量子力学复习.docx

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1、一、填空.量子力学中，描写微观粒子状态的波函数随时间的变化规律由 （薛定谓方程）给出.1 . 一维线性谐振子的波函数-的宇称为.2 .在5表象中，G的矩阵表示为.3 .泡利不相容原理指出不容许有两个全同的处于同一个单粒子态.4 .高能粒子散射宜采纳方法处理，低能粒子散射宜采纳处理.5 .微观体系的状态由完全描述，由此可以得出体系的全部性质.它一般应满意、三个条件.1 .几率守恒定律的微分表达式.2 .描述微观粒子的动量算符为方二.3 .两个厄密算符之和（肯定，不肯定）为厄密算符.4 .原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为.5 .体系的具有确定值的状态称为定态.体系处于定态时，和

2、都与时间无关.1 .不能有两个或两个以上的处于同一状态，这个结果称为泡利不相容原理.2 .算符在其自身表象中是一个矩阵.3 .量子力学中，体系的任意态（x）可用一组力学量完全集的共同本征态裔（x）绽开： （%）= ZqM（%），绽开式系数% = . n.用球坐标表示，粒子波函数表为（匕仇0）,粒子在立体角dQ中被测到的几率为*.假如一个力学量在经典力学中有对应的量，那么表示这个力学量的算符由经典表示式中将动量力用算符代换得出.4 .满意式的矩阵S称为幺正矩阵，由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换.幺正变换（转变、 不转变）算符的本征值.5 .波函数应满意三个基本条件、.1 .量子力学描述方式的特

3、点是微观系统的运动状态用完全描写.2 .是指质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子.3 .粒子波函数为。,仇0）,那么粒子在球壳r + dr中被测到的几率为.4 . 一维无限深势阱中粒子的波函数”的节点数为.5 .占有数表象中，产生算符和湮灭算符a的对易关系为，一维线性谐振子的哈密顿算符百用 , 4表示为.6 .量子力学中表示力学量的算符都是算符，它们的本征函数组成.力学量/对应的算符户的本征方程为户四=4/.当体系处于波函数=所描写的状态时，测量力学量n产所得的数值必定是算符户的之一，测得白的几率是.1 .自由粒子的能量算符为.2 .在量子力学中，体系的量子态用希尔伯特空间中的来描述，

4、而力学量用描述.因此/ /人才 /人/十（码_（切（2分）(八人八人/八人人人/ /X / 人八 t/ 人人 人/即（AB-网）=iAB-BAJ/1、t i/ 八人人/I / /X八人即AB + B4 =-AB+BA这两个算符都是厄密算符得证.2. （12 分）解：由题知氢原子处于状态氢原子能量凡=-上修2 方2/ /X / 人八 t/ 人人 人/即（AB-网）=iAB-BAJ/1、t i/ 八人人/I / /X八人即AB + B4 =-AB+BA这两个算符都是厄密算符得证.2. （12 分）解：由题知氢原子处于状态氢原子能量凡=-上修2 方2/（2分）（2分）角动量平方的可能值为Z?=/（/

5、 + l）力2角动量z重量的可能值为 Lz = mti所以在此状态中，氢原子能量有确定值（即该值消失几率为1）为44纥=-券=$5 = 2)（2分）角动量平方有确定值（即该值消失几率为1）为乙2=/(/+1)%2=2力2(/ = 1)(2分)角动量z重量的可能值为Lzi=mh = O（m = O）消失的几率为:（2分）L二2 二机力=一九（m = -1）3消失的几率为一4（2分）其平均值为1 33L = xOh x（一力）=h（4 分）2 444（4分）四、证明（每题7分，共14分）1.证明：-Et对于定态，可令夕（了，。=（7）/（，）= （产）6方（2分）几率流密度矢量二包严 厂”） 2（

