高考数学二轮复习专项训练-导数的综合问题.docx

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1、高考数学二轮复习专项训练导数的综合问题一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）已知函数f(x)=exaln(axa)+a(a0)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为()A. (0,e2B. (0,e2)C. 1,e2D. (1,e2)2.（5分）设f(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，f(x)3x+7的解集为()A. (,1)B. (,3)C. (3,0)(1,+)D. (1,0)(1,+)3.（5分）函数f(x)=13sin2xasinx，且对于任意的x1,x2(,+)，x1x2,f(x1)f(x2)x1x20的解集为(1e,+)；函数g(x)在(0,e

2、)单调递增，在(e,+)单调递减；若x1x20时，总有m2(x12x22)f(x1)f(x2)恒成立，则m1；若函数F(x)=f(x)ax2有两个极值点，则实数a(0,1)则正确的命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 45.（5分）已知函数f(x)=3x+(13)x，则使得f(2x)f(x+1)成立的x的取值范围是()A. (,1)B. (1,+)C. (13,1)D. (,13)(1,+)6.（5分）已知函数f(x)=exex，若对任意的x(0,+)，f(x)mx恒成立，则m的取值范围为()A. (,1)B. (,1C. (,2)D. (,27.（5分）设f(x)=13x312x22

3、x+1，当x2,2时，f(x)m恒成立，则实数m的取值范围是()A. (136,+)B. 136,+)C. (,73)D. (,738.（5分）已知函数fx=xlnxa，若不等式fx0的解集为12,110.（5分）对于函数f(x)=16ln(1+x)+x210x，下列正确的是()A. x=3是函数f(x)的一个极值点B. f(x)的单调增区间是(1,1)，(2,+)C. f(x)在区间(1,2)上单调递减D. 直线y=16ln316与函数y=f(x)的图象有3个交点11.（5分）已知函数f(x)=xexmx+m2(e为自然对数的底数)在(0,+)上有两个零点，则m的可能取值是()A. eB.

4、2C. 8D. 1012.（5分）已知定义在(1,+)的函数f(x)，f(x)为其导函数，满足1xf(x)+f(x)lnx+2x=0，且f(e)=e2，若不等式f(x)ax对x(1,+)恒成立，则实数a的取值可能为()A. eB. 2C. e2D. 413.（5分）已知函数f(x)=x3ex，则以下结论正确的是().A. 函数y=f(x)存在极大值和极小值B. f(e2)f(1)fx，则不等式fx1n21n3成立20.（12分）已知函数f(x)=lnx+1x+ax.(1)若函数f(x)在1,+上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)=x+1x，对于任意x11,e，总存在x21,

5、e，使得f(x1)g(x2)成立，求正实数a的取值范围.21.（12分）已知函数f(x)=ex(x+a)，其中e是自然对数的底数，aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)=f(xa)x2，讨论函数g(x)零点的个数，并说明理由22.（12分）设aR,f(x)=x|xa|.(1)若函数f(x)在0,+)上为单调函数，求实数a的取值范围；(2)设a0.证明：函数F(x)=f(x)12x有3个零点；若存在实数t(ta)，当x0,t时函数f(x)的值域为0,t2，求实数a的取值范围23.（12分）已知函数f(x)=x2alnx(常数a0)(1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(1,f(

6、1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数)答案和解析1.【答案】B;【解析】此题主要考查函数的性质，导数研究函数的单调性和函数最值与不等式恒成立问题，属于较难题.先将问题转化为ex0alnax0a+a0，其中ex0=ax01，代换后求得x0的范围，即可求得a的范围.解：由题意得f(x)的定义域为1,+，f(x)=exaln(axa)+a(a0)，求导得fx=exax1，令gx=exax1，则gx=ex+ax120，所以fx=exax1在1,+上单调递增，由函数的单调性可得y=ex与y=ax1在1,+有一个交点，记作x0，则ex0=ax01，所以

7、x1,x0时，fx0，所以f(x)在1,x0上单调递减，在x0,+上单调递增.因为不等式f(x)0恒成立，所以fx00，所以ex0alnax0a+a0，即1x01lnx01+1lna0，即1x01lnx01+1lnex0lnx010，化简得1x012lnx01x010，设x=1x12lnx1x1，x(1,+)，易知(x)单调递减，且(2)=0，所以1x00，可得x在(1,2)上单调递增，所以0xe2，即0a3x+7g(x)g(3).利用导数研究函数的单调性即可得出解：令g(x)=f(x)(3x+7)，xR，g(3)=f(3)+2=0f(x)3x+7g(x)g(3)g(x)=f(x)3g(3)，

