18.2.3.3中点四边形动点问题.docx

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1、中点四边形+动点问题一、单选题.（2021广东高州市镇江第一九年级期中）若顺次连接四边形4ACQ各边的中点所得到的四边形是正方形， 则四边形人BC。一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.对角线垂直且相等的四边形【答案】D【解析】【分析】根据题意找到己知条件和所求结论，根据三角形中位线的性质，进行判定即可.【详解】己知：如下图，四边形EFG”是正方形，且七、F、G、，分别是人仄BC、CD、AQ的中点，求证：四边形A3CO是对角线垂直且相等的四边形.证明：由于、F、G、H分别是A3、BC、CD、A。的中点，根据三角形中位线定理得：EH/FG/BD, EF/AC/HG-四边形EFG”是正方形，即F

2、E=FG,：.ACLBD, AC=BD,故选：D.【点睛】此题考查了正方形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是掌握正方形和三角形中位线的有关性质.1 . （2020广东佛山市华英九年级期中）下列命题正确的是（）.A.对角线相等的平行四边形是菱形B.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C.矩形的对角线互相垂直D.顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形【答案】D【解析】【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质和判定定理分别进行分析即可.【详解】以点P、。、Q、8为顶点组成平行四边形，：.DP=BQ,分为以下情况：点Q的运动路线是C-B-C,由题意得:4f. 15 = 15 - /,解得：1=6

3、；点Q的运动路线是C-B-C-B,由题意得：15 - (4f- 30) =15-/,解得：，=10：点Q的运动路线是C-B-C-B-C,由题意得：4/-45 = 15-/,解得：1=12：综上所述，/的值为6或10或12,故选：B.【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行四边形中的动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论.二、填空题(2021甘肃会宁九年级期中)顺次连接四边形ABC。各边中点从F、G、H,得到四边形EFG”,只 要添加一条件，就能保证四边形EFGH是矩形.【答案】AC1RD【解析】【分析】根据中点四边形的性质和矩形的性质判断即可；【详解】解：如图，连接AC, BD, :E、F、

4、G、H是四边形A8C。各边的中点，A EF/AC, HG/AC, EH/IBD, FG/BD,：.EF/HG, EH/FG,四边形EFGH是平行四边形，V ACBD, EF/AC, EH/BD, EFLEH, : NFEH =时, 四边形是矩形；故答案是AC，Q.【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，矩形的判定，准确分析判断是解题的关键.12. （2022黑龙江省八五四农场八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为，作正方形4/8/。/,使A,B, C,。是正方形A/8/G。/,各边的中点；做正方形使4,即 C/,。/是正方形A282c2。各 边的中点以此类推，则正方形422

5、/8202/。202/。202/的边长为 .【答案】210【解析】【分析】根据勾股定理求得正方形对角线的长度，然后结合三角形中位线定理求得正方形的边长，从而探索数字变 化的规律，进而求解.【详解】由题意得，正方形A8CO中CD=AD=42在 Rt44C。中，AC=1aD、CD? =2A, B, C,。是正方形ABGR各边的中点, 正方形A&CQ的边长为2=（V2）2在/，求 丁 与，之间的函数关系式.（3）当/为何值时，四边形A8PQ的面积是四边形A8C0的面积的四分之三？求出此时NPQ。的度数.（4）连接AP,是否存在某一时刻/，使A8P为等腰三角形？若存在，请求出此刻，的值；若不存在，请

6、说明理由.【答案】（1）y； （2） y=S ABPQ=2t+32 （0/8）； （3） f=8, /PQD = 75 ； （4）当/=4 或生叵或334G时，ZMBP为等腰三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对边相等人建立方程求解即可；（2）先构造直角三角形，求出AE,再用梯形的面积公式即可得出结论；（3）利用面积关系求出t,即可求出Q0,进而判断出。Q=PQ,即可得出结论;（4）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论.【详解】解：（1） 在平行四边形48CQ中，A4 = 8cm, BC = 16cm,由运动知,A0=16T, BP=2f,四

