2022-2023学年苏教版必修第一册 3.3.2 第2课时　一元二次不等式的综合问题 学案.docx

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1、第2课时一元二次不等式的综合问题学习目标1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解元二次不等式的现实 意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题.一、简单的分式不等式问题 -70与(x3)(x+2)X)等价吗？ 0与(x3)(x+2)20等价吗？ 人丁乙Xi Z提示 泊0与。-3)。+2)0等价；&20与3-3)(x+2)20不等价，前者的解集中没有-2,后者的解集中有一2.例I解下列不等式：1 -X、Q际2；X 1仔罚解(1)原不等式可化为。+1)(方-1)0,人I4.X- 一(x+2).X- 一(x+2)x+2力,言0,则 x一2.故原不等式的解集为,很0.不等式:；.二。

2、等价于3+h)(cx+)0,即(l3)(2i+1)v0,所以一卜12,s 乙=0.053+0.005/10.分别求解,得x甲V40或x甲30,% 乙v一50 或 x 乙40.由于 a0,从而得 x 甲30km/h, x 乙40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.工拓广探究.在R上定义运算4*6=3+1)仇 若存在使不等式(加一x)*(?+x)v4成立，则实 数?的取值范围为.答案(-3,2)解析存在xWl,2,使不等式(加一)*(?+x)v4成立，存在xl,2,使不等式(m x+ l)X(? +x)v4成立，工存在1,2,使不等式x2x+4产+?成立，VxGl,2,函数y=fx+4的

3、最大值为222+4=6.:.6m2+?，:. 3m2.16.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障 碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报瞥距离时就开启报警提醒， 等于危险距离时就自动刹车.某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间 小人的反应时间外、系统反应时间以制动时间外相应的距离分别为4),小,小，内,当 车速为。(米/秒)，且0WvW33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数上随地面湿滑程 度等路面情况而变化，且0.54ZW0.9).报警距离报警距离:一-危险距离TI II阶段0推备I.人的反应2.系统反应3

4、.制动时间to力=0.8秒/2=。.2 秒h距离面=20米ddi必=捻米(I)请写出报警距离d(米)与车速。(米/秒)之间的函数关系式；并求攵=0.9时，若汽车达到报警 距离，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限 制在多少米/秒以下？合多少千米/时？解(1)根据题意，得 d=do+di+d2+d3=20+0.8o+0.2r+诋=20+。+诋，所以所求函数关系式为1=20+。+为，0WoW33.3.ZAjK当*=0.9时,4=+1 +品旃=3+的+12部毛+1 =*/秒)，当且仅当=360,即。时等号

5、成立，所以汽车撞上固定障碍物的最短时间是当叵秒.(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则路况最糟糕时也需满足，即&=0.5 时，J=20+p+,nvn ,80,ZU 入 U.J即l(h76000,解得()W20.20米/秒=72千米/时，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/时.反思感悟分式不等式的解法（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但 要注意等价变形，保证分母不为零.（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为 不等号右边为零，然后再用上述方法求解.跟踪训练1

6、解下列不等式：x+ I、5x4-1(旧2干0, .#3.解这个不等式组，可得入W1或Q3.即知原不等式的解集为4iW l或x3. A-A- 1.5x+1. 5x+1(2)不等式7 3可改写为i卜 30,2d)x+10.可将这个不等式转化成2（尤一 1）。+1）0, 解得一1 x 1.所以原不等式的解集为 二、简单的一元二次不等式恒成立问题例2对 R,不等式10,求m的取值范围.解 若机=0,显然一10恒成立；m0t若 ?wo,典J/=P+4?vO今解得一4v70.综上，的取值范围为m|40,若存在，求7的取值范 围：若不存在，说明理由.解显然/”=0时不等式不成立；由题意可得由题意可得心0,/

7、=户+4用o反思感悟一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与X轴的交点问题，考虑X2的系数和对应方程的判别式的符号 这两个方面.(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这 个最值.跟踪训练2若关于x的不等式(4l)f + (&-l)x10恒成立，则实数k的取值范围是答案用一 34W1k 10,解析 当攵=1时，-10恒成立；当时，由题意得、八(itl)2+4(Ar1)0,解得一3A0)个百分点，预测收购量可增加2v个百分点.(1)写出降税后税收六万元)与x的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%,试

8、确定工的取值范围.解(1)降低税率后的税率为(10幻,农产品的收购量为。(1+21%)万担，收购总金额为200(1+2x%)万元.依题意得 y=200。(1 + 2a-%)(10-x)%=坊(100+2x)(10-x)(X.v 20。X83.2%, JU化简得/+40X一840,解得一42WxW2.又因为04V10,所以(KiW2.即x的取值范围为x0xW2.反思感悟利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；(2)由题目中绐出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)：(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案.跟踪训练3某农家院有客房20间，

9、日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院 欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房口租金每增加10元，客房出租数就会减少 1间.每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800 7E,该农家 院每间客房日租金提高的空间有多大？解 设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金梃高到(80+10#元，则客房出租 数减少工间，此时客房的租金总收入为(80+1。(20工)元.因为每天客房的租金总收入不低 于 1800 元，所以(80+10x)(20x) 1800.化简，得炉一l+20W0.解得2Wx10,所以20Wl(lrW100.又由题意可知80+10xW130

10、,所以10xW50.因此，该农家院每间客房日 租金提高的空间是2()50元.-课堂小结-.知识清单：(1)简单的分式不等式的解法.(2)一元二次不等式的恒成立问题.(3)一元二次不等式在现实生活中的应用.1 .方法归纳：等价变形转化、恒等变形.2 .常见误区：(1)解分式不等式的等价变形.(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义.随堂演练.不等式 =20的解集为() 1 Xa.(-1,1b. r-ij)C. -1,1D. (-M)答案B解析原不等式O解析原不等式O(x+1)(xl)W0,L1W0,1.1 .不等式中25的解集是答案卜-解析原不等式合r4-14 I,一一5200里W

11、OOx(4xl)W0,ibo,解得F.不等式/+依+44或44解析炉+纨+40,解得。4 或。一4.4.某商品在最近30天内的价格与时间/(单位：天)的关系式是9=T+10(X/W30, fN)； 销售量”与时间/的关系式是”=一/+35()430, /N),则使这种商品日销售金额z不小 于500元的t的取值范围为.答案/|10WrW15, rN)解析 z=+10)(一什35),依题意有0+10)(，+35)2500,解得 I0W/WI5,，N,所以解 集为巾0W/W15, N).课时对点练n基础巩固.不等式FW0的解集是() 人I 1A. 小一1 或一14W2川一 1kW2B. 小一1 或

12、x22x2时用D/x1玉答案B解析 不等式”21,移项得一120, 2x2x为 化 可 O, w 3-4 2X - X 即为 化 可 O, w 3-4 2X - X 即x2W0,则原不等式的解集为3.若关于大的不等式ar-o的解集为,则关于工的不等式空用0的解集为（A.A.xx 或 A2B.xx2 或 A 1 D. x|-lv0 的解集为xx 1,0,心+力X2抬+1)x20,等价为。+1）。-2）0.x2 或 4v 1.4 .关于x的不等式区26日+A+8W0的解集为空集，则实数A的取值范围是（）A. OWkvlB. 04W1C.心1 或 k0D. kWO答案A解析 由题意得不等式丘2-6日

13、+2+8W0的解集为空集，则当=0时，8W0不成立，因此，2=0满足题意.当2#。时，必有，Q0,4 = 3622软优+8)l.8 .某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份 销售额比六月份递增X%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月 份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是. 答案20解析 由已知，3860+500+500( 1+.v%)+500(I + j%)2X227000,化简得Cv%)2+3x%0.6420,解得320.2,或3.2(舍去),所以4220,即x的最小值为20.9 .已知

14、关于X的不等式x22xla(a R).(1)若。=1,求不等式x22a 的解集：(2)若不等式炉一2x的解集为R，求实数。的取值范围.解(1)当4=1时，不等式X2 -2%1，即 X22x11,可得。一 1尸一 30,即(工一1一小)(工一1+小)0,解得工 1 +小.即不等式的解集为(-8, 1一小)u(i+，5, +).(2)因为不等式x2-2.x-a的解集为R,所以f2r 1 0恒成立，则函数丁=/-2x1一的图象恒在x轴上方，与x轴无交点，从而一元二次方程/2%1 一。=0无实数根，/=224X(-14 0,解得a2.即实数。的取值范围为(一8, -2).10.某汽车厂上年度生产汽车的

15、投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为 10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入 成本增加的比例为x(0rvl),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比 例为0.6.r,已知年利润=(出厂价一投入成本)X年销售量.(|)写出本年度预计的年利润)，与投入成本增加的比例的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)由题意得 y = 12( 1 + 0.75x) 10( 1 +.r) X 10000 X (1 +0.6.r)(0v 1),整理得)，=一6000.V2

16、 +2000x+20000(0x-(12-10)X100000,0.v0, 即Owl,所以投入成本增加的比例x应在(0, 9的范围内.n综合运用11.不等式11.不等式Q-2)2(x3)x+10的解集为（）A. x|1a2 或 2xv3C. x|2x3答案A（x-3）（x+l）0, 解析原不等式等价于t+1N0，.一2）2#0,解得一且 W2.12.设集合P=m lm0）， Q mE Rmx2+Anix40对任意实数x恒成立,则下列关 系式中成立的是（）A.尸。B. Q岔PC. P=QD. PGQ=Q答案A解析 集合。中，当?=0时，-40对任意实数恒成立；当时，由?小+4/内-40对任意实数xER恒成立可得，-40对任意实数xER恒成立可得，70,/= 16M+解得一1小0,综上所述，。=对- 1V/WO,所以0Q.13.函数=0?+/状+（：3/0）的图象如图所示，则不等式ar2+/?x+c0的解集是不等式竺芋0的解集是.cx+a答案M1 x2 一 解析 由题图直接可得不等式ad+法+co的解集为刈XV2； 1和2是a?+Z?x+c=O的两个根，b c所以一片且2,