第03讲 基本不等式 (精讲+精练）（教师版）.docx

《第03讲 基本不等式 (精讲+精练）（教师版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第03讲 基本不等式 (精讲+精练）（教师版）.docx（33页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第03讲 基本不等式（精讲+精练）目录第一局部：思维导图（总览全局）第二局部：知识点精准记忆第三局部：课前自我评估测试第四局部：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值凑配法“1”的代入法二次与二次（一次）商式（换元法） 条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五局部：高考真题感悟第六局部：第03讲基本不等式（精练）因为 x2,那么 x+20,那么 2+4x + 6 = （x + 2）+2=年 + 2）+ ?_）2、+2）/- = 20, x+2x+2） x+2 V x+2当且仅当元=收

2、-2时，等号成立，所以，当x-2时，函数工+ + 6的最小值为2夜. x + 2故答案为：2五.工2 - X + 4. （2022上海高三专题练习）假设xl,那么函数y=的最小值为.【答案】3X 1X 1X 1X 1因为xl,所以y =工一1 + 1+ 1 = 3 ,当且仅当x-l,即x = 2时等号成立.所以函数y = * -x + 1的最小值为3.x 1故答案为：3.5.（2021江西宁冈中学高一阶段练习（理）的最大值为【答案】|令1 = 1,那么x =，+ l, /0,x-1所以 X2 -4x + 7Q + l)2_4Q + l) + 7产一21 + 44当且仅当才=,即/ = 2时，等

3、 t号成立.所以1）的最大值为:x/(X厂4x+76. （2022全国高三专题练习）求以下函数的最小值z d x X2 4- X 4-1(1) y =(x 0)；X/_、 x2 + 2% + 6 z 八1).【答案】（1） 3； （2） 10./ 、/ + x +11(1) y = x + +1XXe/ xO,/.x + 2 /x= 2 （当且仅当x = ,，即时取等号）x V xx y=2+ + l（xO）的最小值为3； x（2）令”尢1。0）,那么 x = / + 1,f+2x + 6 （r + l）2 + 2（/ + l） + 6 入4/ + 99 八4 . y =- -= / + +

4、4 /一+4 = 10x-1ttt X t9当且仅当/ 二3即f=3时取等号 t .y的最小值为10条件等式求最值1. （2022 陕西咸阳高二期末（文）x0, y0,假设2x+y = 8p,那么孙的最小值是（）A.正B.C, iD. i4284【答案】C因为x。，y0,由基本不等式得：2x + y 2y2xy ,所以8盯N 252孙，解得：孙当且仅当2x = y,8即工=；，=；时，等号成立应选：C（2022全国高三专题练习）。0/。，且= Q + b + 3,那么Q+b的最小值为（）A. 4B. 8C. 7D. 6【答案】D【详解】.,= Q + + 3, Q 0/ 0 ,. + b +

5、3W（i）2,当且仅当cz = b,即。= =3时等号成立，用不得Q + bZ6或。+匕一2 （舍去），+人的最小值为6应选：D2. （2022 江苏高三专题练习）a0, b0且满足a +加=c力，那么。+ 2的最小值为（）4B. 6C. 8D. 10【答案】C1 2由 + 2Z? = q。可得一十 = 1, b a又因为Q。，Z?0,匚ln2、 / ci 4b A a 4b A A 八所以 q + 2b = (a + 2)石 + = 4 + H 2 4 + 2dzx - =4 + 4 = 8 ,a 4b(.16/ 4当且仅当b a 即 时等号成立，a-2h = ah ”人所以 + 2万的最小

6、值为8,应选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） 一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（2） 二定就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，那么必须把构成 积的因式的和转化成定值；（3） 三相等是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，假设不能取等号那么这个定值就不是所 求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3. （2022安徽芜湖高一期末）正数x, y满足q = x+y + 8,那么工+）的最小值为【答案】8由题意，正实数羽儿S （x+y）2 =x2 + y2 -2xy4xy （%=丁时等号成立）， 所以孙0，

7、解得x+y8, （x = y = 4取最小值）所以x+的最小值为8.故答案为：8（2022全国高三专题练习）。且满足= +如+ 1,那么加+b的最小值为【答案】25/6+5#5 + 2V6/ a2,b,且满足= a + 2Z? + l,. + 1 13/. h = 1 +,Q 2Q 22tz + Z? = -QI h6 = 2（a 2）J3 + 5 2 22（a 2）? + = d-,3当且仅当2（。-2） = 一；时，2。+人的最小值为2指+ 5.a-2故答案为：2c+ 54. （2022重庆高一期末）x0, J0, 2xy = x+y + 4,那么x+y的最小值为【答案】4解:解:由题知x