6、2分）BA-ABJ = iAB-BAiEt一上 Et= y/(r)e /)*( (产)e /)*(e /)2i 力-Et EtEt -Et=i/(f)e h eh Vi/e h ()(3 分)24=工(产)(7)一)(7)23 .普朗克的量子假说揭示了微观粒子的特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的性.4 .算符在其自身表象中是一个矩阵，并且此矩阵的对角元素是算符的.5 .线性谐振子的零点能是所要求的最小能量.6 .每个电子具有自旋角动量M,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值.7 .在考虑自旋时氢原子的第个能级的简并度为.1 .依据表示力学量的算符规章写出量子力学中角动量算符的形式.2 .定

7、态薛定谓方程的表示式为.3 .乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的基本假设中，每个电子具有自旋角动量宁，它在空间任何方向上的投影只能取个数值为；每个电子具有自旋磁矩Ws，它和自旋角动量了的关系是 （-6表示电子的电荷，表示电子的质量.4 .波函数的标准条件是：、.5. 1924年，德布罗意在光有波粒二象性的启示下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假说.把粒子的能量E和动量力与波的频率n和波长；I联系起来，表示为德布罗意关系、.二、单项选择.以下表达式错误的选项是（）.A. Lx,Ly = ihL=B. x,px = ifiC. aa = lD. A,BC = BA,C + A,BC2.占有数表象中，以

8、下表述有误的是（）.a,粒子数算符为R=a% b.线性谐振子的哈密顿算符方=力阳0%+；）C. a+ l + D.- 1）3 .电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，不计电子自旋，第个能级有（）度简并.A. n B. n2 C. n-lD. 2n.（三,工）的共同本征函数是球谐函数乂（仇夕），以下表述正确的选项是（）.A.柞丫尿。*） = 1（1 + 1）到m3，0）B. 仇（a。）=哂其夕夕）AC.尸的本征值是/（/ + 1）D.乙的本征值是21 .粒子处于一维束缚态，能级基态的节点数为（）.A. 1 B. 2 C. 0 D.均有可能一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用.玻色

9、子只有两个可能的单粒子 态.体系可能的状态有（）个.A. 4B. 3 C. 6D.无法确定.以下对力学量算符户的本征值和本征函数说法错误的选项是（）.A.本征值肯定是实数B.本征函数构成正交归一函数系C.本征值必大于零D.本征函数构成完备函数系).3 .以下有关散射理论说法正确的选项是（A.高能粒子散射宜采纳分波法处理8 .低能粒子散射宜采纳玻恩近似处理.总散射截面。= Jq（&0）dO （久夕夕）为微分散射振幅）D.碰撞中原子被激发属于非弹性散射.测不准关系的存在是由于（）.A.试验仪器精度的限制B.测量技术的限制C.波粒二象性D.不能分别测准粒子的坐标和相应的动量1 .以下关于表象间的变换

10、矩阵说法错误的选项是（）.A.表象间的变换矩阵是幺正矩阵B.幺正变换不转变算符的本征值C.幺正变换转变矩阵的阵迹D.幺正变换不转变态矢量的归一化2 .假设3,方是厄密算符，那么以下各算符中必为厄密算符的是（）. 人 人/VA. AB3. A + BC.D. cB （c 是任一复数）.以下对玻色子和费密子的表达中错误的选项是（）.A.全同费密子体系的波函数是反对称的B.质子是玻色子C.全同玻色子体系听从玻色一爱因斯坦统计D.电子是费密子4 .以下关系错误的选项是（）.A力，凡-=。B. x, px = itiC. &y,=2ztxD. y,pz = ihA.以下有关工和于说法正确的选项是（）.A

11、. Lz和自有共同的本征函数系 B. D的本征值由磁量子数确定一 /X-C. ,的本征值是加力，其中m=1,2,D.2 .在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为假如粒子的状态由波函数= x）描写，那么归一化常数A等于（）.3 .两个厄密算符户、6之积为厄密算符的一般条件（）.人 人/X /人 人/A. F,G+=0 B. FGGF C. F,G = 0 D. F = G4 .以下对玻色子和费密子的表达中正确的选项是（）.A.全同费密子体系的波函数是对称的B.质子是费米子C.全同玻色子体系的波函数是反对称的D.电子是玻色子1. Planck在解释黑体辐射时，提出了（）概念.A.光子B.能量子

