第05讲 复数(精讲+精练）（学生版）.docx

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1、第05讲复数（精讲+精练）目录第一局部：知识点精准记忆第二局部：课前自我评估测试第三局部：典型例题剖析 高频考点一：复数的概念高频考点二：复数的几何意义高频考点三：待定系数求复数z =初高频考点四：复数的四那么运算第四局部：高考真题感悟第五局部：第05讲复数（精练）假设点A关于虚轴的对称点为8,那么向量砺对应的复数的共加复数为（）A 1 V3.口 1 V3.22221 V3.n 1 V3.222 2（2022河南洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标 平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z|=|OZ|,也即复数Z的模的几何意义为Z对

2、 应的点Z到原点的距离.复数z满足目=2,那么|z-3-倒的最大值为（）A. 3B. 5C. 7D. 9（2022河南高一阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为。，i为虚数单位，那么以下说法正确的选项是（）A.假设同=1,那么2 = 1 或 z = iB.假设|z + l| = l,那么点Z的集合为以（1,0）为圆心，1为半径的圆C.假设心回（及，那么点Z的集合所构成的图形的面积为D.假设|z-l|=|z + i|,那么点Z的集合中有且只有两个元素二、填空题7（2022新疆,二模（理）复数z = + 2i, 4/eR,假设一+ 1 3i为实数，那么”.1（2022,江苏南通模拟预测）

3、己知复数z为纯虚数，假设（2-i）z = a-6i （其中i为虚数单位），那么实数q 的值为.7. （2022河南开封高一阶段练习）以下说法正确的序号为假设复数z = 3 + i假设复数z = 3 + i假设全集为复数集，那么实数集的补集为虚数集；复数ZI, Z2,假设ZZ2,那么Z1, Z2均为实数;复数z = -3i +1的虚部是1.8. （2022江西南昌高二期末（理）复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z + z = 4；乙：20二3;丙：2 =在甲、乙、丙三人陈述中，有且只 z 5有两个人的陈述正确，那么复数2=.三、解答题=2,=

4、2,9. （2022福建厦门市松柏中学高一阶段练习）（1）复数z在复平面内对应的点在第二象限, 且 z + z = 2，求 z ；（2）复数z = 1-（l + 2i）m-3（2 + i）为纯虚数，求实数根的值.10. （2022福建三明一中高一阶段练习）复数2 =（加2一2加一3）+ （加2+加一2）1,（m1 0,求机的值；假设z是纯虚数，求z5的值.6 47771（2022 安徽高一阶段练习）复数2 = 下一（机R,i是虚数单位）.1 + 1假设z是实数，求实数机的值；设5是2的共轨复数，复数5-4z在复平面上对应的点位于第一象限，求实数机的取值范围.11. （2022全国高一单元测试）

5、设复数4、Z2满足Z1.Z2+2iz2i2+l = 0.（1）右 Z、z?；两足 z2 Z = 2i,求 Z、z2;假设|zj=g,那么是否存在常数3使得等式|22-雷|=%恒成立？假设存在，试求出攵的值；假设不存在，请说 明理由.第一局部：知识点精准记忆1、复数的概念我们把形如 +儿,。力尺的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足/=-1 .全体复数所构成的集合 C = a + hia.b e R叫做复数集.复数的表示：复数通常用字母z表示，即z = +万，力其中的。与人分别叫做复数2的实部与虚 部.2、复数相等在复数集。=。+万|。,）氏中任取两个数，c + di ,（ e/?）,我们规定a

6、-ca + bi = c + dio4 .b = d3、复数的分类对于复数。+庆（。力尺），当且仅当人=0时，它是实数；当且仅当。= 6 = 0时，它是实数0；当bwO时,它叫做虚数；当。=0且时,它叫做纯虚数.这样，复数z = +初（。/氏）可以分类如下:实数（0=0）复数由物人八J纯虚数（。二。） 虚数（30）非纯虚数（。0）4、复数的几何意义（1）复数的几何意义一一与点对应复数的几何意义1：复数z = a + bi（a,beR） 对应，复平面内的点Z （a, b） （2）复数的几何意义一一与向量对应复数的几何意义2：复数z = a + bi（a,bwR） 一一对应，平面向量。2 =（/）

