安徽省“皖东县中联盟”2021-2022学年高三上学期理数期末联考试卷.docx

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1、安徽省“皖东县中联盟” 2021-2022学年高三上学期理数期末联考试卷阅卷人得分、单项选择题（共12题；共24分）1 .(2 分)全集 U = R, A = xx 0B. x | x 2C. % I 0 % 2D. % | 0 x 0, b0)的上焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂 线，垂足为P，假设|PF-|OP|2 =。2,那么双曲线C的离心率为()A. V2B. V3C. 2D. 3【答案】B(2分)假设函数/(x) = eX(cosx-a)在区间0,初上单调递减，那么实数a的取值范围是()A. V2 + co) B. 1, +8)C. (1, +8)D. (V2, + 00)【答案】B

2、(2分)定义在R上的函数f(x-2)的图像关于直线x = 2对称，当x 4 0时，/(x) = 2X +2x,假设/(2x-l)/a + 3),那么实数x的取值范围是()A. (一8, 4)B. (4, 4- co)97c. (-00, -1)u(4, +00)D. (-1, 4)【答案】D211.(2分)点A, B在椭圆= + y2 = 1上，点A在第一象限，。为坐标原点，月.04 148.假设 0A8是等腰三角形(点0, A, B按顺时针排列)，那么0A的斜率为()A. 3 +遥或3-遥B.遍+1或遍一 1 C.塔或gD. 2 +6或2-6【答案】A12. (2分)足球运动成为当今世界上开

3、展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育工程 之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛.比赛于2022年11月21日至12月18日在卡 塔尔境内7座城市中的12座球场举行.某足球的外表上有四个点A, B, C, D满足=AD = BD = CD = 二面角4 一 80 - C的大小为咨，那么该足球的体积为()A.乙/A.乙/D.C.乙/【答案】A阅卷人-二、填空题(共4题；共4分)得分(x + y 2,那么目标函数z = 2x + y的最大值为 x-2y /3 2/7F丁 F3mA1 bc-在ZiMBC中，由正弦定理得：翳=前察，即行=时，解得：8C =孥.sine sinz

4、.D/w c72(10分)数列册的前n项和S=噂网，nG N4- 乙(1) (5分)求数列斯的通项公式；(2) (5分)设以=3即+ (-1)广1即，求数列bn的前2n项和.【答案】(I )解：当九=1时,S1 =甘卫=2 = Q,当兀?2时，%=S” 一 Sx =华 1)2/)=)+ , 乙乙当九=1时，上式也成立，所以% = n +1(2)解：bn = 3an + (-l)n-1an = 3n+1 + (-l)n-1(n + 1),设数列%的前2ri项和为Rn，贝1/2八=瓦+力2 +/+久HF 2n-l + 2n=(32 + 2) + (33 - 3) + (34 + 4) 4- (35

5、 - 5) + + (32n + 2n) + (32n+1 - 2n - 1)=(32 + 33 + + 32n+1) + (2 - 3) + (4 5) + + (2n - 2n - 1)32 x(1 - 32n)二 口 n_ 32n+2-2n-9二 218. (10 分)平面向量访=(&cosx- 1, sinx), ri = (V2cosx + 1, 2a/3cosx) 函数/(%)=沆 n.(1) (5分)求函数/(x)的最小正周期和对称轴：(2) (5分)将函数f(x)的图象向左平移等个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到 函数。()的图像，假设函数gO)经过点(仇|tt)

6、,求sin。的值.【答案】(1)解：由题意，平面向量方=(四cosx - 1, sinx), n = (V2cosx 4-1 275cos%),可得函数f (x) = m - n = (V2cosx - l)(V2cosx + 1) + 2V3sinxcosx=2cos2% - 1 + V3sin2x = V3sin2x 4- cos2x = 2sin(2x 4-1)，所以函数/(X)的最小正周期为T = 7T,令2x +5=今+ Att, k G Z,解得义=t+竽，kwZ,即函数/(X)的对称轴的方程为X =工+与，kez o Z(2)解：由(1)知/(X)= 2sin(2x + *,将函

7、数/(%)的图象向左平移专个单位，可得y = 2sin(2x +%，再将y = 2sin(2x +竽)各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到g(x) = 2sin(x +笠)，4-5 =26+nsi 即 85)4-5 =26+nsi 即 85)因为函数g(x)经过点(仇|),可得2sin(6 +等) 又因为ew（T，&），可得e +第eg,竽）,所以cos（e + % = |, 所以 sin。= sin（。+ -） = sin（。+ -）cos cos（6 + -）sin433 1 3 - 4/3= 5X（T）（5）X2=LO19. （10 分）如图，在三棱锥M-4BC中，MB _L平面 ABC,