12、C.光量子D.辐射场量子.以下关于波粒二象性说法正确的选项是（）.A.粒子性就是经典中的粒子性质B.波动性是粒子运动的相干叠加性C.波动性就是经典中波动的特点D.粒子性就是物质的动量和能量守恒 f 0, x a2 .在一维空间中运动的粒子的势能为那么其基态波函数的宇称是（ ）.A.奇宇称 B.偶宇称 C.奇和偶宇称都有可能D.无法推断13、在一维无限深方势阱中的粒子可以有假设干能态，假如势阱的宽度缓慢地增大至某一较大的宽度，那么（）oA、每一能级的能量增加；B、能级数增加；C、每个能级的能量保持不变；D、相邻能级间的能量差减小；E、粒子将不再留在势阱内。14、以下波函数哪个所描写的状态是定态？

13、（）ix-it-ix-itA、*（乂。=Tl + v（x）e 力；ix-i-t-ix+i-tB、中2（%，。= （%）611 +u（x）e ；C、中3（羽，）=（九）e h + v（x）e h ；_.Ef昌D、HCxJ）= （九）e 万 + v（x）e 。TV15、（万工二）的共同本征函数是球谐函数乂以下表述正确的选项是（）.A甘丫加四（P）= + 1）/”（a）B.=mhYh阳哈A人C.产的本征值是W + DD. 4的本征值是机16、电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，不计电子自旋，第个能级有（）度简并.A.B./；c n-1.d .217、以下对力学量算符户的本征值和本征函数说法错误的

14、选项是（）.A.本征值肯定是实数；B.本征函数构成正交归一函数；C.本征值必大于零；D.本征函数构成完备函数系（2,4）的共同本征函数是什么？相应的本征方程和本征值分别是什么？4.对于3算符，以下关系式不正确的选项是（）.A. 5；的本征值 b,2=,其中，= %,y,z B. 无，6 +=0C. |dJ = 0D. &y,al = 2i&x1 .单位时间内，与粒子前进方向垂直的单位面积内通过的几率称为（）.A.几率密度 B.几率流密度C.质量密度 D.质量流密度.以下有关德布罗意关系表述错误的选项是（）.一hA. E-hcoB. p-hkC. E = hvD. p = nA匕 x a法正确的

15、选项是（）.A. （x）及其一阶导数（犬）都连续B. （x）及其一阶导数（X）都不连续C. （x）连续而其一阶导数（x）不连续D.C. （x）连续而其一阶导数（x）不连续D.（%）及其一阶导数（X）连续与否不确定4.以下波函数所描写的状态是定态的是（-刍 自A. （x/） = （x）e 人 +u（x）e hC. w（x,t） =4.以下波函数所描写的状态是定态的是（-刍 自B. （x/） = （x）e 人 +u（x）e hC. w（x,t） =).C. (九,，)=十 + v(x)” (Ei w E2).e. ,EIX-1t-ix+itD. = 力 + v(x)e h5. 一体系由三个全同玻色

16、子组成，玻色子之间无相互作用.玻色子只有两个可能的单粒子态必）和心）对体系可能状态说法有误的是（）.A.体系有3种可能的状态B.。=。（）必（%）4（%）是体系的可能状态C. % =。2（功）。2（%）。2（%）是体系的可能状态D.=队9）。1 （%）。2（%）+ G（%）1（%M（%） +。2（2）。1（%）/（）是体系的可能状态三、简答.束缚态、非束缚态及相应能级的特点.1 .完全描述电子运动的旋量波函数为亿邑）=（精确表达,（元-力/2）JM亿力/2）及以产,力/2）d3-分别表示什么样的物理意义.2 .（三,工）的共同本征函数是什么？相应的本征方程和本征值分别是什么？ （8分）4. 一

