2023年春中央电大经济数学基础形成性考核册及参考答案新版.docx

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1、202 3春中央电大经济数学基础形成性考核册及参考答案作业（一）（-）填空题 x-sinx. 八1. lim=答案：0Y2 +1 x w 0.设/（x）=，在x = O处连续，则 =.答案：1、k, x = 0,曲线y =正在（1,1）的切线方程是.答案:y = -x + -2.设函数/5+ 1） = /+21+ 5,则/（为=.答案:2xjr71.设“x） = xsinx,则尸=）=,答案:-2（二）单项选择题.函数丁 = 的连续区间是（）答案:Dx + x 2B . (8,-2) U (2,+oo)C. (8,2) D (2,1) D (l,+oo)D. (-oo,-2) U (-2,+o

2、o)或(-oo,l) u (l,+oo)2.下列极限计算对的的是（）答案:BxA.limU = lK) xB. lim 且=110+ xC.lim xsin = 1 sinx ,D.lim= 1xCC X3.设y = lg2x,则 dy=(）.答案:BA. ck2xB. drxlnlOC.InlO , dxx4.若函数/在点X。处可导,则（）是错误的.答案：BA.函数f （x）在点xo处有定义B. lim /(x) = A,但 Aw/(x0)C.函数/（X）在点Xo处连续D.函数/（x）在点均处可微5.当 0时，下列变量是无穷小量的是（）.答案:CA.2XsinxB.C. ln(l + x)D

3、.cosx22-343-141-21912-470-741-251-31511-220-143.设矩阵A =32，求四。=22-113-11所以4=|川 = 2x0 = 04 ,设矩阵4 =，拟定4的值，使A)最小。21八249当4 =时: r(A) = 2达成最小值。4(2) + (l)x(-2) + (1)x(1)22-414-74(2) (3)5.求矩阵A =25145_ 8-7-1354125142422+ (2)x(；)(4) + (2)x(-l)1000-58-711303-727006 ,求下列矩阵的逆矩阵:人二(A/) =1-31-3011-31-301(2) + (3) x

4、2-314(2) + (3)x(-l)(1) + (3)x (-2)3541242213034-1500的秩。21-3-3-101524-78- 51453124220313 + (l)x (-5) + 6x(-2) + (l)x (-4)1000-7279274-155-1526-2-603132600-1 05-230300r二2。8 18-3 -749+ 6x3+ (1)x(7)-39427-3(3) + (2) x 4-310)x(-1)(1) +x-31013 6 3(2)A = -42-2 -11 1-13 -6-3 10 0(A/)= -4 -2 -10 102110 0 1+0

5、)x2)3)+ x2,-1 001-300 0 10 12-10+(2)x(-3) 42210 1 -3 0-10 1010 0 1-10 01 -3 02 -6 10 0 10 10 112-61AI) =0-1300 2 -7 -10 0 12-130A 1 = 2 -7 -1012-1 217 .设矩阵人=,B =3 52+ (1)x(3)1 0-3 1+x20 -51 3 x(1)3 -1X = BA-11 0-1 1四、证明题1 .试证:若耳，伉都与A可互换，则5+丛，与5也与A可互换。证明：(g + 5)A =gA + 5A = ABi + AB2 = A(Bj + B2),BB?

6、A = B AB? = AB12 .试证:对于任意方阵+是对称矩阵。提醒：(A + A1)1 =4 +CA1)7 = A1 +A = A + A(A4t)t =(At)7At = A4(AtA)t =At(At)t =AtA3 .设43均为阶对称矩阵，则A5对称的充足必要条件是：AB=BA.提醒：充足性:证明:由于A3=A4.(AB)t =BtAt = BA = AB必要性:证明油于AB对称，.A3 = (A3)t =BJ A1 = 84,所以AB = HA4 .设A为阶对称矩阵,8为阶可逆矩阵，且3一|，证明37/13是对称矩阵。证明：(3-A5)T =3147(夕|尸(BT)T = B l

7、AB作业(四) (一)填空题1 .函数/(x) = X +,在区间 内是单调减少的.答案：(1,0) u (0,1)X2 .函数y = 3(x-1尸的驻点是，极值点是,它是极 值点.答案：x = l,x = l,小_3 .设某商品的需求函数为q(p) = 10e”,则需求弹性 =.答案：21114,行列式。=111=.答案：41 11-11165.设线性方程组AX = b,且0 -132，则，时，方程组有唯一解答案:W100r+10(二)单项选择题1 .下列函数在指定区间(-00,+00)上单调增长的是(。).A.sinxB . e AC . x 2oD.3 - x答案:B2 .已知需求函数以

8、p) = 100x244p,当 =10时，需求弹性为().A. 4x2-4/7ln2B.41n2 C. -41n2D.-4x2 In2答案：C3.下列积分计算对的的是().A. i eA -e-A-dx = 0-2B.1cx I 八-X-1 e +e dx = 0T 2C.ixsinAdx = O-iD.(x2 + x3)dr = 0-1答案：A4.设线性方程组=b有无穷多解的充足必要条件是（）.A.r(A) = r(A) m B.r(A) n C.m nD . r(A) = r(A) ”+。21n(x+l)V-j (x + l)3(x + )2 dx+ c y (% + 1)2( %2 +%

9、 +(?)-dx x2xsin 2xe x dx+c(2) yr- = 2xsin2x x答案:p(x) = 2xsin 2龙，代入公式得y = e x* j 2xsin 2xenx dx+ c2xsin 2xdx+cxX，sin 2xd2x + cy = x(-cos2x + c).求解下列微分方程的初值问题:(1) V = e2, y(0) = o答案：曳=/%dx答案：曳=/%dxJ eydy = e2xdx, ev = e? + c,把y(0) = 0代入eey =-ex +-22(2)xyf + y-ex =0, y=0P(X) = =,Q(X) =Axdx+cX把y(l) = 0代

10、入pXeinxdx+cxy = +c),C= -e xI，/ 、 y = _(e -e).求解下列线性方程组的一般解:为 + 2x3- x4 = 0X + %2 3工3 + 2工4 02X1 - + 5x3- 3x4 = 0x. = -2x. + xA答案：1 3其中为，/是自由未知量)x2 = x3 - x401-12-3512-301-1所以，方程的一般解为“一 2x3 + x4 （其中是自由未知量） 欠2 = = _3+-373X2 =1七一工4 +- w/5.当2为什么值时，线性方程组Xj - x2 - 5x3 + 4x4 = 22%j -x2 + 3x3 - X4 = 13X - 2

11、x2 - 2x3 + 3x4 = 37玉 一 5x2 - 9x3 + 10x4 = 2有解,并求一般解。“一 2x3 + x4 （其中是自由未知量） 欠2 = = _3+-373X2 =1七一工4 +- w/5.当2为什么值时，线性方程组Xj - x2 - 5x3 + 4x4 = 22%j -x2 + 3x3 - X4 = 13X - 2x2 - 2x3 + 3x4 = 37玉 一 5x2 - 9x3 + 10x4 = 2有解,并求一般解。4lx, - x2 + x3 + x4 = 1(2)X + 2x2 - x3 + 4x4 = 2X1 + 7x2 一 4x3 +11% = 5(Ab)=(3

12、)+(2)11-414114-70(1)X2)2-30(2)x(：)41111_3-5 04750 + (l)x (-2) + 6x(1)235 0(l) + (2)x(-2)13-3_53-5 04-772-334-53-506-57-50（其中项，%是自由未知量）(A b)=1237-2553-2 _ 93102132(2) + (l)x(-2) + (l)x (-3) (4) + (1) x (-7)1000111251313264_ 9-9182-3-3A 14发案.+ (2)x(1) 口案+ (2)2)10001100513004-9002-30A 8(D +100001008130

13、05-900-1-30 8.当；1=8有解,（其中王，是自由未知量）5.。涉为什么值时,方程组X 一 % 七=1x1 + x2- 2x3 = 2+ 3x2 + ax3 = b1-2+ (1)x(-1)+ (1)x(1)1b-1+ (2)x(2)1b-3当q = 3且Z?w3时，方程组无解;当aw-3时，方程组有唯一解;当a = 3且b = 3时，方程组无穷多解。6 .求解下列经济应用问题:（1）设生产某种产品9个单位时的成本函数为：。= 100+0.25/+6q （万元）, 求：当q = 10时的总成本、平均成本和边际成本;当产量夕为多少时，平均成本最小?答案:。(10) = 185 (万元)

14、c(q) = 3 =咽 + 0.25q + 6q ,C(10) = 18.5 (万元/单位)q qc(q) = 0.59 + 6,C(10) = ll (万元/单位)/ x c(q) 100四户j =q q/ x c(q) 100四户j =q q0.25q + 6,c(g)=-100q?+ 0.25 = 0,当产量为20个单位时可使平均成本达成最低。(2).某厂生产某种产品9件时的总成本函数为Cg)= 20 + 4q + 0.()l/ (元)，单位销售价格为p = 14-0.0b(元/件)，问产量为多少时可使利润达成最大？最大利润是多少.答案：R(q)= 14q - O.Ol2, L(q) =

15、 R一c(q) = 10g - 0.02q2 - 20,Z/(q) = 10 0.04 = 0当产量为2 5 0个单位时可使利润达成最大，且最大利润为L(250) = 1230(元)。(3)投产某产品的固定成本为3 6(万元)，且边际成本为。(幻= 2 + 40 (万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低.解:当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为答案：AC = C(6)- C(4) = f (2q + 40)dq = (，+ 40)| J =100 (万元)c=1(2g + 40)dg + 36 = g2+40g + 36，cG)=3

16、= q + 40 + ,mC T 一=0,当x = 6 (百台)时可使平均成本达成最低.(4)已知某产品的边际成本。(幻=2 (元/件)，固定成本为0,边际收益R)= 12 0.02外求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？答案：Lq) = R(q) c(q) = 10 0.02 = 0, 当产量为50 0件时，利润最大.0.029)dq = (10q 0.0切2)端=_25 (元)*500即利润将减少25元.（三）解答题1.计算极限二 lim 土2 e(X+1). x1 3x + 2 (x 2)(x 1)1) lim= hm-I 厂 一1 n (x

17、 )(x + l), d5x + 6 (x-2)(x-3)x-31(2)lim-= hm- = lim = -x2-6x + 8 t(x-2)(x-4)t(x_4)21. a/1 x 1 . (a/1 x 1)(V1 x + 1)(3 ) lim= lim-j=D XX(A/1-X + 1)= lim工0= lim工0- xM Jl-x +1)=limx-0(Jl X + 1)3%2 3x + 51.xx11(4)lim = lim=-3厂 + 2x + 4i0 公 243(5) limx-0(5) limx-0sin 3xsin5xJ + 一+ =x xv 5xsin 3x 3 3 lim=

18、-x 3xsin 5x 5 5,r x2-4 r (x 2)(x + 2)(6)hm= hm “f2sin(x-2)x-2 sin(x-2)xsin + Z?, x0x.设函数/(x) = 0x问:(1)当。力为什么值时，/(x)在x = 0处有极限存在?（2）当为什么值时，/（划在x = 0处连续.答案：（1）当 =1,。任意时，/（%）在x = 0处有极限存在;(2)当a = Z? = l时,/(x)在x = 0处连续。1 .计算下列函数的导数或微分:(1 )=/ +2 +bg2x 22,求 J；，答案:y = 2x + 2ln2 + L- xln 2答案:y = 2x + 2ln2 +

19、L- xln 2ax + bf(2)y =求 ycx + d答案:yf _a(cx+d)-c(ax+b) _ ad-cb(cx+d)2(cx+d)21 分,(3) = z 求)J3x 51-3答案：y= /=(3x-5) 2 y=/ .二V3x-52j(3x-5产答案:yf = r= (x + l)e2yj x(5 ) y = e sin bx,求 dy答案：y = (eaxy sin bx + eax (sin bx)r=ae(lx sin bx + e“ cosbx b=eav (asmbx + h cos bx)dy = eax (a sin bx + b cos bx)dx(6)y =

20、 e、+xJ7,求 dy3 r- 1 1答案:dy = (Jx-ex)dx2 x(7 ) y = cos五一 e9一尸，求dy小田,_t2 sinj%、1答案:dy = (2xe-j=dx2jx(8)y = sin x + sinx,求 y答案：y二九sin xcosx+cosnxn= n(sin,?| xcosx + cosmt)(9) y = ln(x + a/1 + x2),求 VV =r-(x + 71+x2) =7=1-1(l + -(l + x2) 22x)X + Vl + XX + y/l + X 1Jl + Vcot- 1 +(1 o)y = 2 x + 1 cot 磔安,2

21、.21答案:y =x2x sin x-12 +-%64,下列各方程中y是x的隐函数，试求V或dy(1) / + / 一盯+ 3% = 1,求 dy(2y-x)yr = y - 2% - 3dy= y32xdx2y-x答案:解：方程两边关于X求导：2x +2 -y-xyf + 3 = Q(2)sin(x+ y) + exy = 4x，求 yf答案:解:方程两边关于X求导cos(x + y)(l + /) + exyy + xyr) = 4(cos(x + y) + exyx)yf = 4- yexy -cos(x + y)f _ 4-ye -cos(r + y) xevv +cos(x+ j)5

22、 .求下列函数的二阶导数: 答案:二 2-2/,一 (1 + 马2(2)I - x=,求及虫1)答案:y二3y=1作业（二）（一）填空题答案：2”ln2 + 2答案：2”ln2 + 21 .若J/(x)dx = 2x+2x + c,贝U/(x) =2. j(sirLx)rck =2. j(sirLx)rck =.答案:sinx + c.答案：一耳尸（1 x?）+ c.答案：0.若 j /(x)dx =/(%)+ c,则 J xf(- x1 ) x s in d的原函数.A.-cosx2 2B.2 c o s x2C. -2 cos * 2D.-cos%22答案:D2.下列等式成立的是（).A.

