(兀 兀、八 一67 3,67 3,所以81不2p所以3 + 鼻,所以5c的周长/ 6(6+ 25，63.假设选，贝I於)=cosxcos X71= Px + cosxsinx-11 1 + cos2x a/3 sin2x 1 = 2X+ 2

7、 X-4(=55cos2x +1.c 兀sin2x I = 2sinl + 砂-2又心)耳 所以sin(2A+2 = 2又 A(0, I又 A(0, I71 所以可.又 二 , = 4, 2所以 b 二 4sinB, c = 4sinC = 4sin(牛-Bj.ABC的周长/=4sin停B +4sinB + 2V3+ 4sinB + 2y(3(2兀n2兀1=4(sin亍cosB - cos-sinB=6sinB + 23cosB + 2小,( 疝即/ = 4标试3 +方+ 2小.兀因为锐角三角形ABC中，A=?71 71 7T所以B + y, B_(兀 兀71 (11 2 兀、所以8弋,引,所

8、以3 +群 yj,所以ABC的周长/(6 + 2小，63.冲关策略解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简条件，将其转化为三角函数的问题解决.变式训练5 （2020.潍坊一模）ABC的内角A, B,。的对边分别为Q, b, c, 向量机二 (c-Q, sinB), n = (b-a, sinA + sinQ,且机/.求C；(2)假设加c + 3 = 3，求 sinA.所以(c - a)(sinA + sinQ = (b- a)sinB.由正弦定理得(c - Q)( + c) = (。- a)b,.2 + / _ c2 ab X 所以 cosC =一砺一=2 = 2,兀因

9、为C（0, 7i）,所以。=1.=3sinA,可得 sin( A t.j 2兀 兀 / 兀 兀 由于 0vAW，-3A30）的最小正周期为兀，c为r）在。，5上的最大值，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.解 函数 fix) = 2 # sincoxcoscox + 2cos2x =小 sin2x + cos2Gx + 1 =函数/U）的最小正周期为兀，那么。=1,於）=2sinl 2x + t|+ 1, 八 兀, 兀 兀 7兀当了。，5 时，2% + % 不 y , /U）max = 3,故c = 3.假设选，acosB + bcosA = 2ccosC,由正弦

10、定理得 sinAcosB + sinBcosA = 2sinCcosC,可得 sin(A + B) = sinC = 2sinCcosC, cosC = ,TT又。为三角形内角，贝IJC = T由正弦定理得 =磊=击=2仍,2所以 a = 2y3sinA, b = 2/SsinB,-b = 2/3 sinA - 2/5sinB = 2/5sinA -b = 2/3 sinA - 2/5sinB = 2/5sinA -sin仔-A,二SsinA-3cosA =那么a、，（71 Tl兀，兀 出因为狼用月,所以A-/卜不可故班制4翡（何小）.假设选,2(7sinAcosB + Z?sin2A = 3

11、a,由正弦定理得 2sin2AcosB + 2sinBsinAcosA = y3sinA,2sirt4cos5 + 2sinBcosA = 2sin(A + B) = 2sinC =小,sinC =2JTT又C为锐角三角形ABC的内角，那么。二？由正弦定理京R品卷=2版 2所以 a = 2/3sinA, b = 2/5sinB,-A 二小sinA - 3cosA 二那么 a- h = 2小sinA - 2/3sinB = 2/3sinA - 2小sin(专2ssin(4,因为AC71 7T6J 271,所以A-C兀兀)65 6r( 兀、故陷叱-亦(-小，小).假设选，ABC的面积为S,且4s

12、= S(a2 + /),foq2 _|_ 才2absinC = y/3(a2 + b2 - c2), 3 sinC= cosC, tanC 二小,TT又。为三角形内角，贝1JC = Q,由正弦定理得端1 =磊=去=2*2所以 q = 2Ssin4, b = 25sinB,贝 Ia- b = 2 ssinA - 2/sinB = 2/3 sinA - 2 4sin年-二审 sinA - 3cosA =2小 sin(A习，一、， (兀兀、_兀/兀 G因为同不力,所以A /卜不力,( 九、故2ssi赤(-也，小).题型2解三角形与数列的综合问题例2 (2020海南省普通高中高考调研测试)在cos28