17、个电子运动的旋量波函数为（产,、）二4. 一个电子运动的旋量波函数为（产,、）二X/，力/2）、（产，-力/2/,写出表示电子自旋向下、位置在产处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向上的几率的表达式,（6分）1.写出力学量产在夕态中的平均值公式（已归一化和未归一化两种状况）.（4分） 2何谓几率流密度？写出几率流密度/（产J）的表达式.（6分）3. 的本征函数为% 乙1/2,写出两电子体系的自旋函数娉），旌之），公3）,2.0分）1 .写出定态薛定谤方程及定态波函数.2 .二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什 么？1 .简述量子力学中关于力学量与算符关

18、系的基本假定.2 .指出波函数（/） = （）/2和+可可/（和所描写的状态是否为定态并说明理由.1 .写出电子自旋力的两个本征值和对应的本征态.（尸，乙）的共同本征函数是什么？相应的本征方程和本征值分别是什么？在非相对论量子力学中，波函数具有不确定性，简要回答不确定性以及产生不确定性的缘由。四、证明不和分别为电子的自旋角动量和轨道角动量，7 =为电子的总角动量,证明一 /X2 人J , J a = 0, ct %, y, Z .粒子自旋处于=力/2的本征态2=,试求3和6V的不确定关系：“Sx）2.（ASv）2=9.1.证明:3V5Vs.=，. x y z五、综合3 .采用测不准关系估量谐振

19、子的基态能量.4 .在必表象中，求力的本征态._/0 0解：在表象中,优的矩阵表示为九二 U设作的本征矢（在反表象中）为=,那么有可得Z?=而，a Ab解得2 = 1所以；1 = 1,那么=人； = 1,那么a = b采用归一化条件V = 1求得力的两个本征态为（2分）9 1V（a2（4分）（2分）（2分）（2分）1 .局限在x = 0范围内运动的粒子的归一化波函数为0xaxa0xaxa计算其动量和动能的平均值.（12分）1、对于氢原子基态，计算 2、质量为m的粒子在无限深势阱（0xa）中运动，处于基态。写出能级和波函数，并计算平均值无，万，而。2 .设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及

20、角动量z重量的可能值，这些可能值消失的几率和这些力学量的平均值.Y00cosO = Yi()=平均值.Y00cosO = Yi()=（12 分）”0 0 人3 .其=一 ，求的本征值和所属的本征函数,（12分）1 2（1 0J ，1 . 一质量为的粒子在一维势箱0vxy（2分）7 7 力 2 力 7作为估量，取（Ax（八）2 B一 那么/424（M2（2分）将此结果代入式（3）,并且计算后的微小值，就是所求的基态能量._方 21 E = + 一疗(4)2 令 y = (Ax)2 ( y 0)83)2 2_力2即 =-84y 2,dE力由=0 付 y = +dy力-取y = 代入* =2/Z69

21、1 9 - 1+彳40I，得石mm =hCO22当3）2h .时2/769-1iEmin =3五（6分）3. （10 分） 解：axoc -（%） =（2分）4力 4= -hco数.（14 分）（6分）（2分）,2 icot2已归一化八 $2力2动能算符T = =V242解：波函数（匕a）已归一化93r2 sin 0drddOd（p = （）（5 分）2r93r2 sin 0drddOd（p = （）（5 分）2r二J %,仇夕）Wo （人人）d u =J； J： J： re 7（2） c（p） =（7）0（八夕夕川万I pr 西尸（2分）取球坐标，且与z轴方向全都，贝万广=prcosS（24力产2%不（4；2 + 力2）2（24力产2%不（4；2 + 力2）2（5分）动量几率分布函数卜（p）=卜（p）=8方12（喏2+力2）4（2分）2.证明:（2分）由条件知4和月是厄密算符，即万=3,声=月,（八 八、十八4.人上/ 人人、十八4.八ABj = BrAf,（叫=A9,