8、解为x3x+7的解集为(,3)故选：B3.【答案】B;【解析】此题主要考查函数单调性的应用，不等式恒成立问题，换元法的应用，属于中档题.根据题意可得f(x1)x1f(x2)x2x1x20恒成立，即g(x)=fxx在(,+)上单调递减，求出g(x)=43cos2xacosx53，可得g(x)0在(,+)上恒成立，令cosx=t，则t1,1，则43t2at530在1,1上恒成立.令(t)=43t2at53(t1,1)，得到(1)0(1)0，求解即可得到a的取值范围.解：对任意的x1,x2(,+)，且x1x2，都有fx1fx2x1x21，即fx1fx2x1x21=f(x1)x1f(x2)x2x1x2

9、0即lnx+1x0，lnx+10，即x1e故正确;对于，g(x)=lnxx2，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)递增，故错误;对于，若x1x20时，总有m2(x12x22)f(x1)f(x2)恒成立，则m2x12x1lnx1m2x22x2lnx2在(0,+)恒成立，令H(x)=m2x2xlnx，(x0)，H(x)在(0,+)上为增函数，H(x)=mxlnx10恒成立，即mlnx+1x在(0,+)上恒成立，令r(x)=lnx+1x，则r(x)=lnxx2，令r(x)0得lnx0，有0x0时，y=3xln3+13xln13=3x3xln30，则函数f(x)=3x+(13)x在0,+上单调递增，

10、由偶函数的定义得2xfx+1等价于f2xfx+1，2xx+1，解得x,131,+.故选D.6.【答案】D;【解析】此题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可解：令g(x)=exexmx，x(0,+)，则g(x)=exexm，x(0,+)，易得函数y=exex2在x(0,+)恒成立，故当m2时，g(x)0在x(0,+)恒成立，故g(x)在(0,+)递增，又g(0)=0，故f(x)2时，g(x)在x(0,+)递增，故存在x0(0,+)恒成立，使得g(x0)=0，故g(x)在(0,x0)递减

11、，在(x0,+)递增，又g(0)=0，则g(x0)0恒成立矛盾，故m2，即m的范围是(,2,故选：D.7.【答案】A;【解析】此题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，利用导数解决不等式恒成立问题.属于中档题.求出函数的导数，令导数等于0，得到x=1或2,即可知fx0,1x2，所以可得最大值为136，再根据当x2,2时，f(x)fxmax=163.解：f(x)=13x312x22x+1，fx=x2x2，令fx=0,x=1或x=2,所以当fx0,1x2，即f(x)在(1,2)上单调递减；当f(x)0，x2，即f(x)在(,1)和(2,+)单调递增，所以函数极大值为f1=131221+1=136,

12、所以函数在2,2上的最大值为136，因为f(x)fxmax=163.故选A.8.【答案】C;【解析】解：由f(x)=xlnxa，则由f(x)=1+lnxa=0.可得，x=1e，当a0时，x(0,1e)，f(x)0，f(x)单调递增，且f(1)=0，因为不等式fx2仅有两个整数解，则f(x)2有两个整数解为1，2，所以，2aln22且3aln32，解得a(ln2,32ln3；当a0时，x(1e,+)，f(x)0，f(x)单调递减，且f(1)=0，则f(x)2整数解有无数个，不满足题意故选：C.先对函数求导，然后利用导数与单调性的关系，结合不等式的整数解存在条件即可求解此题主要考查了利用导数研究函

13、数的单调性和不等式的解的相关问题，属于中档题9.【答案】ACD;【解析】此题主要考查了函数的单调性，最值问题，.对于A，求出f(1)，f(1)，求出切线方程判断即可;对于B，求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断B错误即可；对于C，代入a的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最小值即可；对于D，代入a的值，求出函数的导数，得到函数的单调性，问题转化为关于x的不等式组，解出即可.解：f(x)的定义域是(0,+)，f(x)=ax2x2，对于A:x=1时，f(1)=2，f(1)=a2，故过(1,2)，k=a2的直线方程是：y2=(a2)(x1)，即(a2)xya+4=0，故A正确；对于

14、B:f(x)=ax2x2=ax2x2，a0时，f(x)0，解得：x2，令f(x)0，解得：0x2，故f(x)在(0,2)递减， 在(2,+)递增，故f(x)f(2)=ln2+1，故C正确；对于D:a=1时，f(x)=lnx+2x，f(x)=x2x20，即f(2x1)f(x)，故2x10x02x1x解得：12x1)，当1x0，当1x3时，f(x)3时，f(x)0，f(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+)上单调递增，故x=3是f(x)的极小值点，故A正确，B错误，C正确；由单调性可知f(3)f(2)0且x12)，则(x)=xexx12xexx122=exx212x12x

