2021—2022学年度下学期期中考试高二试题.docx

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1、2021-2022学年度下学期期中考试高二试题数学第I卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）.已知数列4的前项和公式为=21+2% 则数列%（）A.是公差为4的等差数列B.是公比为2的等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列又不是等比数列1 .用数学归纳法证明1 + 2 + 2?+ 222+3（乂）时，第一步需要验证的不等式是（）A. 124 B. 1 + 224C. 1 + 2 + 2224 D. 1 + 2 + 22+23 0832（ 2、r2-i-4r + f7 57 .若不等式4 + - Inx e)易知当Q

2、 Ml时机(Q)G3,+oo2e2 e -oo,2当leave时,m(6z)-a2-a + alna9 2则m(a) = lna a ,由(1)证明过程得知Inx光一1 vx,即m(q)vO,所以函数加在Q(l,e)上单调递减，此时机(。)综上2()e(e200,I2上 _3、3 一,+002=R,函数m(a)的值域为尺.A. a B. a C. a0 D. a0二、多选题（本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）9.下列选项错误的有（） A.两个变量线性相关性越强，则相关系数，就越接近1.B.若1, x,歹，z, 4成等比数列，则实数y = 2.

3、C.线性回归方程对应的直线y =+ a至少经过其样本数据点中的一个点.D.函数=一/+x+i没有极值点.10.已知函数/。）= /任7 1）,则下列选项正确的有（）A.函数/（X）极小值为,极大值为3.B.函数存在3个不同的零点.C.当丁三一2,2时,函数八）的最大值为D.当一时，方程司二左恰有3个不等实根.11 .数列4的前项和为S，且q=l, S川=44+1（乂），则下列选项正确的有（）A. a. =12. B.数列也用一2。是等比数列.D.数列% 的前10项和为1024.5 gC.数列4的通项公式为4 二 / + 3仇 M).12.已知函数/（x） = xln（x+l）, g（x） =

4、ex（l-x） + a,则下列选项正确的有（）A.函数/（x）在原点（0,0）处的切线方程为y = 0.B.存在实数1仪1,+8）,使得不等式成立，则实数的取值范围是1.C.当x（0,+oo）H寸，不等式xln（x + l） ，/一o恒成立.D.设王，/尺且若g（xj = g（x2），则西+。.第II卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设偶函数在R上存在导函数/（X）,且/（%）在点（2,/（2）处的切线方程为y = 3x,则/（2）=14.小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利

5、率为0.25,则小李每年所要还款的钱数是 元.15.已知定义在A上的函数/（x）=2023?x3898 J73H20222022、16 .已知函数%）=*2+二+上+小 则不等式/（九+3）2/（2九+1）的解隼为四、解答题（本题共6小题，共70分）17 .（本题 10 分）已知函数/（x） =，x2-Qx-21nx（QR）.（1）当4 = 1时，求函数/（X）的单调区间和极值；（2）若函数/（X）在区间1,+8）上单调递增，求实数4的取值范围.18 .（本题12分）2022年北京冬奥组委会发布的北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）显 示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬

6、奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该200家赞助 企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上 销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天销售额不足30万元的企业占口,统计后得到20如下2x2列联表:销售额不少于30万兀销售额不足30万兀合计线上销售时间不少于8小时75100线上销售时间不足8小时合计200（1）完成上面的2x2列联表；（2）根据2x2列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.0.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.8790.10.

7、050.010.005k2.7063.8416.6357.879附:Z2二1n(ad-bc(a + Z?)(c + d)(a + c)0 + d)19 .（本题12分）已知数列4满足：+（ N+J且q（1）求数列%的通项公式；（2）设数列也满足:（2）设数列也满足:b =ne n + V%）,求数列松的前项和S.20 .（本题12分）在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度x （单位：C）与反应结果歹之间的关系如下表所示:X2468y30405070（1）求化学反应结果歹与温度x之间的相关系数/（精确到0.01）；（2）求关于x的线性回归方程；（3）判断变量x与歹之间是正相关还是负相关，并预

8、测当温度达到10时反应结果大约为多少. 别为务二*-储:-（q /=!附：对于一组数据（/%）,（马，），（王，为），其回归直线）=源+ 4的斜率和截距的最小二乘估计分a - y-bx.相关系数r =1二V i=lV i=i参考数据：2.646.21 .（本题 12 分）已知数列%满足q =，且3。+1。+（1）求的，%，并猜想4的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想结果；（3）设数列bn满足bn =（2 + 3）3an （九”），求数列2（几 N+）的前项和Sn.22 .（本题 12 分）已知函数/（X）-（Q + i）x + qnx（a H）,（1）试比较In（2022e）与202

9、2的大小关系，并给出证明； 设函数g（x） = ca-alnx + l（QH）,若函数/（%）的图像恒在函数g（x）的图像上方，求实数q的取 值范围；（3）函数在上的最小值记为用（。），求函数加（。）的值域.2021-2022学年度下学期期中考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题（每题5分，共40分）15ADDCC 68BAD二、多选题（每题5分，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）9. BC； 10. AC； 11. AB； 12. AC.三、填空题（每题5分，共20分）13. -3；14. 6250；15. 73；16. -2,2.四、解答题（共70分

10、）17.（本题10分）解（1）函数/（%）的定义域为（0,+oo）,当 a = l 时，/ 一%一21n%2求导得广（力=工1，整理得:2求导得广（力=工1，整理得:/，（%） =（% 2）（乂 + 1）JC由/（x）0得x2；由/（x）0得0x2从而，函数/（x）减区间为（0,2,增区间为：2,十句极小值为：/（2）= -21n2,无极大值.（注：单调区间如果写成全开区间，不扣分）2（2）由已知xl,+oo）时,/（%）20恒成立,即x a 20恒成立,2（2、即怛成立，则X .X-7 min22令函数g（x） = x （xl）,由 g（x） = 1 + 二。知g（x）在l,+oo）单调递增

