第05讲 基本不等式（解析版）.docx

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1、第5讲基本不等式学校:姓名：班级：考号：【基础巩固】（2022全国高三专题练习）函数了 = 上坦三1）的最大值为（）X+1A. 3B. 2C. 1D. -1【答案】D【解析】I y =x2 + 3x + 3 (x +1)2 + (x +1) + 1X+ 1X4- 1= -(x + l) + - + 1一(x+l) n,nB. mn nmC. mm + nn -22【答案】D【解析】vm, 为正实数，且诟+6=1,即/+/_ ffl I fl - 1.y =加工,丁 = 7/在（-8, +8）上均为减函数,y = /, y = X在（0, +8）上为增函数.当时，mnrnm*暧,故B错误;取机=

2、 = L 此时加+贰=及二 故C错误;42abab 1s= /+4Z/+1 - 4/+i14aab乂 4ab + 2/4ab- = 4 ,ab v ab当且仅当4 =5时，即* T等号成立;/ = 2b2a2h2 =4/ = 2b2a2h2 =4ab/+4/+1-r所以所以ab/+4/+1的最大值可应选：A22. (2022浙江镇海中学模拟预测)3/+/6人+ 4 = 0,那么里的最大值为6 一 4答案19 + 4厉9【解析】3/+b26b + 4 = 0n6b 4 = 3a2+b2,所以(3+ )=(3+ ?：,设)= k,6b-43a2 + h2a代入Z+6GHduO,那么有（3 +42_

3、6妨+ 4 = 0,看成关于的一元二次方程,假设。方存在，那么关于。的一元二次方程必须有解,所以判别式 = 36公16（3 +r）、八 7、2715 7 , 2/150或女-，所以左+ 12 + 12或攵+ 14一 + 1l2=IN 0| Q所以，2 7 + = /2 7, + 18 =/7，一182 0 ，2 9,即Q + 2y)mink9 t. (2022浙江三模)实数xNy0,2。，那么2.：31+ 4z的最小值为2x+ y y + 2z【答案】迪+ 13【解析】解：因为x2y0,z0,所以 2x + 3y + 4Z1 2x = 2x+y+ 2(y+ 2z) 2x = ?y + 2z i

4、 2x+ yy + 2z2x+yy + 2z(2x+y y + 2z.1 + 2x2 ly + 2z = 1 + 4= 1 + 4 2x+ y y + 2z2x+ y因为xy。，所以上(1, x所以原式2i+4M = i+gG,当且仅当芯=(6+小时取等号.故答案为：如1+1 30 1 1 4 .(2022全国高三专题练习)abc0,那么2/+-云-0 + 36厂最小值为aD ci(ci 。)【答案】4【解析】原式=(/一12ac + 36c2) + /+4 + L ab aa - b)-a - 6c)2 +a2 -ab +-ab + a(a-b) ah211=(q 6c) + a(a /?)

5、 hf cih H,a(a-b) ab-abc0 ,那么 Q-b0, q(4-Z?)0, ab0 ,，(-) + - 24 a(a-b)=2 , ab + 2jab- = 2 ,a(a-b) a(a-b)ab ab1i/7当且仅当“( 3一。人=下时，即=尤为=注时等号成立，a(a - b)ab2又(a-5c)220,当c = q =走时等号成立，所以原式之4,故最小值为4.55故答案为：4” +心2疝，.2（加+小（而+而2,牛？理乎m + n 9 .mm m1 = m.nn =几,/.mm +m + n , 故 D 正确.22应选：D3. （2022浙江省江山中学高三期中）设。0, /?0

6、,假设/+/Abul,那么62q匕的最大值为A. 3 + V3B. 2石C. 1 +百【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）设 c = 6a b ,那么 y/3a2 ab= a（/3a - b） = ac ,D. 2 + 6条件 a1 +h2 - f3ab = 1 u + c2 - y/3ac = 1,所以 /3ac +1 = 4Z2 + c2 2ac，即 qc 2 + G .应选：D.法二：（三角换元）由条件（q立故可设V3 , Qab = costf2=sin 2IIrr Q = cose + VJsin。 即0,故4cos6 +V3sin0 .7JZH . 八 57r，解得。06-a