7、5、复数的模向量。2的模叫做复数z = a + bi的模，记为| z |或|。+万|公式：za + bi=yla2+b2，其中。力 eR复数模的几何意义：复数z = a +初在复平面上对应的点Z（a力）到原点的距离；特别的，b = 0时，复数z = a +初是一个实数，它的模就等于|。|（的绝对值）.6、共甄复数（1）定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共配复数；虚部不等于0的两 个共期复数也叫共辗虚数.(2)表示方法表示方法：复数z的共辄复数用三表示，即如果z = a + ，那么建7、复数代数形式的加法(减法)运算(1)复数的加法法那么设4=4 +历，z2

8、=c + di, (a,4c,dR)是任意两个复数，那么它们的和：4 + z2 =(Q + bi) + (c + di) = (a + c) + (c + d)i显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数(2)复数的减法法那么类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足： (c +力)+ (x + yi) = a + bi的复数% + yi叫做复数a + bi减去复数c+力的差，记作(a + bi)-(c + di)实部相减为实部I I I(a+b/)(c+M =(a-c)+(bd)iI IT虚部相成为虚部注意：两个复数的差是一个确定的复数；两个复数相加减等于实部与实部相加

9、减，虚部与虚部相加减.8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值(1)复数的三角形式一般地，任何一个复数z = a + bi都可以表示成Ncosg + isin。)的形式,其中一是复数z的模；。是以x轴 的非负半轴为始边，向量无所在射线(射线0Z)为终边的角，叫做复数z = a +比的辐角. NcosO + isin。) 叫做复数z = a +厅的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来， +比叫做复数的代数表示式， 简称代数形式.注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”(2)复数的俯角任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2兀的整数倍.复数0的

10、辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.我们规定在06v2兀范围内的辐角。的值为辐角的主值.通常记作照2,即0Wargz2 +zsin62),那么Z z2 = q 马cos(，+.) + isin(4 +%)简记为：模数相乘，幅角相加10、复数三角形式的除法设 Z = q (cos q + i sin q ) , z2 = z; (cos g + i sin g ), 且 4 w z2,因为弓(cos。2 +isin2)- cos(, -2) + isin( -02 = r (cosi +isin4), r24(cos+isin) r r z 、/所以根据复数除法的定义，有J . . J,- CO

11、S +isin .q (cos2+isin，2) r2 一、判断题1. (2021 全国高一课时练习)对于复数2 =+为(/cR),假设 =0,那么z是实数；假设6w0,那么z是纯虚数( )2. (2021全国,高一课时练习)3 + 4i的实部等于3,虚部等于4i()3. (2021 全国高一课时练习)自然数是有理数，但不是复数()二、单项选择题 (2022云南昆明一模(文)复数z在复平面内对应的点的坐标为(7,2),那么Ji=()A 2 + iD. 2-i这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为：模数相除，幅角相

12、减B. 2 + iB. 2 + i第二局部：课前自我评估测试2. （2022 内蒙古赤峰二中高二期末（文）复数z = l+a-而的R）,且z在复平面内对应的点在第二 象限，那么实数根的值可以为（）A. 2B, -2C. -1D. 03. （2022 浙江杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）设z = -3 + 2i,那么在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2022 福建省长汀县第一中学高一阶段练习）i为虚数单位，假设复数z = l-Gi,那么|W=（）A. V2B. 2C. 4D. 8（2022 重庆市育才中学高三阶段练习）设i为虚数单位，复数l + 2i