11、,XJC从而。屋可疝产且:一1.经检验知，当。=1时，函数/（X）不是常函数，所以。的取值范围是。1.（注：第（2）问结果为。1的，扣1分，未检验 =1不扣分）18.（本题12分）解（1）由题意分析可得：签约企业共200家，线上销售时间不少于8小时的企业有100家，那么线上销售时间不足8小时的企业有100家，每天的销售额不足30万元的企业占口,共有100xU = 55家.2020完成2x2列联表如下:销售额不少于30万兀销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小 时7525100线上销售时间不足8小时4555100合计12080200/? 200x(75x55-25x45)(2)由题意，得力

12、?二J120x80x100x100975计算得力？ =18.75 （结果写成假分数一、近似为19、近似为188以上情况只扣1分；其它情况按错误处 4理，本档3分不给）由于 18.75 7.879故有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.（注：如果卡方结果错误，最后的2分不给；如果临界值选错，最后的2分不给） 19.（本题12分）解(1 )由已知 =( + 1)4+(乂)以及 q =1 可知 00 ,从而有3an n + 1v-V/i根据累乘法得：4生。31 1 14an-=X X xx2 3 4*2)整理得：a2x3x4xx= *2)由于该式对于 =1也成立，于是数列

13、%的通项公式为：%=几5）（注：通项公式结果写成：a(2) 4 =t4乂), n + r+7=1(%)的形式，不扣分)Ix2x3xx%=(cN+) n, n bn = 7-所以：20.（本题12分）,I mr/rj2 + 4 + 6 + 8解(1)由题后可得x = 5 , y =430 + 40 + 50 + 70 二 47.5 ，所以相关系数r二1301313a720x7875 5a 35根据参考数据近p 2.646可得是：r0.98（2）根据（1）数据得4率 x-4xy 60 + 160 + 300 + 560-4x5x47.5 130 ，- 4_2之 X； - 4xz=l22 +42 +

14、62 +82 -4x52206.5,a = 47.5-6.5x5 = 15,因此，回归直线方程为y = 6.5x+15；（3） 务=6.50,与y之间是正相关, 当x = 10时，y = 6.5x10 + 15 = 80, J当温度达到10时反应结果大约为80.21.（本题12分）% =9,猜得:9% =9,猜得:92一1 = 2n + 3（2）证明：（i） = 1时，猜想成立,（ii）假设=左（左21）时猜想成立,即ak =2k 1则=k+1时,由 3%+i2k 12k 14+i2k + 3 1 2 + 3解得以+i2 +12（左+ 1） 12攵 + 5-2 亿+ 1） + 3即几=后+ 1

15、时猜想成立,2 一 1综上，时; 猜想成立，即。=. 2 + 3（3）由已知得2=（2一1）3，则=1x3 + 3 x 32 + 5 x 33+（2几一1）x3记为式3S =1x32+3x33+5x34+. +（2-1）x3* 记为式式与式相减得：整理得25 =-6 + （22）3向所以 5=（_1）3向+3（注：由于第（3）问依赖于第（2）问，如果第（2）问没有证明、证明错误、证明不完整，第 使正确，也要扣1分）22.（本题12分）（1） ln（2022e）2022.（3）问结果即证明：令函数（x） = lnx-x-l（x0）求导得/（%） =上三，由“（X） 0得X （0,1）,即函数h（

16、x在（0J上单调递增；由由（x）0得（l,+oo），即函数在1,+00）上单调递减,所以/2（x）/2=0,即lnxx1,当且仅当x = l时等号成立,从而 In 2022 V 20221, S|J 1 + In 2022 2022 ,即 ln(2022e) or alnx + 1 恒成立,1 9整理得：x1 - lax - x + 2anx- 0.2法 1：令函数/(%)=l%22度一1 + 2。111% 1(%0),r求导得：Ff(x) = x-26Z-1 + =JC3 0时，由于歹(1) = 2 所以。0不合题意.x2 2a + )x + 2a (工-1)(尤-2)0,即耳（X）无法恒大

17、于0. （0时，易知尸（X）在区间（0,1上单调递减，在区间1,+8）上单调递增,为使函数*x）0恒成立，只需函（%）同=尸（1）0,由此解得:3ci 4综上：ci 0), 2jc.t / 1 11 x? 2x 2则二5一，V 7 2 % x2 2x2上单调递减;上单调递减;由M(x)0得x(0+ g),即函数(x)在区间(0,1 + 6由M(x)0得X(l + j5,+oo),即函数(%)在区间1 + 6,+8)上单调递增,所以函数最小值为 (1 +整理得(l + J5) = l + J5 ln(l + J5),由已证不等式InxWx_10,即函数恒大于0此时由“(x)vO得X(O,1),即函数9(x)在区间(0,1上单调递减;由0(x) 0得，xe(l,+oo),即函数(x)在区间1,+cc)上单调递增,3所以函数(x)最小值为夕(1)=3所以函数(x)最小值为夕(1)=33，故 2a ， ci .(3)由 /(x) = %2 一(a + l)x + lnx( e R)求导得，/、 X2一+广二，/、 X2一+广二(x 1) (x a)当aWl时，在区间1,+oo)上单调递增，所以函数“X)在区间1同上的最小值为1) = q L当la0得X(0,l)D(d+8),即函数/(x)在区间(0和+8)上分别单调递增;由/(x)0得X(l,a),即函数/(x)在区间1,可单调递减，