安徽省宣城市2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷.docx

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1、安徽省宣城市2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷阅卷人、单项选择题（共12题；共24分）得分L （2分）复数二担（i为虚数单位）的共轨复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【解答】因为Z =瑞高另（1 + ）所以对应的点位于第四象限.故答案为：D【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数Z,再由复数的几何意义，即可得答案._ 1（2 分）集合2= 2, Q = y|y = log1%，那么pnQ=（）3A. -1, 2B. 0, 2c. -1, 4D. 0, 4【答案】B【解析】【解答2 = 0%4 = P = 0, 4,

2、 1Q x logi% G -1, 2 = Q = -1, 2,3所以 PCI Q = 0, 2.故答案为：B【分析 1可求出集合P, Q,然后进行交集的运算，即可得答案.项和3.（2分）在数列即中，% = 20 ,册=册_1 3（nN2, n E N*），那么数列&J的前 取最大值时，n的值是（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【解答】解：由% =册_1 一 3得册一册.1 = 3 ,又因为ai=20,所以数列即是以20为首Mig；/Mil平面4BD；三棱锥4-BDM体积不变，为热 与所成角 的范围为（0,刍；DM与平面所成角的正弦值的最大值为电.【答案】【解析】【解答】

3、如图，以公为坐标原点，以4当，4。1，所在的直线分别为居y, z轴建立空 间直角坐标系，那么41(0, 0, 0), B1(1, 0, 0), 3(1, 1, 0),。1(0, 1, 0),8(1, 0, 1), C(l, 1, 1), D(0, 1, 1), 4(0, 0, 1),所以阻=(1, 0, 1), OT=(1，-1，0)，雨=(0，1，1)，币=(一1, -1, 1)，币=(0, 1, 1),对于，因为庠d=-1 + 1 = 0,瓦瓦布=-1 + 1 = 0,所以庠1d,瓦瓦1d, 所以D1CJ.CM，。1/1的4因为=。1，所以C1A_L平面CD181，因为u平面 CDB，所以

4、B1M14C1，所以正确，对于，因为平面CD/i，Di% u平面CDi%,所以80口平面CD/i，因为 418口。1配418 0平面CDiBi，。1。=平面。181，所以平面CDiB1，因为人18 0 8。= 8,所以平面平面CD/,因为平面CD/i，所以|平面所以正确，对于，由可知B1M II平面Z1BD,所以匕41.BDM = M-AXBD BX-AXBD = D-AXBXB = g 乂 1 X 1 X 1X1=1，所以错误，对于，设M(a, 1, b),那么区而=(a, 0, b),设瓦而=4取(0 A 1),那么(a, 0, b)=A(l, 0, 1),得a = b = 3 所以 M(

5、/l, 1, A) (0 A1+a1+a设M与4D所成角为仇 那么cos0 = |cos（瓦羽，ArD） = |2= | = , 2 当2=。1） +1+A 2dA 2+1时，cos,因为e 6(0,4 所以。所以错误， /乙。对于，设平面/D的法向量为沅=Q, y, z),那么仁二;，令z = l,那么访=(1, 1, 一1), 0M =(九0, A-1),设DM与平面&BO所成角为a,那么./ 八 .4+1411sina = |cos(m, DM) = /= | =/= =V3.X+(A-1)2凤2/-24+1 73.J2(A_1)2+111/6所以当；1 = /时，sina取得最大值第二

6、百，所以正确，故答案为：，【分析】以为坐标原点，以4/，。1，4所在的直线分别为, y, z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量逐项进行分析判断，可求得答案.阅卷人得分解答题(共7题；共70分)(10分)食品有三个等级：有机食品、绿色食品、无公害食品.某调查机构在某大型超市随机调查了 50种不同的食品，利用食品分类标准得到的数据如下:等级有机食品绿色食品无公害食品种类101525(1) (5分)假设将频率视为概率，从这50种食品中有放回地随机抽取4种，求恰好有2种食品是有机食品的概率；(结果用分数表示)(2) (5分)用分层抽样的方法从这50种食品中抽取10种，再从抽取的10种食品中随机抽取3

