第六章习题6.3答案.docx

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1、1 .按(x-4)的幕展开多项式 f(x) = / -5x3 +x2 3x+4.解：所以.应用麦克劳林公式，按x的哥展开函数=3% + 1)1解：/(O)= l.所以.求函数/(x) = 按(x-4)的嘉展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式。解：4) = 2.5128_785(x 4)4.其中立L 117所以/(x) = V = 2h(x-4)(x-4) 464于x和4之间。2 .求函数/(x) = lnx按(x-2)的基展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式。解：/(x) = L 继而可 归 纳 出 ，)(尤)=(1产(一1)*.于 是/(2)= ln2,/(w)(2)= (-1 广(几1)!

2、 2T 所以3 .求函数/(x) =，按(x + 1)的事展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式。解：/(x) = L继而可归纳出/(%)=(i) m”?叫.于是/(-1)=川.所以f(x = = -l-(x + l)(x + l)A+(1)向 jT+2)+ 其中。位JC于-1和X之间。4 .求函数/(*=tanx的带有皮亚诺型余项的3阶麦克劳林公式。解：/(x) = tanx,/(O)= 0.所以/(%) = tan% = % +。(工3).5 .求函数= ”的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林公式。解：归纳可得/(，1) (%) = nex + %炉J(0)= ,所以.利用已知的展开式求下列函数的

3、局部麦克劳林展式：x2解：ex=l + x + 2!xn+ -!F On3(x),所以xe =x+%2 +土+ + v 72!xn(2) chx.x2 解：ex = + x + xn+ -1F O2! n（x），所以2!x4H4!+工+走（2n）! I2/z+l/ 、 1 1+x(3) In-x解:ln(l + x)23XX-X1231-(1)，? 1 + o(xn ,所以n In= In (1 + x) - In (1 - x) = 2x + 1 jc3x3 +-x5 + +?12-1 +o(x2n52 1(4) cos2 x.丫2 42解：cosx=l- + + .+ (-ir- + o(

4、x2w+1),所以2! 4! v 7(2m)! v 721 + cos 2x t 2 23x4cos x = -x +4!（2m）!+ 2x +1(5)解：(i + x)T =1 x + x2+. +(_i)x+o(x)，所以X，+ 2x + 17二Xx-+ x + 3- 4(1- x) = 1 3x 3x2 4x4 4x54x + o(x).。(6) cosx2.x2解：cos X = 12!%4H4!+ （157 +。（0向），所以7（2/77）!）cos2=l- + - 2! 4!丫4，+- + O(XI 7(2m)!,47779.求arcsinx的局部麦克劳林展式。解：(arcsinx

5、) = ,=(l-x2幻+4+.+但卫x2n +ox2n分得arcsinx = x + x3 + x5 Fx2n+i +o(x2,l+i6402!(2 + l)10.写出下列函数的局部麦克劳林公式至所指阶数：(1) vcosx(x4 j解：(2) arctan解：九3所以 arc tan x = x 一 耳 + o (/)(3)in (sin祖巧sin解:解:(4)x3解:所以2) = -x-X2 -x3 +o(x,3(5)1 x + %2x4解:解:?厂2I= = XJl X + 厂I 2V,2X I 1 X2 x + O(X ,2+ O| x411.利用泰勒公式求下列极限:(1)limx-

6、+ 0)iox2v 7解：lnfl + x + x2) + lnflx + %2)(5) lim1Lxsinx解：r *-1-Vlimsin 2x解：(1 1 、lim。I x sinx )解：12.设/(%)存在，证明证明：lim J(=o + /Z)+ %o/Z) 2%o)20h2九)+ /小)八智必2十。卜=lim-hfO=lim/(弋川=/(%).20 h2 V 7/&) 小)Zz + T*。 _2小。)/Jh213,设/（）（%）存在，且/（%） = /（%） =/）（） = 0,证明 证明：直接利用皮亚诺型余项泰勒展式即可。14.试确定常数。和Z?,使/（、）=%一（4 + （：05%）0出工为当工 - 0时关于x的5阶无穷小。解:所以1-a-b = 0, + 4 = 0,即 nfx，并且仅在为=x*,i = l,2,时等号成立，原题得证。16,设函数x) = lnx,求证:当0时,/ 当r0 = 1,2,九)时,有证明：当X0时,/a）=_，j”a）=eo.所以XX-InI nV_ln(xJ,即 N% Z=1X/ -L，在其中取七=-即得-j产j-的底2易i 一 十 一十 + 一X x2