2022-2023学年人教A版选择性必修第三册 7.5　正态分布 学案.docx

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1、7.5正态分布新课程标准新学法解读1 .了解正态曲线和正态分布的意义.2 .理解正态曲线的性质.3 .了解3。原则，会用正态分布解 决实际问题.1 .在理解正态分布的概念过程中，增强数学抽象的学科素养.2 .在求解正态分布问题的过程中， 提升逻辑推理、数学运算和数学建 模的核心素养.课前篇自主学习固基础笔记教材知识点1连续型随机变量随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实 轴，但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.知识点2正态曲线与正态分布(1)解析式 6 后 2。一，xER.其中 WR,。()为参数，它的图象在R轴的上方，可以证明了轴和曲线之间的区域的面积

2、为1.我们称7U)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称 ，若随机变量x的概率分布密度函数为儿七)，则称随机变量 X服从正态分布，记作XNQ/)，特别地，当=0,片1时，称 随机变量X服从标准正态分布.(2)正态曲线的性质正态曲线关于直线 对称(即/决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；正态曲线与x轴所围成的图形面积为；。决定正态曲线的“胖瘦”：。越大，说明标准差越大，数据 的集中程度越，所以曲线越: 越小，说明标准差越小，数据的集中程度越,所以曲线越.又因为 E(c) = 0.5Xl+2x+3y=y, 3所以 x=W，y=g.15, r 151 1 J, 15Y 3

3、55所以一旬2xo.5+(2一司2xg+|3一留2乂豆=瓦.3.（2021全国高考乙卷数学（理）某厂研制了一种生产高精产品 的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备 和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和亍，样本方差分别记为力和比（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较IH设备是否有显著提高（如果万一方2上，则认为新设备生产产品

4、的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为解：X =9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1 +10.2+9.710=y1().1+ 10.4+10.1+ 10+10.1+ 10.3 +10.6+10.5+10.4+1().510= 10.3,、Q22+Q32+0+Q22+Q12+0 22+0+Q12+0 22+0.32=0.036,7 0.22 + 0.12 + 0.22 + 0.32 + 0.22 + 0 + 0.32 + 0.22 + 0.12 + 0.22 = 0.04.依题意，7 -7 = 10.3- 10 = 0.3 = 2X0.15 = 2VojP =

5、满足y x 22,2Mo.022 5，4+，0w所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.课后自读方案误区警示对期望和方差的应用认识不到位致错示例从甲、乙两位射击运动员中选择一位参加比赛，现分别统 计甲、乙两位运动员在训练中命中的环数X,y,得到的分布列如下：X8910p0.40.20.4Y8910P0.10.80.1试问从成绩上来看派谁去比较好？正解由题意得，E(X) = 8X0.4+9X 0.2+10X0.4=9,E(y)= 8X0.1+9X0.8+10X0.1 =9,D(X) = (8-9)2X0.4+(9-9)2X0.2 + (10-9)2X0.4 = 0.8,D(y)=

6、(8-9)2X0.1+(9-9)2X0.8 + (10-9)2X0.1=0.2.则E(X) = E(y), D(X)D(y),即在期望相同的情况下，乙的成绩 比甲的稳定，所以派乙去比较好.错因探因本题容易在求出两位运动员成绩的期望之后，由E(x)=E(y)误认 为派淮去都一样，出现错误的原因是对知识的应用认识不到位，误以 为只用期望就可以进行判断.此类问题一般还要用方差判断随机变量 取值的稳定性.误区警示期望反映了随机变量的平均取值水平，当期望相同 时，并不意味着两个随机变量的取值没有差异.还需要通过对方差比 较，确定其取值的稳定程度，再进行决策.(3)3。原则如果XN，心),那么P(XW)

7、= P(X2)=,P(|X-/|WG = Pa-WXW+G,P(|X川 W 2Q = P(jli - 2(r&X W +2。产,P(|X W 3b) =- 3c WX+3Q 梃.最后的式子意味着，X约有99.73%的可能会落在距均值3个标 准差的范围之内，也就是说只有约 的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的 “原则”.上述结果可用图表示如下：答案：(1)正态曲线(2)1弱胖强瘦(3)50% 68.27% 95.45% 99.73% 0.27% 3。知识点3标准正态分布(1)定义：当=，。=时，称随机变量X服从 标准正态分布，记作X.(2)概率计算方