8、o,y “由基本不等式得孙“即 x+y + 40, b0,且a + b = 3,那么a +人的最小值为【答案】6由。0, b0,得a + bN 2M （当且仅当=匕时，等号成立），又因 q + Z? = qZ? 3,ab-3 2ab ,即+3)20 ,由 q0, /?0,解得即 q29,故 a + =3力9-3 = 6 .因此当。= =3时，取最小值6.故答案为：6.高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1. （2022 全国高三专题练习）当x2时，不等式x + 12恒成立，那么实数的取值范围是（）x-2A. （,2B. 2,+oo）C. 4,+oo）D. （-00,4【答案】D当x2时

9、，x + L = x 2 + + 22）红一2）一 + 2 = 4 （当且仅当 = 3时取等号）,即的 x-2x-2 yx-2取值范围为（-8,4.应选：D.2. （2022浙江高三专题练习）假设关于x的不等式/以+ 20在区间1,5上恒成立，那么。的取值范围为（ ）A.A.（2+勾B.C(f 3)D.(27、【答案】B【答案】B9当时，由/一双+ 20可得Qx + 一X,贝iJq(x + 2、V XJmin由基本不等式可得x + 222jx.2 = 2四,当且仅当工=及时，等号成立, X X所以，a2金.应选：B.由基本不等式可得x + 222jx.2 = 2四,当且仅当工=及时，等号成立,

10、 X X所以，a0, b0,假设不等式十 727恒成立, a b a-b那么机的最大值为（）A. 10B. 12C. 16D. 9【答案】D41 m由Q0, b0,假设不等式一+ 丁2一7恒成立, a b a + b4 1、所以加 - + - （。+勿恒成立， bjm1 恒成立,24那么实数2的取值范围是（）C. (-2,1) D.U(1,+go)【答案】A因为尤，je（0,+co）,且x+y = l,2所以月 + 2+孙=(尤+y) -xy = l-xy 1-当且仅当工= =；时，等号成立;又不等式2+/+WM+5恒成立,31 o 1所以只需即源+z0,所以V+X+1 r . 1 . 1 -

11、 o I1 1 3,当且仅当x二X + + 1 2JX-+1尤V x2 2）恒成立，所以。之彳，即。不+8 ;3 L3）应选：C1 Q6. （2022甘肃无高二期末（文）正实数a, b满足一+ 7 = 1, a b意的实数X恒成立，那么实数2的取值范围是（）A. 3,+oo）B. （-oo,3C. （,6那么实数。的取值范围是（）D. （-oo,l12x二上即x = l时取等号，因为让一 Xr + X + 1假设不等式Q +4x + 18 相对任D. 6,+oo）【答案】D1 9因为 0, b 0, 1 = 1, a h入 / i(X 9l m h 9 所以 + b =(4 + b) + =

12、10dF a b)a I由题意，得16Zf+4x+i8，即x2-10+2. -=16,当且仅当2 =当，即q = 4, 8 = 12时取等号.）a ha b一4九一2之一相对任意的实数x恒成立，又f-4x2 = （x-2）2 -6-6 ,所以一6 2 -m,即 m6.应选：D.7. (2022全国高三专题练习)假设对任意x0,1 、A. -,+oB.5(I)C. - 8,D.5 J,:恒成立,那么实数，的取值范围是（）x +3x + l（ ,+oo15（r00,5_【答案】A _由题意，对任意x0,那么有?+3x + l x2+3x + 1 r , 1 n _ . Ir 勺 5 ,x + +

13、3 2JX- + 3% X N X1Y1当且仅当工=上时，即x = l时，等号成立，即、:的最大值为3,xx+3x + l5Y1又由对任意x0时，7。恒成立，所以。2二， x+3x + l5即。的取值范围为1+), 应选：A.高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1. (2022北京市十一学校高二期末)某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3,高为3m, 如果箱底每Im2的造价为15元，箱壁每Im?造价为12元，那么箱子的最低总造价为()A. 72 元B. 300 元C. 512 元D. 816 元【答案】D设这个箱子的箱底的长为xm,那么宽为3m, x设箱子总造价为了元，321

14、616/. /U) = 15xl6+12x3(2x+ ) = 72(% + )+240144 Jxx+ 240 = 816, xxV x当且仅当x=3,即x=4时，f (x)取最小值816元. x应选：D.2. (2022河南开封高一期末)中国宋代的数学家秦九韶曾提出三斜求积术，即假设在平面内有一个三角 形，边长分别为，b, c,三角形的面积S可由公式5 =或7(2-)(-b)(p-c)求得,其中为三角形周 长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足。+ = 14, c = 6,那么此三角形 面积的最大值为()A. 6B. 6MC. 12D. 12710【答案】B由题意

