人教A版新教材必修第一册《5.4.2 第2课时 单调性与最值》教案（定稿）.docx

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1、第2课时单调性与最值【学习目标】1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的 单调性进而研究在整个定义域上的性质2能够利用函数的单调性解决比拟函数值的大小以及 求函数的最值、值域等问题.【导语】同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函 数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲 线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究 的问题.一、正弦函数、余弦函数的单调性7T 37r问题你能作出正弦函数y=sinx,爹，工|的函数图象吗？提示【知识梳理】1 .正弦

2、函数的单调性在每一个闭区间2E/，2也+，仅Z)上都单调递增,其值从一1增大到1;在每一个闭区 间2E+多2而+乎依Z)上都单调递减,其值从1减小到一1.2 .余弦函数的单调性在每一个闭区间2E兀,2析(攵Z)上都单邈缠,其值从一1增大到1；在每一个闭区间2E, 2E+兀(ZZ)上都单调递减,其值从1减小到一1.注意点：正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限.正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间.(3)利用单调性，可以比拟同一个单调区间内的同名二角函数值的大小.二、利用单调性比拟大小例1利用三角函数的单调性，比拟以下各组数的大小.,八15兀14兀(l)cos cos

3、/（X）= C0s（7u+ji13由 2攵兀71%+42析+兀，kRZ,得 2攵r2Z+加 kGZ,1）的单调递减区间为3T 2%+方正Z.9 .函数J（x） = 2cos（3x+）.求/U）的单调递增区间；求./U）的最小值及取得最小值时相应的%值.JT解(1)令 2E7iW3x+aW2E(ZZ),名日2E 5兀 2E 兀“二1、 斛仔亍一五 WxW 亍一五（攵 Z）.JU）的单调递增区间为2ht 5兀亍苻2ht 5兀亍苻2次兀 兀Tn_/Z).7T当3%+=2阮一兀(A&Z),0 Uqr 5万即=等含（攵Z）时，/U）取得最小值一2.10 .设函数x）=Wsin（2x3，xR.求函数4r）

4、的最小正周期和单调递增区间；7T 3 71求函数段）在区间U 篇|上的最小值和最大值，并求出取最值时X的值.27TJT7TJT7T37r解 （1）最小正周期7=亏=兀，由2攵兀一5忘2工一彳W2攵兀+5（攵2）,得攵兀一（攵Z）, ZZ4Zooir37r所以函数x）的单调递增区间是EaE+至（ZZ）.（2）令T,那么由聂xW当可得0WW基 4-04-4所以当1=苧,即X=竽时，为血=也义（一与=1,当 /=5，即 =玉时，ymax=JX 4OR综合运用1 1 .使COS X= 1 一加有意义的2的取值范围为（）A. mOB. 04后2- 1 m 1C. 21答案B解析因为一KcosxWl,所以

5、一1W1一20）在区间0,可上单调递增，在匕，上单调递减，那么的值为（）243A. 2 B.t C.T D.t*-Z答案D解析解析尸方时，函数於）取得最大值，那么sin詈=1,所以等1T= 2E+5(ZZ),所以 g = 6A33kZ,又0,结合选项符合题意.乙乙13.在ABC中，角4 8均为锐角，且cosAsin3,贝lj( )A. cos C0B.cos C0C. cos C=0D.cos CNO答案B解析因为角A, 3均为锐角，所以 0A$ 0?Bsin B=cos AcosB =AA +COt:9JT而。为三角形的内角，所以5C兀，因此cosC0）在区间（*,上单调递增，那么的取值范围

6、是答案（0, I解析 函数危尸sin（s+%0）在区间（一去 方上单调递增，TICOTICO6I兀I兀兀,兀I 3I 30）在区间（一去 方上单调递增,71V co0902，因此，的取值范围是（0, 1sin x, sin x2cos x,15.对于函数八次）=以下说法中正确的选项是（）cos x, sin xcos 尤,A.该函数的值域是1,1TTB.当且仅当尸2瓦+软2）时，函数取得最大值17TC.当且仅当X=2E5（ZZ）时，函数取得最小值一13jrD.当且仅当 2E+兀x2匕t+3（ZZ）时，x）0答案D解析 画出函数r）的图象如图中实线局部所示，由图象容易看出，该函数的值域是乎，1

7、;当且仅当x=2E+/, kZ或x=2E, 时，函数取得最大值1;当且仅当x=2E+苧，攵Z时，函数取得最小值一号；当且仅当2攵兀+兀42攵兀+斗，左Z时，/（x）sin(Q)=cos ,且 sin a(O,1), cos (0,1), 所以 /(sin a)次cos 0).(2)cos 1, sin 1 ；(3)sin 164。与 cos 110./八 15兀 兀 (1)COS -g-=COS g,14兀4兀cos _g-=cos 豆,因为0方与cos,又0与一11与，且尸sinx在0, ?上单调递增, 所以 sin(gl)sin 1,即 cos lsin 1.(3)sin 164=sin(

