吉林大学考研真题量子力学（含答案）1993.docx

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1、吉林大学1993年招收硕士研究生入学考试试题(含答案)考试科目：量子力学一 .设|力是粒子数算符N = a+a的本征函数，相应之本征值为h( 0),算符6+和 应满足对易关系力5一击+ =1。证明：同)(其中21)和脑力也是的本征函 数其相应的本征值分别为(-1)和(+ 1) O解：用粒子数算符后作用到a 上，即阳 )=a+ad 力=(cid+ -1)=aa+a 力-。=涧)_ 3 )= ( 1加7)上式表明囱8是弁的本征态，相应的本征值为( - 1)。同样，用粒子数算符介作用到石1上，即Na+n) = a+aa+ nj = a+(a+a + ln = d+a+a n-a+ n)=6+启|)_

2、6+ ) = ( +1)6+ nj上式表明/十 |力也是A的本征态，相应的本征值为( + 1)。二 .(类似2000年第二题)质量为机的粒子在一维势阱00.xQV(x) = * -Vo，Qx av中运动(匕。)，若已知该粒子在此势阱中有一个能量石=一寸的状态，试确定此势 阱的宽度八v解：对于E =一寸的情况，三个区域中的波函数分别为弘(X)= 0 2(1)=AsinZx% (1) = B exp(- ax)其中,12m(E+V). a -在x = 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件“2（。）=忆（。）得到Asin ka= 8e*(-M)Ak cos ka = -Ba exp (- aa)于是

3、有此即能量满足的超越方程。行 lv当石=一匕时，由于1、 741、 74小71Vo7iis最后，得到势阱的宽度4川叫)三.(类似习题选讲5.7)设作一维自由运得粒子，=。时处于夕(X,0)= 7l(sin2 kx+ cos kx)态上，求，=0和，0时粒子动量与动能的平均值。解：由于动量算符与动能算符对易，它们有共同本征函数%(x)= e*(ikx而=o时的波函数2 +(exp(iZ:x) + exp(-2 +(exp(iZ:x) + exp(-(x,0)= A(sin2 kx+coskxjA0时的结果与t = 0时完全一样。四.（见习题选讲6.3）对于类氢离子的任何一个本征态忆由（万，利用维

4、里定理、T T费曼海尔曼定理计算不与产。解：已知类氢离子的能量本征值为z22(1)F - F -乙匕L 疝n - y ? 一 C o ，力2式中，万为玻尔半径。由维里定理知- 1 -T = -V（2）总能量Ze2 1(3)所以，得到1=_里=_A)r Ze- 生) =1,2,3,(4)类氢离子的哈密顿算符为h21 a2 /(/+i)力2 zf+2 r dr2r(5)将/视为参数，利用费曼海尔曼定理，得到8En sh r, 1力2 idl dl 3711 Z27(/ + l/237(9)五.（类似1996年第四题）设两个自旋为g粒子构成的体系，哈密顿量人人 人二 2H = Cs1 -s2f其中，

5、C为常数,4与2分别是粒子1和粒子2的自旋算符。已知 ，=0时，粒子1的自旋沿Z轴的负方向，粒子2的自旋沿Z轴的正方向，求，0时 测量粒子1的自旋处于Z轴负方向的几率。解：体系的哈密顿算符为选择耦合表象，由于5 = 0,1,故四个基底为|1) = |11), |2)= |1-1); |3) = |10), |4)=|00)在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即0 0 0、人 C 0 1 0 0 H =-h240 0 10,0 0 0 -3?可以直接写出它的解为昆=?力 2,帆 HH+)石2 =5方2,同闫1闫一)*4)= |00)=1k 3c婷4=一7，己知7 = 0时，体系处于“(。)=|一

6、+)=1V210)-100)因为哈密顿算符不显含时间，故，。时刻的波函数为( ( exp E3 10)-exp 4 00)tl-+)exp -：C切14)乙-+)exp -：C切14)乙,1(3i、+)Jexp Cfit14J粒子1处于Z轴负方向的几率为w邑2 =-，1 =+|一+|(才=w邑2 =-，1 =+|一+|(才=六.粒子在一维势场v(x)中运动，非简并能级为：( = 1,2,3,)，如受到微扰八 A八叩二7)，的作用，求能量到二级修正，并与精确解比较。解：已知月0满足的本征方程为方。|鹿)=砌)人=_p可知P mn第攵个能级的一级修正为= wkk = pkk =0能量的二级修正为成2） = S nk22% （En Ek卜切与（Ek 后：卜女4 、1方 1%-22-球）x“*,/k利用H （成-其rwk力22得到近似到二级的解为精确解可以利用坐标变换确定。体系的哈密顿算符为人2力噬+S瓦若令则哈密顿算符可以改写为故精确解为户=+4