15、得： =1。，S =- c) = J10(10 - 4)(10 一1)(10。)=j40(10_)(10叫 = 3x2710 = 6Vw ,当且仅当10-。= 10-。，即Q = b = 7时取等号，应选：B.3. （2022江苏常州高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同.受钢材进 价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价.设。甲第一次提价%,第二次提 价9%；乙两次均提价岁;丙一次性提价（ + /%.各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（）A.乙、甲、丙B.甲、乙、丙C.乙、丙、甲D.丙、甲、乙【答案】A设提价前价格为1,那么中提

16、价后的价格为：（1+“%）。+4%） = 1+4%+0.01% ,2乙提价后价格为：11 +%1 +左9 = 1 + .% +4 + 0.0以伍| %,丙提价后价格为：1 + （ +/ = 1+ +9,因为（）pq,I 2 J 所以（l + %Ml + %（l + p%）（l + 4%）l + （p + q）%,即乙甲丙.I 2 八 2 J应选：A4. （2022全国高三专题练习（文）建R,那么“对任意a/cR, a1+b2 kabnk 2ab,而对任意R, cr+b2kab ,所以-2ZK2,因为-2,2是（-8,2的真子集，所以对任意。力cR, a+bNkab是k 10【答案】AB. m

17、10【答案】AC. m = 10C. m5x2 = 10, b a yb a) b a当且仅当f =即q = 时等号成立，但疝b,等号不成立，即x+y10.b a因此，顾客购得的黄金相10.应选：A.6. （2022全国高一）如下图，将一矩形花坛ABC。扩建为一个更大的矩形花坛4WPN,要求点5在AW 上，点。在AN上，且对角线MN过点C,AB = 4米，AO = 3米，当BM=时，矩形花坛AMPN 的面积最小.NPD【答案】4ND 412设那么由。C/A/得=,解得ND = 一,ND+3 4+xx,.矩形AM/W的面积为S = （4 + x）（3 +”） = 24 + 3x +竺2 24 +

18、 2j3xxg=48,当且仅当3x =修，即x = 4时 xxy xx等号成立.故答案为：4.高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1.（2022重庆南开中学模拟预测）命题P：土 2,4卜2_办+ 40为真命题，那么实数。的取值范围是（）A. a4A. a417B. a 2C. ci 53【答案】B1 (4、命题 p：咱3,4 , /_冰 + 40，即x + 一 .，X X/max411717设小十 7对勾函数在E时取得最小值为4,在户，时取得最大值为了故5,应选：B.2.（2022浙江高三专题练习）假设不等式f+以+ 120对一切xw恒成立，那么。的取值范围是（5A. 。2 0B.

19、a 4 -2C. a 2 2【答案】C假设不等式f+ar + lzo对一切xe 0,；恒成立，（n那么 Q 2 X H,即ON X +二，），= _ X + ,在（0,）单调递增，ymax=_g， X,）2L 、 -maxv _i所以此二.2应选：Cx2 +5）D.不存在）D.不存在3. （2022全国高三专题练习）函数y = 7=的最小值为（ 6+45A. 2B. -C. 12【答案】B令&+4=（22）,.函数y = / + 1在。,+8）上是增函数， t.丁 = / + ；在2,小）上也是增函数.当才=2 ,即 Jx? +4 = 2，% = 0 时，Vmin = z -应选：B.，3x2

20、 2,3,44.（2022新疆石河子第二中学高二阶段练习）函数/= x + , g（x） = 2、+ *假设V% e x使得“xj，g（x2），那么实数。的取值范围是（）1A. -,+oo_291B.不，+82)C. -3,+co)D. l,+oo)【答案】A支要1之(率)2(2)；+?2a0)拼凑法第一局部：思维导图总览全局(l)a2+lr2ab(af bR),当且仅当a=b时取等号(2)。忒1(% bR),当且仅当。=b时取等号(基本不等式：建空(1)基本不等式成立的条件：a0, b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.(3)其中岩称为正数a, b的算术平均数，丽称为正数a,

21、b的几何平均数a0, b0) x0, j0,贝!(1)如果或是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2心 (简记：积定和最小).(2)如果是定值q,那么当且仅当x=.F时，球有最大值是g4(简记：和定积最大).拼凑法即将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等 方法凑成和为定值或积为定值的形式拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.b(l)根据条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除， 进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值.通常是考虑利用条件消去局部变量后，凑出“和为常数”或“积

