吉林大学考研真题量子力学（含答案）1992.docx

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1、吉林大学1992年招收硕士研究生入学考试试题(含答案) 考试科目：量子力学一.(类似1999年第一题)质量为的粒子，在一维无限深势阱中V（x） =V（x） =0,8,0xax a中运动，若，=0时，粒子处于夕(X，。) = 4卜)-&2 (6 + ；(x)状态上，其中，。(%)为粒子的第个本征态。(1)求，=o时能量的可测值与相应的取值几率；(2)求， 0时的波函数0及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为2277 万力2E =-n , = 1,2,3,2ma2(12 . Y1719 1 - sin xV a a(1)首先，将(“。)归一化。由可知，归一化常数为

2、c=vf于是，归一化后的波函数为*）=c）一 +除42 （%） + 已外出能量的取值几率为w闾哈唯）哈唯）二得能量取其它值的几率皆为零。（2）因为哈密顿算符不显含时间，故，0时的波函数为如力思（则-刑+思exp（-海如力思（则-刑+思exp（-海1313（3）由于哈密顿量是守恒量，所以，。时的取值几率与/=0时相同。二.一个电子被禁闭在线谐振子基态，若在此态上有求激发此电子到其第一激发态所需要的能量（用eV表示）。提示：利用维里定理。解：已知线谐振子的本征解为纥二纥二2J由维里定理知，对于任意束缚态有T=-rVV2而线谐振子的位势为V(x) = ma)2x2于是，T = V对于线谐振子基态而言

3、，-1() =T + V = -ha)进而可知121 mco x =h24利用已知条件及1=0,得到co = -102()m2 2m由基态激发到第一激发态所需的能量为力2g =力=102m-2 =IVC2m(105x10-24)2C ,A Vx A A .2x9.11xl0-31kg6.06x 10-19 x xlO19eV = 3.78eV1.6三.设厄米特算符方的本征矢为|，构成正交归一完备系，定义一个算符(1)(2)(3)(4)证明U（m,n） = （pm）（pn 计算对易子方n）; 证明“ 2, 炉（p, q）二2/（加,p）. 计算迹Tr储（2, ）； 若算符A的矩阵元为4 =例4%

4、）, 久二工4/（也拉）rn.n%二吨小碗）解：(1)对于任意一个态矢I),有方,= HU(zn,(m,n)Hy/-M .(/ M T (pm) = S.nn k(4)算符mm.n2AH2/) 7,而Apq=(9 IA %) = 2(9p | - Ml %)= kE M 4 9) M=Z 仇 R。(p, 京心= kkTr粉+(/)四.自旋为:、固有磁矩为二体(其中/为实常数)的粒子，处于均匀外磁一一八方场二= e)k中，设/ = 0时，粒子处于 =5的状态，(1)求出，0时的波函数；(2)求出，。时6工与储的可测值及相应的取值几率。解：体系的哈密顿算符为TJ - n n A / Bh a aH

5、 = -RB = -y Bsz = o-3=z在泡利表象中，哈密顿算符的木征解为 =60,|夕)=|+)E1 = 一，|。2)二 |一)(1)在，=0时，粒子处于Sz =9的状态，即M(o)H+X而满足的本征方程为解之得1+和+5）=+-5由于，哈密顿算符不显含时间，故。时刻的波函数为1( i 行 1( i Z7 &W匕叼+)+ /*匕叼-)（2）因为方,6=0,所以$z是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变,换句话说，只要计算，=0时Sz的取值儿率就知道了 / 0时Sz的取值几率。力 邓 5. = ,0 ，2-2由于( 方、1 w 5.二一,0 二I 212；故有sz = Q而X的取值几

6、率为w(s,=g,r1 2| (+| + (-jexP _/”+exp(一本可一)=_ 2i ( i V , b.y exp E +exp E2t= cost2_1力J l力人 2J力).2 B()yI2 )2五.(见2001年第五题)两个质量皆为的非全同粒子处于线谐振子位中，若其 角频率都是,加上微扰项钞=-4否%(%1，%2分别为第一个粒子与第二个粒子的坐 标)后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。解：体系的哈密顿算符为AAAH = H.+W其中，用=(斤+肝)+5。2W = -Z x,x2已知。的解为E： =( + 1)方匕。(%，X2)二%(%刎”(%)其中

7、,儿，几 2，几=0,1,2, 一 a = 1,23 /将前三个能量与波函数具体写出来,琮=五; Wo =夕0（用圾（12）E； =2,Wi =%（%M（%2）%2 二。| （6）（）E； = 3/? 69,21 =。2 （七 M）（12 ）22 =。（玉）。2（）23 = 9 （芭 M （工2 ）对于基态而言，=%= = ，）=1，体系无简并。利用公式2可知球)=。网0=。=V +仇M匕。）（匕以M丸）0尸 0 _ 0n*0 a=乙（）-Ji显然，求和号中不为零的矩阵元只有惘匕3 )=3惘于是得到1 A2 不方El - El 4a48/W第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为其中,于是得到叫碎 % 叱3%-碎 % =0% % % 一 即叱1=牝2=%3=叫2=%1=0% = % =卯23 =叫2 = 一?朗=-4；理=o；理=4aa