7、边形A8PQ为平行四边形，：.AQ=BP,A16-/=2rJ /,3即：，=生时，四边形A8PQ是平行四边形；(2)过点A作4E_L3c于E,如图，在 中，Z=30, 43=8,AE=4,由运动知，BP=2t, DQ=t,四边形48C。是平行四边形，.*.AD=BC=16,AQ=16-t,:丫=S四边杉ABPQ=W (4P+4Q) ME=y (2/+16-/) x4=2/+32 (0/8)；(3)由(2)知,4E=4,VBC=16,:.S 邮i形 ABCD = 16x4 = 64,由(2)知，y=SABPQ=2f+32 (0/= N8=30。，：.ZDQP=75；(4)当 尸时，BP=8,即

8、2t=8, f=4；当AP=B2时，如图，V ZB=30,A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，A说法错误；5选项：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，如卜图所示：C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才是互相垂直的，反例情况如下 图.。选项：如图，取菱形A8CO四边的中点、F、G、H,依次连接、F、G、H,连接AG BD,交于M点，:E、尸分别为AB, C8中点，VEF/MC, EF=ACt又G、”分别为CO、AO中点，:,HG/AC, HG=AC,：.EF/AC/HG, EF=HG= yAC, 四边形EFGH为平行四边形，同理有 EH/BD/F

9、G, 四边形ABC。为菱形，：,BDLAC,故/BMA = 90,，另得尸=90, 平行四边形EFGH为矩形，故。选项正确.故选D.【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握菱形、矩形、正方形的判定和性质定理.3. （2021陕西师大附中九年级阶段练习）在四边形ABCQ中，AC=BD=3, E、F、G、分别是A3、BC、 CD. D4的中点EG2+/772的值为（）A. 72B. 64C. 48D. 36【答案】B【解析】 过P作PM垂直于A8,垂足为点M,（Dp2ABM=4,储+导J =8尸，解得：8P=述，3：.2t=巫, 3,_40 l-3当A8=4P时，同（2）的方法得，BP= 873

10、,A2r=8x/3,Ar=4x/3所以，当,=4或延或46时，43。为等腰三角形. 3【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，含30。的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解 （1）的关键是利用AQ=8P建立方程，解（2）的关键是求出梯形的高，解（3）的关键是求出入解（4） 的关键是分类讨论的思想思考问题.21. （2021吉林长春南湖实验八年级阶段练习）如图，长方形八BCD中，AD/BC, Z8=90, AD=BC=20, 48 = 8,动点P从点8出发，以每秒2cm的速度沿83a玲。的方向，向终点D运动；动点Q从点8出发以 每秒2cm的速度沿BC的方向向终点C运动.以PQ为

11、边向右上方作正方形PQMN,其中一个动点到达终 点时，另个动点也随之停止运动，设点P、Q同时出发，运动时间为t秒（1）AP=（用含t的代数式表示）;（2）当点/V落在人。边上时，求t的值；（3）当正方形PQMN与长方形ABC。的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）； （4）请直接写出当t满足什么条件时:正方形PQMN与长方形488的重叠部分为三角形.【答案】（1）8-2/（0Z4）,或 2-8（4Y14）； （2） r = 2； （3） 5 = 8/2（02）,或 S = 2 产+24-8 （6/10）：（4） 4/6,或 1 = 10,.【解析】【分析】（1）分两种情

12、况判断：当点P沿的方向运动时，当点P沿A3D的方向运动时，分别分析求解即可;（2）根据点/V在4。边上，四边形PQMN是正方形，可证得到”=BQ,即有8-2, = 2,，求 解即可；（3）分几种情况讨论：当正方形PQMN在长方形A8CO内时，正方形PQMN与长方形48CO的重叠部分 为四边形；当点P运动到点A的位置时，正方形PQMN与长方形A8Q）的重叠部分为三角形；当点P运动 到点的位置时，点,口与。点重合，正方形PQMN与长方形A8CO的重叠部分也为三角形；当点P运动到 点户2的位置，点。与。不重合时，正方形鸟QMZ与长方形A8C。的重叠部分鸟。殖是四边形：当点尸运动到 点A的位置时，点Q