7、种，X表示抽取的是绿色食品种类的数量，求X的分布列及数学期望E(X).【答案】(1)解：设从50种食品中随机抽取一种，抽到有机食品的事件为A,那么缶)=第=春现有放回地随机抽取4个，设抽到有机食品的个数为X,贝！JXB(4, I), 所以恰好抽到2个有机食品的概率为：P(X = 2)=盘x (1) (5分)证明：平面PBC 平面PBD；现有放回地随机抽取4个，设抽到有机食品的个数为X,贝！JXB(4, I), 所以恰好抽到2个有机食品的概率为：P(X = 2)=盘x (1) (5分)证明：平面PBC 平面PBD； (5分)直线PC上是否存在一点M使得二面角B DM-C为直二面角，假设存在，求出

8、M x(2)解：用分层抽样的方法从50种食品中抽取10种，那么其中绿色食品3种，非绿色食品7种，X的所有可能的取值为：0, 1, 2, 3,那么P(X = 0)=伊=务 P(X=1)=罟=奈 P(X = 2)=罟=卷 P(X = 3)=M =盒, c10c10c10c10所以X的分布列为:X0123P72421407401 120X的数学期望E(X) = 0 x 2 + 1 x+ 2 x + 3 x =yg-【解析【分析】(1)求出从50种食品中任抽1种，抽到有机食品的概率，再利用独立重复试验的概 率公式计算出恰好有2种食品是有机食品的概率；(2)用分层抽样求出抽取的10种食品中绿色食品的数量

9、，再求出X的可能值及各个值对应的概率， 即可求出X的分布列及数学期望E(X).17. (10分)如图，四棱锥P /BCD的底面为直角梯形，AB | DC, AB LAD,且48 =/。=3CD = 2, PA = PB = PD = V6.点的位置；假设不存在，请说明理由.【答案】(1)证明：如图，在直角梯形ABCD中,因为AB =AD = CD = 2,所以8。= BC = 2&，又因为CD = 4,所以BC18D.取CD的中点为Q点，因为ZB =2,所以四边形ABQD为正方形，连接AQ、BD,取AQ、BD的交点为。点，连接P0,因为P4 PB - PD - V6?所以 POAPOB = P

10、OD,所以P0_L04 P0 1 OB. PO 1 0D9 0/u平面 ABCD, OD u平面 ABCD所以00 _L平面ABCD, BCu平面ABCD,所以尸。1 BC,又因为所以8C1平面PBD,所以平面PBC,平面PBD.(2)解：存在，M为PC的中点,证明如下：过D点作平面ABCD的垂线，以D为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系，因为48 =AD = CD = 2, PA = PB = PD =遍, 所以。(0, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 4, 0), P(l, 1, 2),PC= (-1, 3, -2), DP = (1, 1, 2),设丽=2正=(一九 3九

11、 -2A),所以M(1九 1 + 3九 2-24),丽=(2, 2, 0),丽 =（1九1 + 3九2-22）,设平面BDM的法向量元=（%yr z。,=0,DB - n = 2/ + 2yl = 0,元=(1 - A)%1+ (1 + 3a)y1+ (2 24)Z所以元=（1, 1,设平面CDM的法向量访=（%2，丫2，Z2），平面CDM即平面CDP,所以DC - n = 4y2 = 0OF -元=%2 + 丫2 + 2z2 0所以沅=（2, 0, 一1）,假设二面角B C为直二面角,所以记亢=2H=0,所以a = ,所以点M存在，且为PC的中点.【解析】【分析】（1）证明四边形ABQD为正

12、方形，连接AQ、BD,取AQ、BD的交点为O点，连接PO,推出 PODOA, POOOB, POOOD,证明 PO平面 ABCD,得至IPODBC,结合 BCDBD,证明BC平面PBD,推出平面PBC平面PBD；（2）存在，M为PC的中点，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面BDM的法向量和平面CDM的法向量,利用向量法求出二面角B DM-。为直二面角，得沅.元=2-面CDM的法向量,利用向量法求出二面角B DM-。为直二面角，得沅.元=2-221A=0,求解_1 n1所以% = (1)出A的值，可得M点的位置.18. （10分）记S九为数列时的前n项和，T九为数列S九的前n项和，Sn