13、-,sinB + 2 = 0,b cosB + 12bcosC = 2a-c,二幅嬴三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以 解答.A3C的内角A, B,。所对的边分别是a, b, c,假设,且“，b, c成等差数列，那么ABC是否为等边三角形？假设是，写出证明；假设不是，说明理 由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解 选择cos23 -小sinB + 2 = 0.证明：由余弦升幕公式可得1-小sinB + 2 = 0,gP(2sinB - V3)(sinB + 3) = 0,V3由 0BAC =弓笠. 乙Jsin/QAC 2所以 tan/QAC = 8sNZMC = TT

14、题型4三角函数与平面向量的综合例 4 (2020龙岩模拟)向量”二(4，1), = (sin2x,2sin2x-l), xR.假设a 11b,且 W0, 7i,求的值;7T(2)记x) = a.A(x R),假设将函数八x)的图象上的所有点向左平移%个单位得到兀函数g(x)的图象.当xC0,时，求函数g(x)的值域.解 因为 /6 所以M(2sin2x-l)-sin2x = 0,即 sin2x = 一#cos2x.假设 cos2x = 0,贝lj sin2x = 0,与 siE2i + cos22x = 1 矛盾,故 cos2xW0.所以 tan2x=-，,又x0,兀,所以 2xC0,2兀,所

15、以2x =与或2% =与，即 =方或二手,即x的值为方或手.(2)因为/(%)=。力=(小，l)-(sin2x, - cos2x) = /3sin2x - cos2x = 2sin2x - , 所以 g(x) = 2sin 2(% + 一、= 2sin(2x + 看，.7U-|. 兀兀 7兀1L( 叫11 L(c 兀当0,时,21+不布 至，所以sin(2x + xje 一手1 ,所以2sin(2x + 4 -1,2,7L即当eo, zl时，函数g(%)的值域为-1,2.冲关策略(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量 共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.

16、(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达 形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值 域等.变式训练 4 Q = (silLX,小cos%), Z = (cosx, - COS%),函数“)= 06+为一.求函数 尸危)图象的对称轴方程;假设方程式%)=假设方程式%)=Q在(0,兀)上的解为1, X2,求cos(%l-12)的值.解(1次)= 42+半=(sirix, #cos%(cos%, - COSX)+ 半=siax-cosx - /3cos2x + 坐sinA + sinC + sinAcosC + cosAsinC = 3si

17、nB,即 sinA + sinC + sin(A + C) = 3sinB.sin(A + C) = sinB,/. sinA + sinC = 2sinB, gp a + c = 2b,-a, b, c成等差数列.(2) S = acsinB = ac = 44,ac= 16.又 / =居 + /-2accosB = a1 2 + c2-ac = (a + c)2- 3ac,由(1)得 a + c = 2b, .廿二4-48, ：.b2=16,即8=4.题型3三角变换与解三角形的综合例3 (2020天津高考)在ABC中，角A, 8, C所对的边分别为a, b, c. 。=2隹，b = 5,

18、c = l3.2X2V2X5= 271又因为C(0, 71),所以。二不(2)在ABC中，由C=:，。=26，c =，T5及正弦定理，可得sinA二丝早一二2册火日/回V13 = 13 (3)由ac知角A为锐角，由sinA=4,可得 cosA = y/1 - sin2A =,所以 sin2A = 2sinAcosA =百,cos2A = 2cos2A - 1 =一 一17一2 = 26 .冲关策略三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理 先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解 决此类问题的关键.变式训练3 (2020江苏高考)在A5C中，角A, B, C的对边分别为a, b, c, 4 = 3, c = y/2, B = 45.