13、与点。重合，并点。停止运动，正方形EQMN与长方形A8C。的重叠部分是三角形， 据此分析，可得：当0/2, 6V/V10时，正方形PQMN与长方形力8co的重叠部分是四边形：则有，当 0r2,正方形PQMN与长方形A8CO的重叠部分是四边形时，重叠部分的面积就是正方形PQMN的面 积，当6v，vl0,正方形PQMN与长方形A8CD的重叠部分是四边形时，根据重叠部分的面积S四边形PDE0 = S长方形的o 一 S怫物即已 S.0cE ,据此分别求解即可;（4）根据（3）的分析，找出正方形?QMN与长方形A3CO的重叠部分是三角形时的取值范围即可.【详解】解：（1）依题意得：当点P沿8玲八的方向运

14、动时，BP = Z,：.AP=AI3-I3P = S-21（0Z4）,当点P沿AD的方向运动时，AP = 2/-AB = 2/-8（4/14）,故答案是:8-2r（0r4）,或28（4V小4）；（2）如图示，点N在4。边上，四边形PQWN是正方形，:.PN = QP, NNPQ = 90,：,ZAPN + N4PQ = 90 ,又四边形ABC。是长方形，./PAN = 4QBP = 90 , 4BQP + NBPQ = 90.ZAPN = ZBQPt.APN BQP （AAS）,.AP=BQ,即有：8-2f = 2f,解之得：，= 2：（3）当正方形尸QMN在长方形ABC。内时，正方形PQMN

15、与长方形48co的重叠部分为四边形，由（2）可知，时.，正方形尸QMN在长方形A6CO内，贝ij： 0r2,如图1所示，当点尸运动到点A的位置时，正方形PQMN与长方形48C。的重叠部分为三角形，此时点。与A点重合，. AB 8 . ，=丁5 ，且?Q = JM+8? = 8& ,如图2所示，当点P运动到点R的位置时，正方形PQMN与长方形A8CO的重叠部分也为三角形，此时点风与。点重合， FQ = PQ = 8拒，GM%是正方形，:.必=&PQ = 8&x&= 16,:.Af = AD-fMi =20-16 = 4 ,二”应*6, 22如图3所示，当点尸运动到点鸟的位置时，点。与C不重合时，

16、正方形AQMN与长方形48co的重叠部分巴加迨是四边形，如图4所示，当点。运动到点的位置时，正方形AQMN与长方形A8CD的重置部分是三角形，此时点。与点C重合，并点。停止运动，综上所述，当0/2, 6/10时，正方形PQMN与长方形ABC。的重叠部分是四边形;当4W6,1二10时，正方形PQMN与长方形A8CQ的重叠部分是三角形；当0区2,正方形PQMN与长方形A8CO的重叠部分是四边形时，如图5所示 垂叠部分的面积 S = PQ1 = PB2 + BQ。= (2/)2 +(2/= 8/ (0 ”2), 当6v，vl0,正方形P0MN与长方形A8CO的重叠部分是四边形时，如图6所示Ag=2-

17、8, BQ = 2t,.QC = EC=BC-BQ = 20-2i ,重:叠部分的面积S四边形W0 = S长方形的。一 S怫形A限鸿一SdQCE当正方形PQMN与长方形48CO的重叠部分是四边形时，S = &2 （0/2）,或S = -2/2+24/_8 （6S2,当 |S/S2|=18 时，贝lj 9r=18川=2；当点P在BC边上时，如下图：S/=xl2x6 = 36, S2 = x6xz = 3r,显然 S/S?22当 |S/-S2|=18 时,则 363f=18, r2=6；当点P在C。边上时，如下图：S/=gxl2x(24-2f)=144-，S2 = gx6x/ = 3r,此时无法判

18、断S/与S2的大小，当 5/S2=18 时，则 144-12/-3/=18万=8.4 (舍去)当 S2-S尸 18 时,则(144-12/) =184=10.8答：/的值为2或6或10.8秒.【点睛】本题是三角形综合题，考查矩形的性质，三角形面积，绝对值的性质等知识，解题关键是运用分类讨论的 思想.24. (2021广东佛山市南海石门实验九年级阶段练习)如图，在四边形ABCO中，AD/BC, N8=90。，AB = 8cm, AO=20cm, BC=24cm, P、Q分别从A、。同时出发，向。，8运动.当一个点到达端点时，停止 运动，另一个点也停止运动.(1)如果P、Q的速度分别为lcm/s和