13、+ Tn = 2.（1） （5分）求证：数列S是等比数列；（2） （5分）求数列min的前n项和4n.【答案】（1）证明：因为为数列Sn的前n项和,当n=1时，Si += Si + Si = 2sl = 2,那么Si = 1当nZ2时，丁一上广几S九 + 7几=2(T)Sn_1 + 7_i = 2(2),C16）一包）得2s九=S_i（几 2）,得,几=（几32） 。九一 1 乙所以数列S是首项为1公比为枭勺等比数列.（2）解：由（1）可得，数列S九是以Si = l为首项，以义为公比的等比数列, 乙当九之 2 时, an = sn- sn.r =当九之 2 时, an = sn- sn.r =

14、9当ri = 1 时，% = Si = 7 = 1,1, n = 11, n = 1显然对于n = l不成立，所以册=当九之 2时4几=1 - 2 x * + 3 x (1)2 + + n(|)n )2An2An=2 - 2 x(2)+ 3 x1(2)1 n+ +几勺)23上下相减可得44T = 3 1 + (+&) +n11 1九,（2）九=i + 5 + 2）（2）九n-l-2乂n = 1时，Ai = 3x1 2 = 1综上，4九=（几+ 2）（；）2【解析】【分析】直接利用数列的递推关系证出数列S是等比数列;利用乘公比错位相减法的应用求出数列曲九的前n项和20. （10分）在平面直角坐标

15、系中，动点P到2（-1, 0）、F2（l, 0）两点的距离之和等于2遍.（1） （5分）求动点P的轨迹E的方程;（2） （5分）假设与圆0： / + 丫2 = 1相切的直线匕：y = k% + m与曲线C相交M、N两点，直线与直线人平行，且与曲线E相切于点/ （0、Z位于直线。的两侧），记力MN、ZiOMN的面积分别为cS】、S2,厩的取值范围.【答案】（1）解：由题知|PFi| + IPF2I = 2遮 2 = I&F2I，动点P的轨迹是以（-1, 0）、92（1，0）为焦点，2遥为长轴长的椭圆.2沅2真可得二后那么仁仿=2,所以动点P的轨迹E的方程为看+ / = 1. 54|m|（2）解：

16、由题意，原点。与直线人的距离为1,故丁十 7 即|刈=庇不工J k +1y = kx + n设直线6： y = kx + ny联立y2 ,可得(4 + 5/c2)%2 + lOknx + 5n2 - 20 = 0, +彳=1又直线办与椭圆E相切，所以4 = (10kn)2 4(4 +51)(5/ 20) = 0,整理得层=5廿+ 4,又入与%之间的距离弓又入与%之间的距离弓m-n1 _ 4|MMd _ |th川 _ |77；闺|加二11一看2又有二寄=5六，由MN0,故(9254, 5)，因为0、4两点位于直线。两侧，故TH、九同号，那么白e 2, V5), ft*故|1知Cl, V5-1).

17、即f所以/(%) = nx Hex/4) = + ”，八 1) = 2，所以切线方程为：y = 2% 1,即2% y 1 = 0.(2)解：当a 0且% 。时,/(%) 0恒成立, 设九(%) = ae% - In% + Ina, x 0,那么九(%) = ae% - 1在(0, +8)上是增函数， 作出函数y = ae与y =的大致图象，可知函数y = ae*与y =有一个交点，的取值范围为口，V5-1).2【解析】【分析】(1)分析可知动点P的轨迹是以鼻(1, 0)、F2(l, 0)为焦点，2遮为长轴长的椭圆，求出a、b的值，结合焦点的位置可得出动点P的轨迹E的方程;(2)由圆O与直线人相