13、与3 + 4i在复平面内分别对应向量砺 与丽，那么网=（）A. 2B. 2拒C. 4D. 8第三局部：典型例题剖析高频考点一：复数的概念L （2022贵州毕节,模拟预测（理）z是复数z的共枕复数，假设3（z + N）+ 4（z 彳）= 9 + 8i，那么z ；=（）A.B yp2C 2 5/2D 3V22. （2022河北模拟预测）i是虚数单位，复数z满足l + 2i =上二，那么z的实部为（）zA. -1B. 0C. 1D. 220213. （2022安徽淮北一模（文）假设复数z =，其中i为虚数单位，那么以下结论正确的选项是（）+ iA. z的虚部为JiB. z在复平面内对应的点在第四象限

14、c. |z| = V2D. z的共配复数为F4. （2022江西鹰潭一模（理）复数z满足z（l-2i） = |3 + 4i| （其中i为虚数单位），那么复数z的虚部为（）A. 1B. iC. 2D. 2i5. （2022河南高二阶段练习（文）设4，z?是复数，给出以下四个说法: z； + 80 ；假设 ZZ2,那么 Z-Z20；假设=区|,那么ZZ=Z2%；假设=闫，那么Z=Z2.其中所有正确说法的序号是.6. （2022上海交大附中高二开学考试）以下四个关于复数的结论：任意两个复数不能比大小； z e C = z2 0 ; （3）z, -z2 0 = Zj z2 ；复数Q+i = c+%（,

15、庆/?）= =。且5 = .高频考点二：复数的几何意义1.（2022,河南洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文）复数z满足那么Z的共辄复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. （2022河南开封高二阶段练习（文）2. （2022河南开封高二阶段练习（文）i为虚数单位，且z0=W，复数Z满足那么复数z对应点的轨迹方程为（A. (x-l)2+( + l)2 =4C. (x + l)2+(y + l)2=l3. （2022全国江西科技学院附属中学高三阶段练习（理）如下图，在复平面内，复数z对应的点为P,z4 5iA.14 3 .1i 41 41B.

16、14 3 .一 + 一141 41C.14 3 .141 41D.14 3 .141 414. （2022河北石家庄高三阶段练习）复数44. （2022河北石家庄高三阶段练习）复数4zZ2在复平面内对应的点分别为（L-1），（0,-1）,那么二Z2A. 1 + iB. 1 + iC. 1-iD. -1 + iE. -1 i5. （2022 全国模拟预测（文）在复平面xOy内，复数4，Z2所对应的点分别为ZZ2,给出以下四个式子：Z；=|z；|4.22=闵.区;龙；鬲2 ；式子：Z；=|z；|4.22=闵.区;龙；鬲2 ；UUIT UUUT (4)OZ. . OZ2UUU UUUT=OZ OZ2

17、其中恒成立的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4（2022全国模拟预测）点A（2,-l）, 3（1,2）, 0（0,0）,复数4，zZ在复平面内对应的向量分别是丽,OB.那么复数ZZ2=（）A. 3iB. 3 + 4iC. 4 + 3iD. 4-3i6. （2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）假设复数z满足|z-l + i|4G （i为虚数单位），那么复数z在复平面内所对应的点构成的图形的面积为7. （2022全国高三专题练习）设相假设复数（l + i）（ + i）在复平面对应的点位于实轴上，那么10g 32 v10g 32 v）13+3m +m+ 了的取值范围为高频考点三：待定系数求复数z1

18、.（2022河南模拟预测（理）312z = 2 5i，贝心=A.2-iB. 2 + iC.2iD. -2 + i2.（2022 山西临汾二模（理）)设2(z + 5)-3(z-5) = 4 + 6i ,贝”=(A.l + 2iB. l-2iC.3.（2022广东江门模拟预测）复数z的共辄复数是5 ,假设23-z = l-i,那么|z|=（A. 1C. 72D.叵3D. 1-i4.A.B. 4C. 9D. 16（2022河南模拟预测（理）复数z满足z-i=2,5为z的共飘复数,那么zN的最大值为（5.（2022重庆高三阶段练习）复数z满足z-i=l,复数z的共规复数为5,那么彳的最大值为（A.