8、 ACB = 90, MB = 2, AB = 4.(1) (5分)求证：平面MAC1平面MBC；(2) (5分)假设直线AB与平面MBC所成角为45。，点E为AM的中点，求二面角8-CE-4的 正弦值.【答案】(1)证明：在三棱锥M - /WC中，M8_L平面ABC, AC u平面ABC, 所以M8 1AC,又乙ACB = 90。, AC 1 BC,且= MB, 8C u平面 MBC, 所以AC JL平面MBC, 4Cu平面MAC ,所以平面M4C 1平面MBC；(2)解：由(1)知4c，平面MBC,故8c即为直线AB与平面MBC所成角，贝 = 45,故8c =48cos45 = 2& ,以

9、B为坐标原点，在平面ABC内过点B作AB的垂线，作为x轴，BA为y轴，BM为z轴，建立 空间直角坐标系，C那么B(0, 0, 0), C(2, 2, 0), M(0, 0, 2), F(0, 2, 1), 4(0, 4, 0), 故屁=(0, 2, 1), CE = (-2, 0, 1),瓦？ =(0, 2, 一 1), 设平面BCE的法向量为沅=(x, y, z),可取x=l ,那么得平面BCE的一个法向量为沅=(1, -1, 2), 设平面ACE的法向量为诃=(a, b, c),那么广建即2 =*，Gt匹=0 l-2a + c = 0可取q = 1 ,那么得平面ACE的一个法向量为运=(1

10、, 1, 2),故cos网元)=部=高寺.由图知二面角8 - CE-A为钝角，其余弦值为一葭，那么二面角8 -CE- A的正弦值为卓.20. (10分)抛物线。：川=2px(p 0)的焦点为F,点P(4, y0)是抛物线C上一点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为(1) (5分)求抛物线C的方程；(2) (5分)圆M： Q 2)2+y2=4,圆M的一条切线1与抛物线C交于A, B两点，O 为坐标原点，求证：OA, 0B的斜率之差的绝对值为定值.【答案】解：根据题意可列p +与+ 4 = 7 = p = 2故抛物线C的方程为y2 = 4x(2)证明：当直线4B的斜率不存在时，直线的方

11、程为无=4, 4(4, -4), 8(4, 4), k0A = -1, k（）B = 1, |/co4 k（）s = 2.当直线88的斜率存在且不为0时，故设直线A8的方程为y = kx + b,圆M的一条切线1与抛物线C交于A, B两点，故d = 7=1 = 2 = kb = 1 - JM+1设4(马，矽)，BQb，犯)把直线48的方程与抛物线进行联立,J= k2x2 + (2kb - 4)x +庐=0,_ 4-2kb_ b2孙 +，戈人 Xb =m,一力一| b |” J J（%B +- 44冲k0A _ k0B I _ II _ I v VI _ I v v I _ Iv vIXA XB

12、XAXBXAXBXAXB综上所述：。4。8的斜率之差的绝对值为定值为2.(10 分)/(%)=2 + mx, g(x)=2 + mx - mlnx(m E R).(1) (5分)假设函数f(x)在点(1, /(I)处的切线斜率为1,求函数g(x)的单调区间：(2) (5分)力(%) =/(%)-g(%)的两个零点为必,x2(x! x2)且&为九00的唯一极值点， 求证：2%0 0)那么g(X) = % + 2 -1=02+2, (x 0)，令g(x)0,那么6一1,令g(x)VO,那么0cx 0), h(x) = -2x + y = 2,+m (x 0)当 mW 0时，/i(x) 0时，0x

13、0 x 聆时，/(%) 0，所以函数h(x)在(0, 将上递增,在(聆，+8)上递减, 所以= J垓， 又因为九(%) =/(%)-g(x)的两个零点为勺,x2(Xi 0 所以m 2e,八(1)=h(2)= ，即一 xj + rnnx1 = -x22 + mnx2，令”孑，(tl), 人1那么有一xj + mln%1 = t2Xi2 + mint%1，所以勺2=坐匹， t 1要证2& V %1 +工2，即证(t + I)% 72m.即证(t+1)2 粤匹 2m, r-1即证( + l)lnt - 2 + 2 0, 令租() = (t + l)lnt - 2亡 + 2, (t 1),那么/() = ln +亨-2 = ln + l, (t 1),令F(t) = lnt + 1- 1, (t 1),那么/=/=m0, (1)，所以函数F(t)在(1, +8)上递增，所以F(t) 尸(1) = 0,即/(C) 0在t e (1, + 8)上恒成立， 所以函数3()在(1, + 8)上递增,所以 3)W(l) = 0,所以(t + l)lnt 2t + 2 0即 2%o Xi 4- x2.