圆锥曲线中最值问题的求解策略高.docx

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1、锥曲线中最值问题的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合 应用代数、平几、三角等相关知识。以下从四个方面予以阐述。一、求点的坐标的最值2bxv例1 .定长为/(卜)的线段AB的端点在双曲线二一二=1的右支上，那么AB中点M的横坐标的最 aa小值为2a2+b22y/a2-b2a(l - 2a) 口 q(/ + 2q)2y/a2+b2、2y1 a2+b2解析：如图，作出双曲线的右准线，过A, B作AA、BB，垂直于准线，垂足 为N, Bzo又过AB的中点M作MW垂直于准线，垂足为M，那么求M点横坐标 的最小值，实质上是求线段|MM|的最小值

2、.据双曲线的第二定义：=1AAi | BBf因为 |MM，|=L(|AA1+|BB1),(1)可得|AA1=AF|, IBB-IBFI，将此二式代入，结合三角形两边之和大于第三边可得：IMM (|AF|+|BF|) |AB|, 2e2e当且仅当A、F、B三点共线时,即AB过焦点F时，有|AF|+|BF|=|AB|。即 MM min=|AB|=,2e 2e2 此时xalc 2e 2c2辽 a故x= al _ a(l + 2a) 2yla2+b2评注：求解此题的关键是审题时对双曲线定义及平几知识的把握和应用。评注：求解此题的关键是审题时对双曲线定义及平几知识的把握和应用。二、求两条线段的和的最值例

3、2,点M和F分别是椭圆 二+乙=1上的动点和右焦点，定点B(2,2).259求*|MF|+|MB|的最小值. 4425解析：易知椭圆右焦点为F(4,0),左焦点F(4Q),离心率e=,准线方程x= .54(1)|MF| + |MB| = 10-IMFq + |MB|=10- (|MFV|MB|) 210FB|.当M, B, 三点共线时，|MF1 一|MB|取最大值FBI.此时 |MF|+|MB|10-|F,B|=10-2Vi0 .25I MF I4过动点M作右准线x=的垂线，垂足为H,那么L = e = =4MH5517517一 |MF|+|MB|=|MH|+|MB|21HBi=.可见,当且仅

4、当点 B、M、H 共线时,一 |MF|+|MB|取最小值一.4444评注：从椭圆的两个等价定义出发，再将问题转化为平几中的问题：三角形两边之和大于第三边，两边之 差的绝对值小于第三边。是解决此类问题的常见思路。三、求面积的最值例3.如图，A、B、P(2,4)是抛物线y= x2+6上的点，且直线PA、PB的倾斜角互补，假设直线AB在y轴上的截距为正，求4APB面积的最大值.解析：设 A(xi,yi), B(X2,y2),那么%+6,2rv y2 + 6, (2)4 = -L.22+6,2一得 yi 4= (xn-2)(xi 2)=kPA=IX2=一 ；(xi+2)；一得 Y2 4= (X2+2)

5、(X2 2)=2rkpB=I x2-2=_ ；(X2+2)直线PA与PB的倾斜角互补，/. kpA+kpB= (X1+X2+4)=0n 2X1+X2= -4.一得 yi y2= (xi+X2)(xi-X2),kAB= =XX2kAB= =XX2g(Xl+X2)=2.设直线 AB 为 y=2x+b(b0),代入 y=Lx2+6,得 x2+4x+2b12=0.|AB|=VJ(X +4)2 -, J64 8bb又P(2,4)到直线AB： 2xy+b=O的距离为忑,11 b，Saabc= d|AB|= xx y/5 , J64 - 8b=bV16 2/? = yjb,b,(162Z?) W()3 =

6、V3.当且仅当b=时，Smbc取到最大值史省. 39评注：此题关键是用“点差法”求得kAB,在求Smbc最大值时应注意基本不等式的合理应用。四、求最值条件下的曲线方程例4.椭圆的焦点臼(一3,0)、F2(3,0)且与直线Xy+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.22解法1：设椭圆为+土1=1与直线方程xy+9=0联立并消去y得:(2 a2 9) x2 + 18 a2x + 90 a2a4= 0, 由题设=(18 a2)2-4(2 a2-9) (90 a2-a4) 20a4-54 a2+405 0a245a29. Va2-9 0, Aa245,故 amin=3V,得(2a) min=6 V

7、5 ,22止匕时椭圆方程为+ = 1.45 36解法2：解法2：X设椭圆一7 CT与直线Xy+9=0的公共点为M(acos。a2 9sina),那么 acosa da2 -9sina+9=0 有解.丁 ha2 -9cos + 0)=9=-9-9COS( Q +。)= /， /.I /|729729,2/9 2942245,得(2a) min=6 V5 ,得(2a) min=6 V5 ,此时椭圆的方程二+ 二 = 1. 45 36解法3：先求得Fi(-3, 0)关于直线x-y+9=0的对称点F(-9,6), 设直线F1F2与椭圆的交点为M,那么2a=|MFi|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6V5 ,于是(2a)min=6百，易得a2=45,b2=36,此时椭圆的方程为二+竺=1.45 36评注：此题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于翻开眼 界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线中的最值问题，必须在熟练并准确地掌握圆锥曲线的定义、性质的基础上，灵活运用函 数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，恰当确实立解题方法，此外，解题 过程力争做到思路清晰、推理严密、规范合理、结果准确。