8、180o-16)=sin 16,cos 110=cos(90o + 20)= -sin 20.jr jr因为尸sinx在一1上单调递增,所以一sin 200sin 16,即 cos 1100sin 164.反思感悟比拟三角函数值大小的步骤异名函数化为同名函数.(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上.(3)利用函数的单调性比拟大小.跟踪训练1 (1)以下关系式中正确的选项是()sin ll0sin 1680cos 10A. sin 1680sin ll0cos 10sin ll0cos 100sin 168B. sin 1680cos 100sin 11答案A解析 因为 sin 168 =

9、sin 120, cos 10 = sin 80,所以只需比拟 sin 11。, sin 12, sin 80。的大小.小.因为j=sin x,令上单调递增,所以 sin ll0sin 120sin 80,SP sin ll0sin 1680cos 10.a,夕为锐角三角形的两个内角，那么以下结论正确的选项是()A. sin asin夕B. cos asinpC. cos cosp答案B解析因为G,4是锐角三角形的两个内角，故有。+价与所以归一件“0）的函数的单调区间时，应 采用“换元法”整体代换，将“x+，看作一个整体z,即通过求y=Asinz的单调区间 而求出原函数的单调区间.求形如y=A

10、cos（0x+9）（其中4 ，（P为常数，且AWO, co0） 的函数的单调区间时，同上.跟踪训练2 函数y=sin（聿一，xe 0,2tt的单调递减区间为.八 2兀5兀 八答案，司|，|_T, 271解析 =sin（7xj= sinfxTiJl令-+2Et-号/2E, kZ,解得一华+2E, &Z,又0,2兀,-2兀r 5兀原函数的单调递减区间为o, yj, h，2兀 （2）求函数y=2cos（2x一看）的单调区间.JT解 令 2E7iW2x4max = 3, X=5+2E(%eZ)D.max = 3, X=5+2Z 兀(Z)答案cTT解析Vj=2 sin x,，当 sin x= - 1 时

11、，max = 3,此时 x= -5+2E(%Z).3 .函数/U） = 2sin（x聿）在区间会方上的最大值为（A. -2 B. 1 C小 D. 2答案C7T 7T 1 7C 7C 7T解析当?2时，x6e不3，所以1 W2sin所以1 W2sinjr解析 令2EW2x兀+24兀( Z),TT5兀得石+攵兀 Wxkit(k Z),oo即於）=隹os（2x-彳）即於）=隹os（2x-彳）Ti57r的单调递减区间是g+E,9+E （ZZ）.课时对点练彳基础巩.以下命题中正确的选项是（）A. y=cosx在第一象限和第四象限内单调递减y=sinx在第一象限和第三象限内单调递增TT 7Ty=cosx在

12、一5，5上单调递减IT，7上单调递增答案D解析 对于y=cosx,该函数的单调递减区间为2E,兀+2E, kj 故A错误，C错误;TVTT对于y=sinx,该函数的单调递增区间为一+2E,2+2E , kZ,故B错误，D正确.A. -2,2C. -2,0B. 0,2D. -1,1答案A解析 因为 sin3x+)e1,1,所以y2,2.JT13. 0x4” 是 “sinxCI” 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案Ajr1解析 因为当OVxK时，有sinxVj，所以充分性满足；一11Tl771反之，假设sinxV,取sinx=那么x= %+2E（女

13、Z）或工=d+2攵兀（攵2）,都不在 内，故必要性不满足.JT1所以“OVxsinB - cos 400cos（50。）C. sin 3sin 2n .8兀7兀D. sin ttcos答案BD解析y=sinx在 甘,（J上单调递增,又一方一名.A不成立;cos 400 = cos 40cos 50=cos（50）,故 B 成立;兀）上单调递减,兀）上单调递减,兀又5V2V3V兀,/.sin 2sin 3,故 C 不成立;.8兀.兀sin = sin y,*/0y,且=$抽不在o,5上单调递增. sin故D成立.7i . 3ti . . 8兀7兀ycos 3,7 .函数y=cosx在区间一兀，可上单调递增，那么。的取值范围是.答案（一兀，0解析 因为y=cos X在兀，0上单调递增，在0,兀上单调递减，所以只有一7raW0时满 足条件，故。（一兀，0.8 .函数fix） = cos Rx+f）的局部图象如下图，那么式x）的单调递减区间为答案2攵+，kZ解析由图象知，周期7=2；） = 2, Q?=兀.co