18、切可得出|刈=2 + 1 ,设直线6： y = k% + n与曲线E的方程联立，由o=0可得出九2 = 5/+ 4,计算出 净 的取值范围，分析可知，m、n同号，利用三角形的面积公二11 一蜘,即可求得3的取值范围.21. （10 分）函数/（%） = In% ae%（Q R）(1)(5分)假设/(1) = 1,求曲线y = /(%)在点(1, 1)处的切线方程.(2) (5分)当。0时，假设对任意% 0, /(%)Wlna恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)解:Vf(x) = lnx-aex(aER)9/./(I) = ae = 1,即a =-6即/(%)在(0, +8)内有唯一的零点.设

19、/(%)的零点为%0，, 1那么九(o) = aeo - - = 0, x0当O%V%o时，/(%)%o时，/(%) 0，1(%)单调递增,一 1所以九(%)min hQo) = ae lnx0 + Ina =lnx0 + Ina,x0I由ae%。一= =0得：aex =,取对数得：一In%。= & + Ina, xoxo1代入上式得：/i(x)min = 丁 +%o + 21na之2 + 21na,当且仅当 x0%o = 1时取等号，所以当% 0时Zi(%) 0,必须且只需2 + 21na 0,解得a ：，所以a的取值范围为弓，+ 8).【解析】【分析】(1)求出导函数，推出切线的斜率，然后

20、求解出曲线y = /(x)在点(1, 1)处的切线方程；(2)当a 0且% 0时,/(%) 0恒成立，设九(%) = aex Inx +Ina, %0,利用函数的导数，求解函数的最小值，然后转化求解a的取值范围.22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为&二(t为参数).以坐标原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P = 6sin6.(1) (5分)求曲线的的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2) (5分)假设曲线的，C2相交于A, B两点，求|。川|0B|的值.【答案】(1)解：由曲线Ci的参数方程，得X+ y 5 = 0, 所以曲线

21、Ci的极坐标方程为pcos。+ psinO -5 = 0由曲线。2的极坐标方程，得p2 = 6psin仇即2 + (y _ 3)2 = 9,所以曲线C2的直角坐标方程为%2 + (y _ 3)2 = 9.(2)解：曲线Ci的极坐标方程为pcos8 + psin6 5 = 0,曲线C2的极坐标方程为p = 6sin0,联立解得sin。=cos0 =，一冬 由sin?。+ cos20 = 1,得p4 - 48P2 + 450 = 0,所以说p| = 450,所以。1。2 = 15鱼，所以|。4|OB| = pi。2 = 15四.【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐

22、标方程之间进行转换，可得曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)利用极径和一元二次方程根和系数关系式的应用求出|。/| |。切的值.23. (10 分)设函数/(%) = x + 2a + 1 x 2a.(1) (5分)当。=一1时，求不等式/(%)22的解集；(2) (5分)假设对任意/(%) 4 2恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)解：当a = -1 时，/(%) = |x 1 |% + 2|,由/(%)2 2,W|X- 1| - |% + 2| 2,那么一(%一 1湾(%；2) 2或-(% - lj ：葭匕) 2或%(二2)22,解得工一2或一2或无 ”,所以原不等式

23、解集为(如-1.(2)解：因为f(%) = x + 2a + l-x-2a |(x + 2a + 1) - (x-2tz)| = |4a + l|,所以/(%) 2对任意 R恒成立=/(%)max 2,所以|4。+ 1|2,即一24。+ 1 2的解集；(2)利用绝对值三角不等式求f(x)的最大值，由题知f(%)max32,再解绝对值不等式，即可求出实 数a的取值范围.项，以-3为公差的等差数列,所以 an=20-3(n-l)=-3n+23 ,令a-3n+23M ,解得：n 0log2(l %), % 0), g(x) = -log2(l + x) - 2,0(3) = -log24- 2 =

24、-4.故答案为：D.【分析】根据/(%)是奇函数，可求得g(x),代入x=3可得答案.5. (2分)设a, /?是两个不同的平面，a, b是两条不同的直线，如果a u a, a | /?,那么“五13”是“b 1 /T 的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】由a II夕，b 1 /?,可得b 1 a,又a u a,那么有b 1 a.由aua, a|/?, a Lb不可得到bl/?.贝 1皮是* 1的必要不充分条件故答案为：A【分析】根据面面平行和线面垂直的性质，利用充分条件和必要条件的定义，即可得到答案.6. (2分)2022年

