基本不等式常见题型(解析版).docx

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1、基本不等式常见题型（解析版）题型一：由基本不等式比拟大小.（多项选择）假设一1VQVVO,那么（C. a-b 2yab D. ci- b- - a bA9 ?c 1 1A. a2 -b 2abB. 2ab,而IvavbvO,故片+从？，正确;B：由一lvav 0 ,故一错误； a b aba bC：由一IvavbvO,那么q + 0 , 故anb-, 正确应选：ADa ba bababa b.（多项选择）设q0, hQ,那么以下不等式中成立的是（） / AA. （a + A） + 24 B. a3 + /?3 lab1 C. a2 -b2 +22a-2h D. J tz-/? a-yjhci

2、b Jy【答案】ACD【详解】对A,因为a0/。，所以（ +0（_1 +,）=2 + 2 + 322 + 2、口 = 4 a h a b a h当且仅当Q = b时，等号成立，故A正确；1O1QOC4对B,取，=7，匕=彳时，/+= +白=三，2ab2 =-,故B不成立；238272169对 C, +/72+2_（2 + 2与=（4 1）2+3一1产20,故 C 成立;对 D,假设 Q0, b0, a+b = l.那么以下不等式正确的选项是（）A. 20 + 2”22逝 B. & + 血4夜C. + 2 + 216 D. +3 + 2八匕 7a2+h h+a 3【详解】. a+b = ,那么

3、=1一。.2。+2=2，+2=2十322夜，当且仅当2=即=人=，时等号成立A正确； 2222a b 2a -a。+ 17 + 72=一；hT 3= 令，= q + 1 e（l,2）, 那么 =/一1ci + b b +i q +1 （1 q） + ci Q q + 1a + 1 t1/3 + 23& + l =，当且仅当-即时等号成立D正确；t H3ta JG 旬,即+扬)，那么& +逐0,当且仅当 = b时等号成立，b正确；-2-22, 启”)，当且仅当。=人=:时等号成立 442( 1 a 2a + l 2。+ 1 4出？ + 2(。+ 6) + 1 彳 3 一 7十丁立 w出H2 +

4、2 =x- = 4h-16 , C 不正确； 应选： ABD.a Jb 7 a babab题型二：有基本不等式证明不等式1 .(多项选择)以下结论正确的选项是()A.函数y = x+，的最小值是2；B.假设R且必0,那么2 +xa bC. ( = Nx? +3 += 的最小值是2；D.函数y = 2 + x + (x 0)的最大值为0.Vx +3x【答案】BD【详解】对于A,当x0知20,/。，根据均值不等式可得2 +幺之2、原 =2,故正确； a bah a b对于C,令t = j23,那么y = (此3)单调递增，故最小值为3 + ;=?，故C错误；对于 D,由 x0可知，y = 2 +

5、x + - = -(-.v + ) + 24ab+bc + y/ac.(2)a+b = l,求证：1+ 1 +- 29.V 。八 bj解(1)因为 a, b, c者R是正数，所以a + Z? + c =，(a + ) + (Z? + c) + (a + c)2，(2V + 2A/ + 2VZ)=y/ab 4bc /ac 9 当且仅当 a = = c时，等号成立，所以 a + b + c 2+；(1 +邛 1 + 牛” + 二1 + * + 二1 + 工讣3=1 + 弃9(2) I a八 bJ a b ab ab ab ab (a-b_当且仅当。= b = J时等号成立.当且仅当。= b = J

6、时等号成立.1+ a )题型三：基本不等式求最大值1.当x0时，一二的最大值为. x +4-3X 3,33【详解】当尤0时，f+4 24， x V x43x3当且仅当x=-，即x=2时等号成立.即与三 的最大值为二.xk+44.实数。*满足/+2 =1,那么。的最大值为.【详解】因为实数满足小+2/=1,所以由基本不等式可得：l = a2 + 222a.、& （当且仅当/ = 2 =（，即。=1力=_1时等号成立），所以222工二二也.即的最大值为变.2V244. （1）xl,求4x + l + 1的最小值；Ovxvl,求x（4-3x）的最大值.【详解】（1）因为所以xl0,所以4%+1 +=

7、 4（1） + 5 2 2 （1）.!+ 5 = 9 ,x- 1x 1 Yx 1131当且仅当4（x-1）=-即x = 9时取等号，所以4x + l + ；的最小值为9.2_4=一,3x-i2x-1(2)因为0cx(4 3x)wg3 + 4 3x)74当且仅当3x = 4-3x,即时取等号，故1（4-3司的最大值为飞.题型四：基本不等式求最小值b 21.。力为正实数且Q +力=2,那么一+ 丁的最小值为（）a b35A. B. 、/2 + 1C. D. 322【答案】D【详解】解：因为。力为正实数且 +人=2,所以人= 2 。,所以，- + T =a b所以，- + T =a b2。 222+