7、 = cos 9 + V3 sin 小 八 57、所以， 入-q,（O00,所以,因此,应选:4ac-4 ac-1=1,所以，ac-l = a ,可得a =1 44+ = c + a c cI 4上+ 3的最小值为3.B.c-0,那么 cl,=3,当且仅当。=2时，等号成立,5.（2022辽宁模拟预测）正实数x, y满足2 + = 1,那么4孙-3x-6的最小值为（% yA. 2B. 4C. 8D. 12【答案】C2 1【解析】解：由x0, 丁0且一 + = 1,可得盯= x + 2y,所以 4孙一3x-6y = 4x + 8y-3x-6y = x+2y(x+2y) = 4 + ?+4+2T-

8、 = 8当且仅当三X一,即x = 4, y = 2时取等号. y应选：C应选：C6. （2022湖北模拟预测）1 4正实数羽y满足x+y = 2,那么1+ 7的最小值为（A-1A-1B.C. 9D. 10【答案】【解析】(1 4)当且仅当x+ y - 24xx+y、1 (c 4x y 1 1 _ _ = 5 + + 5 + 2I XJ2x =3:时，等号成立.y = 一34x y、y x)929应选：A.的最小值为（7. （2022天津红桥二模）设q。，b0,假设a +3=5,那么A. V3B. 2c. 2V2D. 473【答案】D【解析】角翠：因为40, b0,且。+ 2力=5,所以V0,所

9、以（。+ 1）*+ 1） = 2而+:21=与型=2疝+二之力2，口=467 abyjab 0, b0且。+ = 1,假设不等式, +，加恒成立，mwN”.那么”的 a b最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】V不等式 + ：相恒成立 a b乂a+Z? = l, 。0, b011z 11- 、 , b a .、入 J b a A. + =（ + ）（a+h）= 1 + dFl 2+2./= 4 ,a b a baba b当且仅当，= ；时等号成立，*m4, 乂 m g N*,/= 3 ,应选：A.9.（多项选择）（2022河北沧州二模）实数力满足e+e=eJ那么（）A.

10、 ab C. e+et.4D. bea 1【答案】BCD【解析】由e+e=e.得二+ 4 = 1，又e （）,犬 （）,所以elgl,所以，。/0,所以血0, e e选项A错误；因为e+e=e.2j?H = 2j?石，所以J?瓦,.2，即e+e = e.4,所以Q +.ln4l,选项B,C正确，因为4 + 4 = 1,所以丁二二，所以加1 =，- 1 = %占.令/伍）=加e + l力。，贝Ue ee -1e -1 e -1r（b） =/0,所以/任）在区间（0,+8）上单调递增，所以/。）0）= 0,即而_e、l0,又ch-lQ,所以反“一10，即岳1，选项D正确.应选：BCD.（多项选择）

11、（2022广东惠州高三阶段练习）假设。ab,且 +人=2,贝U （）1 2A. lh 1C. ab 3a b【答案】AC【解析】对于A, vO6ZZ?,且q + Z? = 2, .02-b1,故B错误；2对于C,.,0vav。，且a + /? = 2, /. ab = 1,当且仅当a = b = l时，等号成立，:.ab ,故C正4确；/, x (. b 2a _(q + 8) = _ 1 + + + 2 2 a b/, x (. b 2a _(q + 8) = _ 1 + + + 2 2 a b/2V2),对于 D, v06z0力0, 242bab5 + 2 / =9,当丑=即时、即 a =

12、 b =时-，可取等号，B a b ya b)a b a ba b3对；/+/?2=(1一2(2、+ =5从-4 + 1 = 5 h I 5J2 1 112+当。=,=时，可取等号，C对;5 555( + 1)3 + 1) = 2(4 + 3(。+ 33=2(/+4 + 3/) = 2,4 + 2与2=2(1 /)0, b0, a+b = .那么以下不等式正确的选项是（）A. 2+2哈28( V1 、C. - + 2 一 + 2 161。 八人)【答案】ABD【解析】V a+b = l9那么 =1 一。B. fa + yfbD 2 + b 3 + 2/3a + b b + ci 3：.T +