25、冬季奥林匹克运动会，计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为第一个举 办过夏奥林匹克运动会利冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市，这也是中国历史上第一次举办冬季奥运会.近期，冬奥会组委会招募6名志愿者为四个馆区提供志愿服务，要求A, B两个馆区各安排一人，剩下两个馆区各安排两人，不同的安排方案共有()A. 90 种B. 180 种C. 270 种D. 360 种【答案】B【解析】【解答】先安排4 8两个馆，然后安排其余两个馆，所以不同的安排方案有4CC式,=180种.故答案为：B【分析】先安排4 B两个馆，然后安排其余两个馆，由分步计数原理计算，可得答案.7. (2分)将函

26、数/(%) = sin(2x +看)的图象向右平移多个单位长度得到g(x)图象，那么以下判断错误的选项是()A.函数g(%)的最小正周期是兀8. g(x)图象关于直线 = 兀对称C.函数9(%)在区间-金，碧上单调递减D.gQ)图象关于点(黑，0)对称 JL乙【答案】C【解析】【解答】将函数/(%) = sin(2x + a)的图象向右平移冬个单位长度得到9(%)图象, O乙那么9(%) = sin2(x _)+ = -sin(2x + 看) 故g(x)的最小正周期为7 =字=兀，A结论正确；将久=|兀代入9(%) = sin(2x +3)中，g(约=-sin(等+/)=1,所以g(x)图象关

27、于直线x = |对称，B的结论正确； 当工 方 普时，令 = 2% +看te0,扪，显然0,初不是y = sint的单调区间，C结论错误；将 =居代入g(%) = sin(2% +1)，g(招)=sin(普+5)=0, D结论正确,故答案为：C.【分析】由题意，利用函数丫=人5皿3C =等为钝角，所以NC4D为锐角，所以4c4。=1，TTTV那么匕BAD =OZ所以/D = CD = 2, BD = J22 + (2V3)2 = 4，所以三角形48。的周长为2 + 4 + 2遮=6 + 2V3.故答案为：C【分析】在三角形4C0中，由余弦定理可得AD,再由正弦定理可得/乙4。=9 即可求得三角

28、形(2 分)函数/(%) = 2炉+其导函数记为/(%),那么“2022)+/(2022)+/(2022) - JL I C广(2022)的值是()A. 3A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A29 3ex 9 3ex9【解析】【解答】/(%) = 2/力，那么/(%) = 6% - = 6x - e2x+1+2ex = 6x -【分析】直接利用函数的导数的应用和函数的奇偶性的应用，求出/(2022)+/(2022) +/(2022)/，(2022)的值.10. (2分)点F为抛物线产=4%的焦点，4(1, 0),点M为抛物线上一动点，当静畀最小 时，点M恰好在以A, F为焦点的双曲线C上

29、，那么双曲线C的渐近线斜率的平方是()A. +1B. 2 + 2V2C. 3 + 2V3D.L4【答案】B【解析】【解答】由抛物线的对称性，不妨设M为抛物线第一象限内点，如下图：故点M作MB垂直于抛物线的准线于点B,由抛物线的定义知|MF| =易知M8x轴，可得MAF = BMAMF _ MB AM=AM=cosZ-BMA = cosZ-MAF当NM4F取得最大值时，恃外取得最小值，此时ZM与抛物线y2 = 4x相切,设直线4M方程为：y = k(x + 1),联立y 1 k(x+ 整理得+ (2k2 - 4)x + k? = 0,其中4 = -169 +16 = 0,解得：k = 1,由M为