8、法：如果XN(0)，那么对于任意a,通常记(a)=,其 中(。)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(一 8, )内所围的面 积.特别地，(一)+()=.思考：正态分布丫M/2, 4)化为标准正态分布的变换是什么？答案：(1)0 1 M0,l)(2)P(xa) 1思考：提示：借助X=亍实现变换.重点理解1 .正态分布完全由和。确定，参数是反映随机变量取值的 平均水平的特征数，可以用样本平均值去估计；。是衡量随机变量总 体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.2 . 一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主 次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.3 .正态变

9、量在三个特殊区间内取值的概率是我们计算有关正态 分布概率的重要依据.当随机变量所在的区间不对称时，不妨先通过 分解或合成，再通过正态曲线的对称性解决问题.自我排查1 .若 /= e ? ,zGR,贝/ (j*)()后A.有最大值，也有最小值B.有最大值，但无最小值C无最大值，也无最小值D.有最小值，但无最大值I 、既答案：B 解析：当x= 1时，-x)有最大值/1)=，方=2兀无 最小值.2.(2021河北保定第三中学高二期中)设随机变量J服从正态分布M/z, r),若函数r)=f+i0x+。有零点的概率是则=()8 B. 25 C. 10 D. 16答案：B 解析：因函数/(1)=r+10.

10、:+有零点，则/=1004。20,即4W25,于是得P4W25)=:又。M/z,/)，根据正态分布的对称性可知 =25,故选B.3. (多选题)把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位, 得到一条新的曲线下列说法中正确的是()A.曲线b仍然是正态曲线B.曲线。和曲线。的最高点的纵坐标相等C.以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线4为正态分布的 总体的方差大2D.以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线Q为正态分布的 总体的均值大2答案：ABD 解析：正态曲线向右平移2个单位，0不发生变化， 故C错误，其他正确.4. (2021安徽宣城高二期末)设XN(5, )，若X(5,9)的概率 为0.4

11、5,则X(l, +8)的概率为.答案：0.95 解析：由题意可知， =5, P(5X9)=0.45, .P(l%5) = ().45,P(X 1)=1-P(1 xl)= 1 P(X1)= 1 -0.05=0.95.5. (2021.云南昆明高三一模)随着生物多样性公约第十五次 缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆 明市举办，“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作又成为国际 范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产 云南，国家二级保护植物.为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区 随机抽取100株滇山茶测量胸径Q(厘米)作为样本，通过数据分析

12、得 至IJON( 12.5,4.52).若将0221.5的植株建档重点监测，据此估算10 000株滇山茶建档的约有 株.(附：若X/),则一oWXW+b)=0.682 7, P(/z-+2a)=0.954 5)答案：228 解析：由题意知：P(D221.5) = P(O2 + 27),而 PQi -2ZXW+2G = 0.954 5,、,1 PQ/2bWXW+2b）尸（。9+ 2o）=2-0.022 8,J 10 000株滇山茶建档的约有228株.故答案为228.课堂篇重点难点要突破研习1正态曲线的图象及其应用典例1如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态 分布的概率密度函数的解析式，求

13、出总体随机变量的期望和方差.思路点拨：给出了一个正态曲线，并给出了该曲线的对称轴和最 大值，就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式.解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=2()对称， 最大值是赤，所以 = 20.由 k -厂，得y 2m 0 2y 兀于是概率密度函数的解析式是/(z) = e 1,彳(8,+8),总体随机变量的期望是4=20,方差是=(也了=2.巧归纳正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：(1)对称轴方程为x=；(2)最值为季岔，这两点把握好了，参数，便确定了，代入即可求出相应的解 析式.练习1已知三个正态分布密度函数e %y 2,7iai(xeR, i=