13、2= r + 2M = 20 + 22 2vL 221当且仅当2=*即，=b=5时等号成立.史即 ab16, C不正确;A正确;2q b 2a -aa + b b + a q+1 q (1 qJ+q令/ = a + l(l,2),贝,3 + 2 6a _q- + 1 广-3/+ 3 彳+3 3一T,当且仅当-即时等号成立D正确;那么 +扬0血，当且仅当。=8=；时等号成立，B正确;应选：ABD.1 Q13,（2022山东济南三模）正实数m匕满足必=4,那么一+ ：的最小值为【答案】3【解析】由题设，- + -2aO = - = 3,当且仅当方=9=6时等号成立.故答案为：3214.（2022重

14、庆八中高三阶段练习）正数X, y满足土+y2=i,那么x + 0y的最大值为22 + /7 + 1丫2)*【答案】（T2）2 1【解析】/ %0, y0,且一+ = 1, % y/. A： + 2y = ( + 2y)(- + ) = 4 + + 4 + 2jx = 8 , x y y x y x当且仅当土 =也，即x = 4,y = 2时等号成立， y %，.x+2y的最小值为8,由 m2 + 2m 8解得-4mi,求/(x)的最小值. X 1【解】(1) v(x-l)(y-l) = l(l),1 1 * = x+y.即+ = 1, x y. 3x + 4y=(3x + 4y)( - + -

15、|=3 + + + 47 + 2/12 =7 + 473 y) y X当且仅当围=曳时，即X =叵,y=2l取等号，y X32.3x + 4y的最小值7 + 473(2).正实数满足x+y + 3 = xy , 3+ 3”I 2 J 4.,+y6或者x+y0,由基本不等式得f（x） =由基本不等式得f（x） =x2+6x+9_(x + 3 _(x + l) + 2x+1x+1x+1= (x + l) + + 4v ) x+1川（川）+4 = 84当且仅当x + l=；时，即当x = l时取得等号. x+1因此，函数x）=）+6* + 9（龙一1）的最小值为8.X 118. （2022全国高三专

16、题练习）一个生产公司投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元.该公司通过引进先进技术，在生产线A投资减少了 x万元，且每万元的利润提高了 0.5x%；假设将少用的x万元13全部投入5生产线，每万元创造的利润为1.5（-而 x）万元，其中。0, x0.假设技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；假设生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润，求a的最大值.【解】由题设可得1.5（500-%）（1+0.5%）NL5x500,整理得：x2-3000，故Ov元0, 故 + ,1252125 x 2而展+迎4,当且仅当x = 250时等号成立， 125 x故0v

17、q0,那么,1的最大值为（）a +4匕 +1A. -BC. 2D. 442【答案】A【解析】（+破4/了+了1/,当且仅当 =2时，等号成立;【答案】2【解析】因为/+/ 2ab,a,b eR ，那么 2（+/） 2 （a + bf,/+/ 2（*）,故由题意，正数x, y满足工+ 丁=1,可得：2 = f+2六。+恁了, 22即（x + V2y）* i 2 4 ,故 x + 41y 2 ,当且仅当x = y = l时取等，故答案为：2.15. （2022浙江台州二模）正实数。力满足2+人=2,那么他的最大值为 ?7+加? + a + b 的最大值为.【答案】I 4【解析】由2 = 2。+ /? 2，得出当且仅当2=/? = 1,即= 1时取等; 2 + 必 + + 人=(+ /7)(0 + 1) 取等，i2i2 9又由上知QbW,故一一 -4,当且仅当=力=1时取等，所以Y+Q匕 + Q + b 0,且一+ = 1,假设x + 2y切2+2加恒成立，那么实数加的取值范围是