30、抛物线第一象限内点，那么左=1, 那么/ + (2 4)% + 1 = 0,解得:% = 1, 此时y2 = 4,即y = 2或y = -2所以点M的坐标且M(l, 2)由题意知，双曲线的左焦点为4(-1, 0),右焦点为F(l, 0)设双曲线的实轴长为2a,那么2a= AM - MF = 2V2-2, a = V2 1,又c = l那么/=看=鱼+ 1故渐近线斜率的平方为1=诙4=()2 1 =(遮+ 1)2 _ 1 = 2 + 2鱼 az az a故答案为：B【分析】由题可知4M与抛物线丫2 =轨相切时，解取得最小值，求出点M的坐标，利用双曲线定 义求出2a,结合c = l,可求得也 再利

31、用吗=电2_1求得答案. v*vx 1, % m3个零点，那么实数m的取值范围是()1 1A. (12，2)B. (1+白，2)1C. (1o 9 2)D. (1 Ho 9 2)e乙e乙【答案】C【解析】【解答】 -加一 1, % 7?1 时,/ (%) = 当？71之2时，/(%) 0 /(%)在TH, +8)上是减函数，此时？(%) = /(%) -几最多有两个零点，不符合题意；当m 0, /(%)在巾，2)上单调递增，在(2, +8)上单调递减，且/(血)=与衰,1/=%e乙假设存在几，使g(x) = f(%)-九有三个零点，那么/(2)一机1,即外巾1,1解得一2 1 m 0, b0）

32、的一条渐近线与直线A双曲线的一个焦点在直线1上，那么双曲线的方程是2【答案】号72 = 1【解析】【解答】由题意可知另， 直线八% 2y 遮=0与X轴的交点坐标为（遮，0）,由双曲线的一个焦点在直线1上可知，（遮，0）即为双曲线的一个焦点,故C =遮，那么小+川二5 ，解得小4, b2 = 1 ,2故双曲线方程为：半_y2 = i，2故答案为:竽y2 = i【分析】由双曲线的方程及焦点在直线1上，令y=0可得c的值，再由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得a, b的关系，由a, b, c的关系可得a, b的值，进而求出双曲线的方程.13. （1分）向量2= （2, 1）, b = （-1,

33、 A）,假设（24+办1五，那么五与铀勺夹角的余弦值是.【答案】第【解析】【解答】23 +b = (4, 2) + (-1, 4) = (3, 2+4),由于(2五+ 3)1出所以(3, 2+ 2)-(2, l) = 6 + 2+A = 8 + A = 0,入=-8,那么3=（1, -8）,所以方与铀勺夹角的余弦值是禹=念焉=77=嚼 |q| 网 V5XV65 5XV132故答案为：零-L J【分析】根据题意，先求出* +不的坐标，由数量积的计算公式可求得入的值，即可得石的坐标，由 进而由数量积的计算公式计算，可得益与石的夹角的余弦值.14. （1 分）在4BC 中，角 A, B, C 的对边

34、分别是 a, b, c,假设 sinA = BsinC, B = 30, ABC 的 面积为g,那么ABC的周长是.【答案】4 + 2/3【解析】【解答】在中,sirt4 = V5sinC,由正弦定理得a = Wc,又: B = 30, 48c的面积为避，15acsinB =歹 x V3c c 5=遮， 乙乙乙:0 = 2, a = 2遮，由余弦定理,可得：/ =小 + 2accosB = (2V3)2 + 22 2 x 2a/3 x 2 x 监=4, 解得b = 2,故ABC的周长是4+ 2百。故答案为：4 + 2V3o【分析】利用条件结合正弦定理和三角形的面积公式得出a, c的值，再利用余弦定理得出b 的值，再结合三角形的周长公式得出三角形ABC的周长。15. （1分）如图，在棱长为1的正方体4BCD中，M在线段CDi （含端点）上运动，下 列结论正确的选项是3ex+ex+29所以，/(-) + /-(%) = -2%3 + +；r + 2x3 * * * * * + yx = e%(i+e-x)+= 3,，?3o3f (-%) = 6 X (-%) - e-x+ex+2 = 6% -e-x+ex+2 = /(%)因此，/(2022) + f(2022) + /(-2022)-尸(一2022) = 3.故答案为：A.