2022-2023学年苏教版必修第一册 1.1 集合的概念与表示 学案.docx

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1、第1章集合1.1集合的概念与表示学习目标I.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号 并会应用.2.理解集合中元素的基本属性.3.初步掌握集合的两种表示方法列举法、描述法, 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.4.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念. 导语在体育课上，体育老师常说的一句话就是“集合”，这个时候，同学们从四面八方集合到一 起，而这个集合是一个动词，在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中, 我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一 步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子.一、集合

2、的相关概念问题I看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？(1)110之间的所有偶数;(2)立德中学今年入学的全体高一学生；(3)所有正方形；(4)到直线I的距离等于定长d的所有点；(5)方程.F3x+2=0的所有实数根；地球上的四大洋.提示以.上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，而且每个例子中的研究对 象都是确定的、互不相同的.知识梳理.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合,通常用大写拉 丁字母来表示集合.元素：集合中的母二念对遂称为该集合的元素，简称元一通常用生”拉丁字母来表示.1 .常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

3、记法NN或 N+ZQR问题2如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 提示是男生就去，不是男生就不去.9 .已知集合A含有两个元素1和标，若。4求实数。的值.解由题意可知，4=1或标=%(1)若。=1,则屏=,这与a2rl相矛盾,故aXl.(2)若标=，则a=0或=1(舍去)，又当。=0时，4中含有元素1和0,满足集合中元素的 互异性，符合题意.综上可知，实数的值为0.10 .用适当的方法表示下列集合：(1)方程 x(a2+2x+1)=0 的解集；(2)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；不等式工一26的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；2

4、x+y=3,方程组；,的解集.x2y=4解(1)0, -1.(2)小=22+1,且48.(4)1, 2, 3, 4, 5, 6.(5)解集用描述法表示为3+)，= 3仲，y)一4plx2y4解集用列举法表示为(2, -1).n综合运用.由大于一3且小于11的偶数所组成的集合是()A. x|-3xll, xGZ)x|-3xllB. x|3vl 1, x=2kx|-3x=3伏+/) + 3, k, ZeZ.当&+/=2p(pZ)时，a+6=6+3M,此时存在使成立；当 k+/=2p+1(Z)时，a+/?=6p+6庄M,此时不存在机M,使a+b=m成立.故对于任意bWB,不一定存在/Vf,使+=/.

5、3.元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与 集合的 关系属于如果4是集合的元素,就说。属于集合4a属于A不属于如果a不是集合4的元素,就 说。不属于集合A展A或aAa不属于A元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写.例1 （1）下列对象能组成集合的是（）A.g的所有近似值B.某个班级中学习好的所有同学C. 2022年高考数学试卷中所有难题D.北京冬奥会的全体运动员答案D解析 D中的对象都是确定的，而且是不同的.A中的“近似值”，B中的“学习好”，C 中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A, B, C都不能构成集合.（2）（多选）下列选项中，正确的是（）A. 2QB. |-

6、3|NC. |-3|ezD. 0N答案ABC解析 根据元素与集合的关系得2Q, A正确；|-3|=3GN, B 正确;|-3|=3GZ, C 正确；0N, D 错误.反思感悟（1）判断一组对象能构成集合的条件是，能找到一个明确的标准，使得对于任何一 个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.（2）判断元素和集合关系的两种方法直接法：集合中的元素是直接给出的.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特 征即可.跟踪训练1 （1）（多选）下列说法正确的有工）A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合B.正方体的全体构成一个集合C.未来世界的高科技产品构成个集合D.不大于

7、3的所有自然数构成一个集合答案BD解析在A中，花坛上色彩艳丽的花朵不能构成一个集合，故A错误；在B中，正方体的 全体能构成一个集合，故B正确；在C中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故C 错误；在D中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故D正确.(2)设集合M是由不小于2小的数组成的集合，。=仃，则下列关系中正确的是()A. aGMB.烝MC. a=MD. aWM答案B解析,:小2邓,二、集合元素基本属性的应用知识梳理集合元素的基本属性(1)确定性：集合的元素必须是确定的.(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.注意点：集合中

8、的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关.例2已知集合A是由a2,加2+5，|2三个元素组成的，且一3人 求实数外解由一3八，可得一3=-2 或一3 = 2/+5， a= 或 a=|.当4= 1时，42=-3, %尸+5=一3,不符合集合中元素的互异性，故。=一1应舍去.373当4=5时，42=5，2a2+5= 3,符合集合中元素的互异性，a=-延伸探究 在本例中，若集合4中的三个元素换为-3, 2a-1, a2-4,其余不变，求实数 a的值.解 若。一3= 3,则。=0,此时A中的元素为一3, I, -4,满足题意.若加一1 = 一3,则4=一1,此时A中的元

9、素为一4, 3, 3,不满足元素的互异性.若*一4=-3,则=1.当。=1时，A中的元素为一2, 1, 3,满足题意；当。=1时，由知不符合题意.综上可知，4 = 0或4=1.反思感悟 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(I)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异 性对求得的参数值进行检验.(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.跟踪训练2设集合人中含有三个元素3, x,好一2工求实数x应满足的条件；(2)若一2EA,求实数x的值.解(1)由集合中元素的互异性可知，且 xWx22x, x22m#3.解得 xW

10、1 且 4W0, xW3.(2).-2WA,%=一2或9一公=一2.由于 x22x=(x1)21 21, .x=-2.三、集合的表示问题3用人表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能 把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？提示 这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有 男生的学号一一写出.知识梳理列举法：将集合的元素一一列举一来,并置于花括号“ ”内的表示集合的方法叫做到 举法.注意点：(1)集合中的元素之间用逗号分隔，元素不重复，元素无顺序.(2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“”括起来即可；元素个数较多且有明显规律， 可用列举法，

11、但必须把规律显示清楚，然后加省略号.问题4你能用列举法表示不等式工一73的解集吗？提示 不等式x73的解是x10,因为满足x10的实数有无数个，所以工一73的解集无 法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即X是实数，且x10,把解 集表示为小10, xR.问题5仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示偶数集吗？提示xx=2k, kSZ.知识梳理.描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成母必!的形式，这 样表示集合的方法称为描述法.注意点：(1)用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合 的特征性质.(2)从上下文的关系来

12、看，若元素的取值(或变化)范围是明确的，则可省略不写.1 .为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示个集合，称为Venn图.2 .集合的分类按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集.(1)一般地，含有有限个元素的集合称为有限集.(2) 般地，含有无限个元素的集合称为无限集.不含任何元素的集合称为空集，记作0.4.集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元 素)，那么称这两个集合相等.例3 (1)用恰当的方法表示下列给定的集合：不大于10的非负偶数组成的集合A；方程炉一23=0的实数根组成的集合C：方程组的解集D；xy=2不

13、等式2x-3l的解组成的集合A；被3除余2的正整数的集合仪平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合。.解不大于10的非负偶数有0, 2, 4, 6, 8, 10,所以 A=0, 2, 4, 6, 8, 10).方程f2x3=0的实数根为一1, 3,所以。=-1, 3.v -4- 4r A方程组 ;的解为 xy=2y= 1.所以方程组的解集。=(3, 1).不等式标一31的解组成的集合为A,则集合A中的元素是数，设代表元素为x,则x满 足 2x-3l,则 A=M2r-3l,即 A=Mx0,故第二象限 内的点的集合为。=(x, y)x0.，y的值为.(2)设集合A=x,田，8= 0,炉，若A, 8

14、相等，则实数x的值为.答案I 0解析 因为集合A, B相等，则4=0或y=0.当x=。时，f=0,不满足集合中元素的互异性，故舍去；当y=0时，解得x=0或x=l,由知x=0应舍去，故x=l.综上可知，x=y y =0.反思感悟(1)用列举法表示集合的注意点把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次.这里“ ”已包含所有的意思，不能出现“全体” “所有”等.(2)利用描述法表示集合的注意点写清楚该集合代表元素的符号.所有描述的内容都要写在花括号内.(3)一个集合可以用不同的方法表示.若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，要注意其 中的元素不一定按顺序对应相等，应注意检验元素是否满足互异性.跟

15、踪训练3 (1)用列举法或描述法表示下列集合.由所有小于1()的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；A=(x, ,y)|x+y=3,)，N；比1大又比10小的实数组成的集合；不等式3x+422x的所有解；直线y=x上的点的集合.解满足条件的数有3, 5, 7,所以所求集合为3, 5, 7.因为 xN, yN, x+y=3,所以所以x=0, c 或 b=3x=, c 或U=2x=2.x=3, y=o.0).故人=(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 可以表示成xlr=().(2)设 a, Z?R,集合1, a+b, a=(),b,则 Z?a=.答案2解析由题意可知。六0,则。+

16、。=0, $=-1，*.a= , b= I, :.b-a=2.-课堂小结-.知识清单：(I)集合的概念、元素与集合的关系.(2)集合中元素的特性及应用.(3)用列举法和描述法表示集合.1 .方法归纳：分类讨论、等价转化.2 .常见误区：忽视集合中元素的互异性；忽视点集与数集的区别.N随堂演练1.(多选)下列各组对象能构成集合的有()A.接近于1的所有正整数B.小于0的实数C.点(2022, 1)与点(1, 2022)D.某班级里身高较高的学生答案BC解析 A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明 确的标准，能构成集合；C中，(2022, 1)与(1, 2022

17、)是两个不同的点，是确定的，能构成集 合；D中，某班级里身高较高的学生不能构成一个集合.2.已知集合A中的元素x满足xlV小，则下列各式正确的是()A. 3sA 且一3GAB. 3WA 且一3仁4C. 3qA 且一34AD. 34A 且一3A答案D解析 3 1=2k/5,34.又一31 = 一45,，一34.集合.很一32, xN.的另一种表示法是()A. (), I, 2, 3, 4B. 1, 2, 3, 4)C. 0, I, 2, 3, 4, 5D. 1, 2, 3, 4, 5答案B解析 .“一32, xN, A.r1,故A错；-201,故B错；I不小于1,故C错；一2一红1,故D正确.4

18、 .若以集合A的四个元素a, b, c, d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形答案A解析 由于a, b, c, d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等，则这个 四边形可能是梯形.5 .用列举法表示集合中2您+1=0为()A. 1, 1B. 1C. x=lD. x2-2.r+l=0答案B解析 方程好一法+1=0有两个相等的实数根1,根据集合元素的互异性知B正确.6.(多选)下列说法中不正确的是()A. 0与0表示同一个集合B.集合M=3, 4与=(3, 4)表示同一个集合C.方程(X1)2a2)=0的所有解的集合可表示为(1, 1,

19、2D.集合34x5不能用列举法表示答案ABC解析对于A, 0是一个元素(数)，而0是一个集合，可得00,所以A不正确；对于B,集合M=3, 4表示数3, 4构成的集合，集合N=(3, 4)表示点集，所以B不正 确；对于C,根据集合元素的互异性，可得方程a-l)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为1, 2, 所以C不正确；对于D,集合*|4今5含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.7 .设由2, 4, 6构成的集合为4,若实数时，6EA,则.答案2或4解析 代入验证，若。=2,则62=4A,符合题意；若。=4,则64 = 24 符合题意;若。=6,则66=0A,不符合题意，舍去.所以。=2或。=4.8 .若集合卜，今1与集合心a+b, 0相等，则产22+谬2的值为.答案1解析由已知可得。工0,因为两集合相等，所以有2)，或,所以b=0, a= 1b=0, （舍）或经检验，。=-1,=()满足条件, 所以屋22 +於3=1.