14、l,2,3)的图象如图所示，则()片物(x)片32(幻I/ 0XA. |内B:仅=3，6=。2/C. 1=423，。1。2 =。3D. 42=3，。1=。2内答案：D 解析：因为正态曲线关于工=对称，且越大图象 越靠近右边，所以可得2=3.又因为。的值反映的是这组数据的集中情况，其C值越小图象越 高瘦，。值越大图象越矮胖，所以可得6=6g.研习2利用正态分布的对称性求概率典例2设XN(10,l).(1)求证：P(1X2) = P(18X19)；(2)若 P(XW2)=。，求尸(10X18).(1)证明：:XN(10,l)，正态曲线./U)关于直线X=10对称，而区间(1,2)和(18,19)关

15、于直线尤=10对称，所以 P(1X2)=P(18X19).(2)解：P(XW2) + P(2XW1O) + P(1OX18) +尸(X218)=l, = 10,P(XW2) = P(X218)=mP(2vX 10)=P( 10X 18),A2a+2P(1OX18)=1,niI1 2。 1即 P(10X18)=f=5。.巧归纳利用正态分布求概率的两个方法1 .对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和 为1,故关于直线X=4对称的区间上概率相等.如：(i)p(x)=ip(xe。)；(2)P(X+a).2 . “3c”原则法：利用X落在区间口一0, +力口-20, + 2用, 口一 36+3

16、例内的概率分别是0.6827,0.9545, 0.9973求解.练习2 (2021江苏淮安高三三模X多选题)若随机变量之 N(0,l),则下列结论正确的是()A.该正态曲线关于直线尤=1对称B.若 P(BW 1.52)=0.935 7,则 PtL52)=0.064 3C.若 1.49)=0.931 9,则。仁一 1.49)=0.931 9D.当心0时，若尸(。与处=8(力 则P(2r) = 28(x)答案：BD 解析：A:由题设知：该正态曲线关于直线x=0对 称，错误：B:尸(01.52)=1一尸(4或1.52)=0.064 3,正确；1.49) =1.49)= l-PQWl.49)=0.06

17、8 1,错误；C: P(同2x)=Pe2x)+P(4W-x),而由对称性知 P(42x)=PeW -%),所以 P(2x)=2pa),正确.故选BD.研习3正态分布的实际应用典例3某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条 路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间 (单位为分)服从正态分布M50J02)；第二条路线沿环城公路走，路程 较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布M60,4，(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线？(2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线？解：由题意得 XN(50,102), yn(60,42).根据正态分布的2g区间性质。色一=0.954

18、5得到 如下结果：对 X： = 5()； =1()； 2。区间为(30,70),对匕=60； a=4； 2。区间为(52,68),要尽量保证用时在(30,70), 丫1 (52,68)才能保证有95%以上 的概率准时到达.(1)时间只有7()分钟可用，应该走第二条路线.(2)时间只有65分钟可用，两种方案都能保证有95%以上的概率 准时到达，但是走路线一的平均用时比路线二少了 1()分钟，应该走 第一条路线.巧归纳解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌 握正态分布在+可，口2g 4+2。，口3b, 4+3。三个区 间内的概率.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.练习3 (2

19、021江西高二期末)某厂包装白糖的生产线，正常情 况下生产出来的白糖质量服从正态分布M500,52)(单位：g).(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485 g的概率约 为多少？(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量 均小于485 g.检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要 求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：XN )，则 P(4oWXW4+o)20.682 7,+ 2。)、0.954 5,+3。)0.997 3.解：(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg, 由题意可知XN(500,52).由于485 = 500 3X5,

20、所以根据正态分布的对称性与“3。原 则“可知P(X485)=1(1-P(500-3X5WXW500 + 3X5)比；X0.002 7 =0.001 35.(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由可知，随机抽取两包检 查，质量都小于485 g的概率约为0.001 35X0.001 35=0.000 001 82 = 1.82X10-6,几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认 为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.课后篇基础达标延伸阅读1.设一随机试验的结果只有A和A ,且P(A)=用，令随机变量(1, A发生，户；后;则4的方差。等于()10, A不发生,A. tnB. 2/?t(l m)C. m(m 1)D. m m)答案：D机变量4的分布列为J E( J=0 义(1 - m) +Xm=m.01p1 mm:.D(f) = (0m)2 X (1 m)+(l m)2 X 故选D.2.已知随机变量4的分布列为ei23p0.5Xy若 (c)-g-,则 )=.答案：H解析：由已知，得x+y=: