人教A版新教材必修第一册《5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性》教案（定稿）.docx

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1、正弦函数、余弦函数的性质第1课时E3期性与奇偶性【学习目标】1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期2会根据之前所学结 合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.【导语】同学们，在生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为 证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中， 我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从 角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有 了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性

2、质.一、正弦函数、余弦函数的周期问题1正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？提示 能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律.我们可以从两个 方面来验证这种特点：函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画 出0,2汨上的函数图象，然后每次向左（右）平移2ti个单位长度得到整个定义域上的函数图 象.诱导公式一，sin（a+2E） = sin a, cos（a+2for） = cosa,对任意的kZ都成立.【知识梳理】.函数的周期性一般地，设函数7U）的定义域为Q,如果存在一个非零常数T,使得对每一个XEQ都有x+ TUD,且心+T）=/U）,那么函数x）就叫做周期函

3、数.非零常数叫做这个函数的周期.1 .最小正周期如果在周期函数/U）的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做人犬）的最小 正周期.2 .正弦函数是周期函数,2也（2Z且ZW0）都是它的周期，最小正周期是2兀.余弦函数是周期函数,2E（ZZ且攵W0）都是它的周期，最小正周期是2兀注意点：关键词“每一个x”表达了对定义域中每一个值都得成立.（2）周期函数的周期不唯一，任何7的非零整数倍都是函数的周期.三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性 质即可.假设不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期.B. 6A. 3C. 12D

4、. 24答案B解析 因为函数段） = cos（s+%;0）的相邻两个零点之间的距离为名 所以r=2X3T由2号，解得g=6. co 5.那么“函数於尸sin（2x+。）为偶函数”是“。专+2E,止Z的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案BJT解析 当/（x） = sin（2x+e）为偶函数时，。=5+攵兀，ZrZ；jr当。=5+2E,后ez 时,/U) = sin/U) = sin= cos 2x为偶函数;综上，函数段） = sin（2x+。）为偶函数”是“夕=空+2析，MZ”的必要不充分条件.、sinx, 0，.7/U)的周期为6,：.j2 02

5、3)=7(6X337+1)=*)=，n拓广探究15.函数应x) = sinGx在o,中上恰有4个零点，那么正整数的值为()A. 2 或 3B. 3 或 4C.4或5D. 5或6答案c解析 因为函数兀x) = sin/x在。，, 上恰有4个零点，所以舞W竽(2) = cos-= /(3)=cos 7i= 1, /(4) = cosy(5)=cos 3火6)=cos 2兀=1,所以犬1)+汽2)+X3)+/(4)+火 5)+次 6)=0, 即每连续六项的和均为0.所以 /(1) +12) +次3) + +/(2 023)=/(2 023)=/(1 )=cos ?=1例1求以下三角函数的周期:(l)

6、y=7sinx, xR；(2)y=sin2x, xR； (3)y=sin(jxxeR；(4)y=|cosx|, xR.解(1)因为7sin(x+2兀) = 7sinx,由周期函数的定义知，y=7sinx的周期为2兀.(2)因为sin 2(x+7t) = sin(2x+2?r) = sin 2x,由周期函数的定义知，y=sin 2x的周期为兀 n兀1(3)因为 sin(x+6兀)一a= sin&+2兀一g = sin&-/),由周期函数的定义知，y=singx京)的周期为6TL(4)y=|cos x|的图象如图(实线局部)所示.37T211 一9由图象可知,y=|cosx|的周期为兀反思感悟求三

7、角函数周期的方法(1)定义法：利用周期函数的定义求解.(2)公式法：对形如丁=人皿5：+9)或y=Acos(x+)(A, co, 9是常数，AWO, gWO)的函数,(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可.跟踪训练1求以下三角函数的最小正周期：(l)=|sinx|； (2)y=cos 4x； (3)y=3sinjx+?(4)y=2cos(2xf.解 (1)由 y=|sin x|,= |sin(x+7i)| = |sinx =fix),得x) = |sinx|的最小正周期为兀(或通过图象判断).(2y=cos4x, T=2(3)由 y=3sin(；x+：), T=2兀 2兀=j=47r

8、.2兀 了=兀二、正弦函数、余弦函数的奇偶性问题2继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点? 提示 正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称. 【知识梳理】正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.例2判断以下函数的奇偶性.(4)由 y=2cos(2x司，丁=肃(2 次r) |sin x|+cos x；(3)f(x) =jrcos(x+j.解(l)x) = sin3 c=-cos4x, xR.因为都有一xR,又八一x)= cos=cos$=/(x)，所以函数r) = sinCx+要)是偶函数.(2)函数y(x) = |sinx|+cosx的定义域为R, 因为VxR,都有一x

9、R,X Xx) = |sin( x)|+cos(x)=|sin x| + cos x=/(x),所以函数於) = |sin x| + cosx是偶函数.(3求工)=%2cos+，= fsin%, xER,因为都有一又 八一x)= (x)2sin(nfsin x= fix),所以函数於)=f cos(x+?)为奇函数.反思感悟判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看“X)与八一X)的关系.(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原那么.跟踪训练2判断以下函数的奇偶性.(1

10、 )J(x) = sin xcos x； (2)/(x) =y/1 cos x+yj cos x-1.解(1)函数的定义域为R,关于原点对称.犬x) = sin(x)cos(x)=sin xcos x= fix),/./(x) = sin xcos x 为奇函数.1cosxO,由彳得cosx=l,cos x 1 NO,函数的定义域为x|x=2E, kGZ),定义域关于原点对称.当 cosx= 1 时，/(x) = 0, /(x) = /(X)./U) =N 1 cos x+dcos X 1既是奇函数又是偶函数.三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用问题3知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的

11、图象和性质有什么帮助?提示 通过研究一个周期内的函数图象和性质，可推导出整个函数具有的性质.例3定义在R上的函数式犬)既是偶函数，又是周期函数，假设x)的最小正周期为兀，且当0,并寸，x) = sinx,那么引等于()A _1 B1 c _亚 D 立答案D解析/闺=/管j=/(为可停一j延伸探究.在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，那么引的值为答案-坐解析/闺=/管-兀)=/停)=/管-j.假设本例中条件变为定义在R上的函数/U)既是偶函数，又是周期函数，/(%+$=一人光), /住)=1,那么/闺的值为.答案1反思感悟 三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期

12、，常用方法是公式法，即将函数化为y=Asin(ox+9)或y=Acos(s+ 9)(其中A,，夕是常数，且AWO, m0)的形式，再利用公式求解.判断函数y=Asin(s+w)或y=Acos(x+g)(其中A, co9夕是常数,且AWO,0)是否具 备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asin gx(AWO,0)或y=Acos gx(AWO, 加0)其中的一个.(s3(WO),那么於)是(填“奇函数”或“偶函数”),跟踪训练3函数於)=：sin 假设/U)的周期为兀，那么切=答案偶函数2解析/x)=|sinkox-15cos cox.7/(x)= 5C0S( Ct)X)= -5C0S

13、 COXfix),工火X)为偶函数,又 T=ti, |g| =兀,* co = i2.课堂小结-.知识清单：(1)周期函数的概念，三角函数的周期.(2)三角函数的奇偶性.(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用.1 .方法归纳：定义法、公式法、数形结合.2 .常见误区：函数y=Asin(工+)或y=Acos(x+e)(其中A, co, 9是常数，且AWO,W0)2兀的周期为7=消.随堂演练.函数r) = sin(x)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案A解析由于xR,且 Rx） = sin x= sin（x） = fix）, 所以./U）为奇函数.1 .

14、以下函数中，周期为空的是（）A. y=sin C y=cos aB. y=sin C y=cos aC. y=sin2xD. y=cos(4x)答案D角星析 y = cos( 4x) = cos 4x.2兀 兀T=2,3.设函数/（x） = sin（2x一切 xR,A.最小正周期为兀的奇函数B.最小正周期为兀的偶函数那么於）是（）C.最小正周期为?的奇函数D.最小正周期为空的偶函数D.最小正周期为空的偶函数cos 2x, xR,又 r=3 = 7T, 且一九)=-cos( 2尤)=cos 2x=/(x),又 r=3 = 7T, 且一九)=-cos( 2尤)=cos 2x=/(x),.7/U）是

15、最小正周期为兀的偶函数.4.於）为奇函数，且周期为冬假设陪）=一1，那么心!答案137r解析 VT=y,又./U）为奇函数，=_/图=_(-1)=1.=_/图=_(-1)=1.课时对点练彳基础巩1.函数段）=45sin（一尹；），xR的最小正周期为（）71cA，2B.7iC. 2兀D.4兀答案D2兀 解析由题意得7=冒，=4兀. |-2|.函数y=4sin（2x兀）的图象关于（）A. x轴对称B.原点对称C. y轴对称C. y轴对称D.直线尸制称答案B 解析 因为y=4sin（2x兀）=-4sin 2%是奇函数，所以其图象关于原点对称.2 .图象为如图的函数可能是（）A. jx-cosxC.

16、y=x|cosx| 答案A 解析根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个, 而y=xsinx是偶函数，y=%2”非奇非偶,由此可排除B, D；当x0时，y=x-|cosx|0,由此可排除C；应选A.3 .函数段） = sin（Gx+g（0）的最小正周期为兀，那么/你等于（）A. 1 BJ C. 1 D.一：答案A解析 :函数/(x) = sin(Gx+E)(0)的最小正周期为兀,27r周期7=皆=兀，解得=2, co即加)=si:J(j) = sin(2 X= sinj+ = sin 9 1.5.函数y=.x)=xsinx的局部图象是(yO答案A 解析 V/( X)= xsin( x

17、) =xsin x=f(x),函数是偶函数，排除B, D；当x取趋近于0的正数时，式初0,应选A.6.(多项选择)以下函数中周期为兀，且为偶函数的是()B. y=sin 2xD. y=cos答案AC解析 A中，由y=|cosx|的图象知，y=|cosx|是周期为兀的偶函数，所以A正确;B中，函数为奇函数，所以B不正确；C 中，y=sin(2x+，= cos 2x, 7=兀，所以 C 正确；D中，函数y=cos；x, T=4兀，所以D不正确.7.设函数/(x)=x3cosx+l,假设八4)=11,那么八一)=答案一9解析令 (?(x)=x3cosx,/.g(x) = (x)3cos( X)= J

18、COS X= g(x)9，g(x)为奇函数，又yu)=g(x)+i,M=g(a)+l = ll, g= 10,A-a)=g(。)+1 = g(a)+1 = 9cos X,卡)的值为8.奇函数於)满足/(x+g)=/3),当3-2 -兀-67T9.危)是周期为兀的偶函数，且入金0,1时，=1-sin尤，求/解VT=7T,且人幻为偶函数,10.判断以下函数的奇偶性:(l)/(x) = 2cos(2)/(x) = cos %r3sin x.解(iyu)的定义域为r,关于原点对称, /(x)=2cos /(x)=2cosOS 2C+X23、2 =-2sin又八一%)= 2sin又八一%)= 2sin= 2sin |x= fix).7/(x)为奇函数.(2次c)的定义域为R,关于原点对称, ,: R x)=cos(%)(x)3sin(x)= cos xx3sin x=y(x), /(x)为偶函数.R综合运用11.如果函数为i)=cos(Gx+g(G0)的相邻两个零点之间的距离为会那么的值为()