23、 sinxck = d(cosr)。B.ln xAx = d() xC. 2dx = -Ld(2In 2答案：C3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）.A. jcos(2x + l)dx, B.|xa/1-x2(1vC.xsin2xdxD.答案：C4.下列定积分计算对的的是（4.下列定积分计算对的的是（).A.2Adx = 2B.,16I dx = 15C.(x2 +x3)dr = O-7tD.) 7TsinAik = 0-71答案：D5.下列无穷积分中收敛的是（)A.+8 | Ax B.1 x+8 1r AxC.l1 x23 +00eAdx oD.+00sinxdx答案：B（三）解答

24、题1.计算下列不定积分(1)eAr 3答案：匕口小屋）5=号+，In-er (1 + x)2(2) 7=- ck，1 x答案:(1 +4Vxdx = J(1 + 2x + )dx =j(x 2l 3+ 2x2 +x2 )dx=2-fx+4+2、l+c35答案:dx(4)x2-4x+2-dxl-2x答案:Jdr = j* (x _ 2)dx=%2 _ 2x + cl-2x2J l-2xd(l - 2x) = - - ln|l -2x| + c(5) jxv2 + x2dx(6)+ x2dx 2sin Vx ,ck+ %2d(2 +% )=g(2 + %2)，+c答案:f Sn2ck = 2fsi

25、nVxdVx =-2cosV + cJ Jx J、 X 1J xsm ax答案：jxsin；ck = -2jxdc、dsdxC%4 Xzxcos+ 4sin + cC%4 Xzxcos+ 4sin + c= -2xcos+ 2cos-dx=-22(7) J1d(a: + l)dx答案:jln(x + l)dr = Jln(x + l)d(x + l) =(x + l)ln(x + l)- j(x + l)dln(x +1) = (x +1) ln(x +1)-x + c(8) 算下列定积分(1) j Jl-x|dx答案:答案:(l-x)dx4-j(2(x- l)dj； = (x- -2)| L

26、i + (x2 -x)2_51 - 2(2)j2 eA答案:(3)=e-Vee3 1. dr1 x J1 + In x答案:1a/1 + In x,3d(l + lux) =2( 1 + In %)2 : =2(4)71xcos2jxk0答案:，生lr- f .12 xcos2Adx二一 2 sin 2x = xsin 2xo2Jo2-12 sin 2xdx=02答案：feln Adx=Cln xdx2= x2 In x| - jCx26Zln x = (e2 +1) 4f 4j(l + xe-A)ck答案：j：(l + xe7)ck = M： - J：xde- =3-xex : + J，dx

27、 = 5 + Se4作业三(一)填空题-10 4 -5.1 .设矩阵4= 3 -2 3 2 ，则A的元素的3=答案：3 216-12,设A,8均为3阶矩阵，且同=同=3,则|-2A叫=.答案:723 .设4 5均为儿阶矩阵，则等式(A - B)2 =A2- 2AB + B2成立的充足必要条件是答案:AB=B44 .设A3均为阶矩阵，（/ 3）可逆，则矩阵A + BX = X的解X =答案：（/一5）745.设矩阵A= 000 02 0 ,则 A-=0 -31 0.答案：A= 0 - 20 00013（二）单项选择题1.以下结论或等式对的的是（）.A.若均为零矩阵，则有A = BB.若 AB=A

28、C,且 AwO,则 B = CC.对角矩阵是对称矩阵D.若 AwO,BwO,则 ABwO 答案 C）矩阵.2.设A为3x4矩阵，3为5x2矩阵，且乘积矩阵AC4故意义，则。丁为（B.4x2。A. 2x4。C. 3x5。D. 5x3 答案 A3.设A,B均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）.A.(A + B)-1 = A-1 +B B. (A-By1 =A-D.AB=BA 答案 C4.下列矩阵可逆的是().-1 2 3一A. 0 2 3_0 0 3_一 1 rC._0 0_一2225.矩阵A=333的秩是(4441 0 1B. 1011 2 3).A. 0 B. 1C.2D.3 答案B三、解答题1.计算(1)(2)-2iTo31-21D. 1 1 答案A2 22 T101-3JLO(3) -1 2 534：=。- 1212.计算-122-33T-12 12 41 24 3-63 -134 51 0-2 7