22、为常数” , .I 解:Vx,6,lj,3x2G2,3,使得“xjwg伍)，等价于V%,3x2 g2,3，4 1 0, 故 g）max=g（6） = W gH）min，综上所述：g （从J曰，g（/）m-。，即之/，/（叽。.应选：A.第五局部：高考真题感悟1. （2021 江苏高考真题）奇函数“X）是定义在R上的单调函数，假设正实数满足/（2a） + ,“。-4） = 012那么小的最小值是（）D. 4【答案】B解：因为，（2。） + /0 4）=。，所以/（2q） = /S 4）, 因为奇函数是定义在R上的单调函数， 所以/(2a) = /S 4) = /(4。)，所以 2q = 46 ,

23、即 2a + b = 4,所以 2a+ 2+b = 6,即 2(+ 1)+1 = 6 ,12 1( 12所以+ = 2(。+ 1)+切+ -6Z + 1 h 61 hb 4(+ 1)6|_6Z + 1b _1b 4( + 1) J61q+1 b小+ 4）g当且仅当言=竽,即0 = 3时取等号,24所以7 + ：的最小值是:. 6Z + 1 b3应选：B2. （2021 全国高考真题（文）以下函数中最小值为4的是（）A. y = x2+2x + 4B. y=smx+-,sinx.4C. y = 2” +22rD. y = lnx + 一Inx【答案】C对于A, = /+2+4 =（1+1+323

24、,当且仅当x = -1时取等号，所以其最小值为3, A不符合题意；对于B,因为0卜皿才2V4=4,当且仅当卜inx| = 2时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4, B不符合题意;对于C,因为函数定义域为H,而2、0，丁 = 2、+ 22-” = 2+2”=4,当且仅当2、=2,即x = l时取等 2号，所以其最小值为4, C符合题意；对于D, y = lnx + /,函数定义域为（O,1）U（L+00），而InxcH且In尤。0,如当lnx = -l, ,=5, D不符合Inx题意.应选：C.3. （2021 天津高考真题）假设那么的最小值为.【答案】2&。0 , b0 91 Q 7 c

25、R _丁 ,2 _ 12 .- rrI- + b 2, +b = i-Z? 2J/? = 2v2 ,a b2b2 b b当且仅当=二且? = b,即=b =亚时等号成立， a b- b所以+ / + 的最小值为2五.故答案为：2五.4. （2021江苏,高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总本钱 万元与年产2量X吨之间的函数关系可以近似地表示为 =工-24X + 2000,此生产线的年产量最小为60吨，最大为110 吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均本钱最低?并求最低平均本钱；（2）假设每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，那么年产量为多少吨时

26、，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均本钱最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元./ 、y x 2000 r” 一 Z（1） - = - +24,60,110x 5 x-24 = 16当且仅当：二3她时，即x = 100取二，符合题意； 5 x，年产量为100吨时，平均本钱最低为16万元.（尤2A I2（2） L（x） = 24x24%+ 2000 =（x-120）+880又60x0,那么x（2-x）最大值为工D.3时，a +当且仅当，=上=即。=4时，3取得最小值8a-3 v a-3a-3a-3【答案】C对于选项A,只有当x0时，才满

27、足基本不等式的使用条件，那么A不正确;2(x2+4) 2(x2+3 + 1)对于选项B,y= ：/ /1 g),Jf+3,)即y = 2/ + ?，2石）在独+8）匕单调递增，那么最小值为Wn = 26=甲那么B不正确;对于选项C,x（2%）=（Y2x + l） + l = （x那么C 正确；对于选项D,当。3时，4+工 =-3 +工+ 322、/（-3）工 + 3 = 7 ,当且仅当 。一3 a 3 Vv 7。一34Q 3 =时，即q = 5,等号成立，那么D不正确.a-3应选：C.r2 _ 4 r + 55（2022福建莆田一中高一期末）函数八%）=入 入+（巳2）有（）x-22A.最大值

28、（B.最小值：C.最大值2D.最小值222【答案】DSY2-4r+5（为一2）2+1|1（方法l）x.J,20,那么二十。=（入6十1=5_2） + 丁=.2,当且仅当工2 =；，即x = 32x-2x-2（x-2）x-2时，等号成立.（方法2）令x-2 =，.x一，.一，.x = 1 + 2. 22将其代入，原函数可化为y= + 2）2 ：（ + 2）+ 5 =，！ = / + ；.2= 2,当且仅当；，即才=1时等号成立，此时x = 3.应选：D102. （2022河南郊县第一高级中学高二开学考试（理）正实数仍满足上+ = 1,那么（。+ 2）e+ 4）的最小 a b值为（）A. 16B.

29、 24C. 32D. 40【答案】Ci 2 rr1 2正实数a。满足一+ 7 =所以1 22一，出? 2 8当且仅当匕=2。= 4时取等号，一+ ： = 1化简得ab = 2a+b ,所 a bV ciba b以（ + 2）S+4）= +2（2q+） + 8 = 3q/?+8 2 32 应选：C.3. （2022江西抚州高二期末（文）假设命题对任意使得工2_2办+ 420成立是真命题，那么 实数。的取值范围是（）A. -2,+oo）B. 2,+co）C. （-oo,-2D. （-00,2【答案】A解：由题得+ 对任意%（-8,0）恒成立，X 2 r/ X、/ 2、_, J/ X、/ 2、 c7

30、 + = -（- -） + （） 一2 J （- -） + （） = -22 x 2 x V 2 x（当且仅当x = -2时等号成立）所以Q 2 2.应选：A（2022河南,驻马店市基础教学研究室高二期末（理）中国大运河工程成功人选世界文化遗产名录， 成为中国第46个世界遗产工程，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的 名片，也成为众多旅游者的游览目的地.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头， 又立即逆水返回奥体公园码头，游船在顺水中的速度为匕，在逆水中的速度为匕（乂工匕），那么游船此次 行程的平均速度V与匕乎的大小关系是（）A. VB. V0,匕0

31、,设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1,那么游船顺流而下的时间为上，逆流而上的时间为，那么平均速度”=不什，由基本不等式可得心力TT%万工2行西而“詈2麻，当且仅当乂 =匕时 两个不等式都取得J，而根据题意X。,于是V种不0,即2时，那么(+ /?+ (1-2)? ( + /?丁+、()2=等(，+32所以中（ +3221,所以。+人2当且仅当。=人时取等号,4山+ 2此时，+人有最小值，无最大值，与题意矛盾；当Z20,即a6,那么 aZ? = l,即。=1,故a+Z? = 2Z;+l,此时a+b无最大值，与题意矛盾；当+20,即一2v，v2时，中（ +与241,所以0a + b工、巨,当且

32、仅当。=匕时取等号，4山+ 2此时。+人有最大值，符合题意;当，+ 20,即，2时,/ -I- 99（+）-/+2加恒成立，那么实数加 a b的取值范围是（）A. (2)B. (-2,4)C. (-oc,-4u2,+oo)D. (-oo,-2u4,+oo)【答案】A解：设方程3/-2x-必=0的两个异号的实根分别为七，4，那么工用=-曰02 1乂 I = 1,b 0,a b那么 Q + 2 =(Q + 2b)2 + l = 4 + g +丝+ 丝=8 (当且仅当 q = 4,8=2时取=)， a b)b a h a由不等式+ 2 m2 +2/n恒成立，得m2 +2m0, Y0, x+y= 4

33、,那么x+y的取值范围为% y【答案】6,+8)3 3因为x+y= 4, x0,y。，x y一一 . 3(%+y).3(%+y) _12所以孙 一卜+疔 x+y,当且仅当工=丁时等号成立，即(x+y)24(x+y) 1220,解得x+y26或冗+”-2 (舍去)所以x+V的取值范围为6,+8).故答案为：6,+cc)10. (2022上海二模)对以(。,转)，不等式xz-L恒成立，那么实数2的最大值是. x【答案】不存在由可得%(。,+8), rnx + -,由基本不等式可得x + LnzJx-L = 2 , XX X当且仅当X = 1时，等号成立，.根8(2)，那么实数的取值范围是.(131

34、【答案】-巴下【4 J假设 M 在3,4上的最大值/(x)max, g(x)在4,8上的最大值g(a由题设，只需/(X)max之?(X)max即可.在3,4上，= 2 +二=6当且仅当x = 3时等号成立,x v x25由对勾函数的性质：/在3,4上递增，故/(0皿=1.在4,8上,在%）单调递增,那么式初耐=3 + ,2513所以丁小，可得。吃故答案为:1309,412. （2022安徽合肥高一期末）如下图，某农科院有一块直角梯形试验田A3CZ）,其中A3/C。4。JL A3.某研究小组计那么在该试验田中截取一块矩形区域AGE试种新品种的西红柿，点E在边上，那么该矩形区域的面积最大值为区域的面积最大值为【答案】75设 AG = x,6 x 15 ,n 1212 4tan B =15-6 934BG = 5-x,G = (15-x)xtanB = (15-x),44所以矩形AGE的面积2（15 44所以矩形AGE的面积2（15 2 4 225 .=