19、3cm/s.运动时间为/秒，贝卜为何值时，PQ=DC.并说明理由.(2)如果。的速度为lcm/s,其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2： 1,求Q 点运动的速度.【答案】(1)当/=5或7秒时，PQ=CD；理由见详解；(2) Q点运动的速度g cm/秒或5cm/秒.【解析】【分析】(1) PQ=DC.分两种情况，当时，由PDCQ,可证四边形PQCO为平行四边形，利用PD=QC, 建构方程20-/=3，当PQ不与CO平行时，过P、。分别作PE上BC与E,DF工BC与F,当。氏FC时PQ=CD, 可证PQEg/XOC产(SAS),再证四边形A8FO为矩形，四边形PDFE为平

20、行四边形，利用。代尸C建构方 程4卜24=4,解方程即可；(2)矩形的长宽之比为2： 1,分两种情况，当4B： A尸=2:1时，AB=8cm, AP： AB=2:1, AP=16cm,利用 AP求出力求出CQ的长,利用vt=CQ求解即可.【详解】解.： (1) PQ=DC.分两种情况，当PQC。时，: PDCQ,工四边形PQC。为平行四边形，：.PD=QCf,：P、Q的速度分别为lcm/s和3cm/s.运动时间为/秒，AQ=20cm, BC=24cm,：.PD=AD-AP=20-t, CQ=3f,：,2O-t=3t,解得/=5秒，当PQ不与CO平行时，过p、。分别作PE_LBC与E, DFLB

21、C与F,当 QE=FC 时 PQ=CD,在和DC中，,: PE=DF, NPEQ=NDFC, QE=CF,:dPQE妾ADCF (SAS),A尸8C, ZB=90 DFLBC, Z4=Z=ZDFB=90,四边形4BF。为矩形， ：,DF=AB=3cm,人。=8F=20cm,CF=8C-BF=24-20=4cm,：PEBC, DFA.BC,，PEDF,，：PDEF,四边形PQFE为平行四边形，：.PD=EF=2Q-t,/. QE=QC-EF-FC=3t-（20-t）-4=4t-24,.4，-24=4,解得t=7秒，.当弋5或7秒时，PQ=CD；（2）矩形的长宽之比为2： 1,当人&人尸=2:1时

22、，/仍=8cm,.”=4,/. /=4 秒，设。的速度为vcm/秒，.CQ=4v=24-4,:.v=5 cm/秒，当 AP： A3=2:l,.4P=2x8=16cm,/.lr=16,Ar=16 秒， .CQ=16v=2416,:.mJcm/秒，Q点运动的速度g cm/秒或5cm/秒.【点睛】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形全等判定与性质， 掌握速度时间与路程的关系，以及分类思想应用，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形全等判定与性 质是解题关键.25. （2022江西章贡八年级期末）如图，长方形/WC。中，4B=4cm, BC=6cm,现有一动点P从

23、A出发【分析】作辅助线，构建四边形EFG”，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质 等量代换可得结论.【详解】解：连接七八FG、GH、EH,、尸、G、分别是AB、BC、CD、D4的中点，：.EF/AC, HG/AC, EF = -AC, FG = -BD , 22:,EFHG,同理E”尸G,:.四边形EFGH为平行四边形，：AC=BD,:.EF=FG,平行四边形EFGH为菱形,：.EGLFH, EG=20G, FH=2OH,：.EG2+FH2= (2。) 2+ (20H) 2=4 (OE2+OH2) =4EH2= 4 x (1 5D)2 = 82 = 64,故选：B

24、.【点睛】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形 转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明.4. (2021黑龙江哈尔滨德强八年级阶段练习)如图，在四边形A8CO中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】A【解析】【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一时角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等.所以是平行四边形.【详解】以2cm/秒的速度，沿矩形的边A-B-C。一A返回到点A停止，点P的运动时间为/秒.(1)当 f=3 秒时，5P=cm：