8、 二=二十 二一1 = 2? + -12 2因为一+工=2a b(+ ya b)-( + /?)( nla b)= 2 + - + -2 + 2 = 4a b当且仅当，= b = l时等号成立；所以2 + 4 +垓二+11之3,当且仅当a = b = l时等号成立；应选：D a b a b a b.2, neR, + - = 那么9+3的最小值为()A. 4B. 6C. 8D. 9【答案】B77【详解】由题意得加+7= 1,那么2机+ = 2,而9 =32? 0,3 0,2故 96 + 3 = 32w + 3 2打i=2疗=6当且仅当32=3，即根= 1时取等号,故夕+3的最小值为6,应选：B

9、2 .4/+9工2丁2+2寸那么5尤2+3），的最小值是（【答案】D【详解】由4犬+9%2y2+2女=4,得（4? + / ）+？力=44 P160时，函数y = 3 + + x2的最小值为（）B. 273-1【答案】B【详解】因为x0,所以=3 +工+ * =4_ + 3 + + 1）_12 2户-.（工+1）-1 = 26-1, 1 + X1 + X1 + X 1 + X当且仅当丁L = % + 1 ,即户由-1时，等号成立.应选：B.1 .人 且勿? = 8,那么+ -2的最小值是（）【答案】A【详解】因为必=8,所以+上.因为，,人 所以_（）,所以716、c /7、16 c 目口 +

10、 /、Ca b T2 2. (a Z?) ,- 8 , B|J2 8，a-h V a-ha-b212当且仅当-6=4时，等号成立，故2的最小值是6.应选：A广 + X S2 .函数y=,+人（x2）的最小值为【答案】7【详解】令l2 = %, t0； * +*一5 = + 2）-+ + 2 5 = +5Z + 1 =，+1+57 x-2ttt（当且仅当/ = 1,即x = 3时，等号成立），故函数/（力=二+一5 , %（2, + 8）的最小值为7 x 2题型六：条件等式求最值1 .假设实数工，丁满足：x,yO,3-x-y-l=O,那么冲的最小值为（）【答案】A【详解】因为孙-x-y-1=0,

11、所以对-l = x+y,由基本不等式可得3冲 l = x+yN2JE，故3初一2d攻一 120，解得或商2-：（舍），即孙之1当且仅当尤=丁=1时等号成立,故召的最小值为1,应选：A.2 .x0, J0,且x + 4y = 4 .1 2求W的最大值；求一 + 一的最小值.解.(1)因为 x0, y 0,所以 4 = x+4y 2,抬y,当且仅当x=4y且x + 4y = 4即m2, y = J时取等号，解得何,故孙的最大值为L(2)因为x0, y0,且x + 4y = 4,1 2 ( 1 2、/ 彳、4y上 14y9 + 40所以-H = H (工 + 4) = 7 9H1 - 9 + 2=

12、,x y 41l 刈 ，41 x # 4(心 y J 4当且仅当工二血且x + 4y = 4,即pg）,2（4-8）时取等号.77所以+ 2的最小值为9 + 41. % y4题型七：条件等式求最值31 ITI.。力。，假设不等式三+ ：2J恒成立，那么 2的最大值为 a b q + 3。+ b)”+9+6.a b(3得加2V9+6 = 12,当且仅当*=f,即当q = 3Z?时等号成立, a ba b.加12,加的最大值为12.故答案为：121 .假设X/x（0,y）,不等式ax + L恒成立为真命题，那么实数，的取值范围是. x【详解】由基本不等式可知也（。,+2a/ZI = 2 （当且仅当

13、x=l时取= ）, X X因为Vxc（o,y）,不等式x + L恒成立，故 =的,l+y =2+又 1。口乂？ = 10 ,这样可知称出 b ab a b a的黄金大于10g .应选:A化带的宽分别为2m和5m （如下图）.1 .某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体a与GA,该工程 由矩形核心喷泉区A8CZ）（阴影局部）和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABC。的面积为1000 n?,绿当整个工程占地面积最小时，核心喷泉区的边8C的长度C. loVlOmD. 100m【详解】设= 那么。=照01,而z。（ sJlOOO 八 sc z上 L 1000。 J/T以S矩形片属。d =（x+l。）4 = 1040 + 4xHN1040 + 2J4x = 1440 ,y x JxV x当且仅当4x = UU&,即x = 50时，等号成立， x所以当8C的长度为50m时; 整个工程4gCQi占地面积最小.应选：B.