19、1B. 2C. 3D. 4高频考点四：复数的四那么运算1. （2022 四川南充二模（文）复数z = （l + ）便-i）,那么目=（）A. 4B. 2GC. 3D. 2a/22. （2022湖南沅陵县第一中学高二开学考试）i为虚数单位，复数z满足z（2-。仔?,那么以下说法正确的是（）C. z的虚部为一D. z在复平面内对应的点在第三象限J3. （2022陕西西安中学二模（文）假设复数z = i2022 +学2，那么N的虚部为（）3-41442.2.A. B. -C. iD. i55554. （2022全国模拟预测）=-l + 3i （i为虚数单位），那么复数z在复平面对应的点在（）zA.第

20、一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2022全国高三专题练习）m /?eR , i是虚数单位.假设Q + i = 3-Z?i,那么（力-出了 （）A.10 + 6iB.-8 + 6iC.9-6iD.8-6i（2022 重庆十八中高一阶段练习）设复数z. Z2满足=1,内=2, 4 Z2 =l + 3i,那么I4+Z2 =5. （2022上海民办南模中学高三阶段练习）在复数范围内，以下命题中为真命题的序号是.同z?；假设马Z20,那么ZZ2；假设（4Z2）2+（Z2-Z3）2 = 0,贝 I）4=Z2 = Z3 ; | 马 - Z2 | = J（ Z+ Z2 f - 44 Z2； Z；

21、= Z；,那么 Z4 = Z2 以; 2平2 Z； + Z；;两个共甄复数的差是纯虚数；假设|z + i| = |z-i|,那么Z必为实数.6. （2022上海复旦附中高二期末）对任意复数吗.叫淀义叫*叫=记淇中a是”的共班复数.对任意 复数Z1.Z2.Z3,有如下四个命题：（Z1 +Z2）*z3=（zl *z3） + （z2*z3）； ZI*（Z2+Z3）=（Z|*Z2）+（Z|*Z3）;（4*Z2）*Z3 =4 *（Z2*ZJ; 4 *Z2 =Z2*Z.那么真命题是 （填写命题的序号）第四局部：高考真题感悟1. （2021 江苏高考真题）假设复数z满足（l + i）z = 3-i,那么z的

22、虚部等于（）A. 4B. 2C. -2D. -42. （2021全国高考真题）复数;在复平面内对应的点所在的象限为（）1-31A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2021 北京高考真题）在复平面内，复数z满足（1-i）z = 2,那么2=（）A. - 1 iB. 1 + iC. 1 zD.l + i(2021全国高考真题)z = 2i,那么z(N + i)=()A. 6-2iB. 4-2iC. 6 + 2iD. 4 + 2i(2021全国高考真题(文)(1i)2z = 3 + 2i,那么2=() 3.1 3.3 .3 .A. -1 1B. -IdiC.F iD.122223. (

23、2021 全国高考真题(理)设2(z + J + 3(z 刁=4 + 6，那么2=()A. l-2zB. l + 2zC. 1 + zD. -i1. （2021浙江高考真题）qeR, （1 +5）i = 3 + i, （i为虚数单位），那么”（）A. -1B. 1C. -3D. 39 + 2i8. (2021 天津高考真题)i是虚数单位，复数1一=.2 + 1第五局部：第05讲复数（精练）一、单项选择题（2022河北省唐县第一中学高三阶段练习）（l + i2 = 2 + 4i3,那么2=（）A. -2-iB. -2 + iC. 2-iD. 2 + i（2022辽宁抚顺一模）假设复数z满足（3-

24、4i）z = -l + i（i为虚数单位），那么复数z的共枕复数5=（）A.B.1C.D.15 55 525 2525 251. （2022安徽,高一阶段练习）假设复数z = （X2io0）+ a_io）i为纯虚数，那么实数%的值为（）A. -10B. 10C. 100D. 一10或 102. （2022湖南常德一模）假设复数z满足z（l + i） = 2 + i,那么复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2022河北高三阶段练习）复数z满足条件zi + z = 6 + 2i，那么目=（）A. 75B. 2拒C. 6或2血D.百或指6.（2022河南高一阶段练习）在复平面内，。是原点.向量砺对应的复数为立i,其中i为虚数单位,22