15、122=12ex(x1)(2x+1)x122，x0且x12，由(x)=0得x=1，当x1时，(x)0，函数为增函数，当0x1且x12时，(x)0，函数为减函数，则当x=1时函数取得极小值，极小值为(1)=2e，当0x12时，(x)2e即可，即实数m的取值范围是(2e,+).故选CD.方法2：由f(x)=xexmx+m2=0得xex=mxm2=m(x12)，设g(x)=xex，(x)=m(x12)，g(x)=ex+xex=(x+1)ex，当x0时，g(x)0，则g(x)为增函数，设(x)=mx12与g(x)=xex，相切时的切点为(a,aea)，切线斜率k=(a+1)ea，则切线方程为yaea=

16、(a+1)ea(xa)，当切线过(12,0)时，aea=(a+1)ea(12a)，即a=12a+12a2a，即2a2a1=0，得a=1或a=12(舍)，则切线斜率k=(1+1)e=2e，要使g(x)与(x)在(0,+)上有两个不同的交点，则m2e，即实数m的取值范围是(2e,+).故选CD.12.【答案】AB;【解析】此题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于较难题由题意设g(x)=f(x)lnx+x2，则g(x)=1xf(x)+f(x)lnx+2x=0，故g(x)=C(C为常数)，由f(e)=e2，可得g(e)=0，则g(x)=0，从而f(x)=x2lnx.不等式f(

17、x)ax对x(1,+)成立，即x2lnxax，化简分离得xlnxa，设(x)=xlnx，对其求导，判断单调性，得到最大值，即得到a的范围，由此得到选项.解：设g(x)=f(x)lnx+x2，则g(x)=1xf(x)+f(x)lnx+2x=0，故g(x)=C(C为常数)，由f(e)=e2，可得g(e)=0，则g(x)=0，从而f(x)=x2lnx.不等式f(x)ax对x(1,+)成立，即x2lnxax，化简得xlnxa，令(x)=xlnx，则(x)=1lnx(lnx)2，所以(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+)上单调递减，(x)max=(e)=e，所以a的取值范围是e,+).故选AB.13

18、.【答案】BCD;【解析】此题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查了函数图象交点的确定，体现了数形结合思想的应用，属于较难题.利用导数研究函数单调性可判断AB；令f(x)=0，解得x=0，即可判断C；结合(x)=x2ex与y=k的交点可判断D.解：函数f(x)=x3ex，则f(x)=3x2x3ex=x2(3x)ex，当x3时，f(x)0，f(x)单调递减；当x3时，f(x)0，f(x)单调递增.故当x=3时，f(x)取得极大值，f(x)无极小值，故A错误；0e21ln3，f(e2)f(1)f(ln)，故B正确；由f(x)=x3ex=0，可得x=0，故f(x)只有一个零点，故C正

19、确；当x=0时，f(0)=0，kx=0，可得x=0为方程 f(x)=kx的一个解，当x0时，令(x)=f(x)x=x2ex，则(x)=2xx2ex=x(2x)ex，当x2时，(x)0，(x)单调递减，当0x0，(x)单调递增，又(2)=4e2，作出(x)的图象如图所示：故当0k0，所以g(t)即f(t)单调递增，f(t)f(1)=4+84a40因此f(t)在1,+)上单调递增，因此f(t)f(1)=84a4a20，从而2a1.综上所述，所求的实数a的取值范围为2,1.故答案为2,1.15.【答案】e1;【解析】此题主要考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，

20、考查运算能力，属于中档题不等式ex1kx+lnx，对于任意的x(0,+)恒成立，等价于kex1lnxx对于任意的x(0,+)恒成立求得f(x)=ex1lnxx(x0)的最小值即可求得k的取值解：不等式ex1kx+lnx，对于任意的x(0,+)恒成立等价于kex1lnxx对于任意的x(0,+)恒成立令f(x)=ex1lnxx，(x0)，f(x)=ex(x1)+lnxx2，令g(x)=ex(x1)+lnx(x0)，则g(x)=xex+1x0，g(x)在(0,+)单调递增，g(1)=0，x(0,1)时，g(x)0.x(0,1)时，f(x)0.x(0,1)时，f(x)单调递减，x(1,+)时，f(x)

21、单调递增f(x)min=f(1)=e1，ke1，k的最大值是e1.故答案为：e1.16.【答案】274,+;【解析】此题主要考查函数的零点与方程的根的关系，考查了转化、数形结合的数学思想，属于较难题对a进行分情况讨论，得只有a0时，函数有可能有三个零点，再讨论a0时，方程f(x)=0零点个数，将其转化为两个函数交点个数，借助函数图像求解.解：(1)a=0时，f(x)=x|x2|=x3，只有一个零点，不合题意；(2)a0，f(x)在R上单调递增，所以，f(x)=x3axa=0不可能有3个解，也不合题意；(3)a0时，f(x)=x|x2a|a=0，x0得|x2a|=ax，画出函数：g(x)=|x2

22、a|，(x)=ax的图象，如图：当x0时有三个零点，其中x2a=ax有唯一的实根，ax2=ax有两个不等的实根，即x3ax+a=0在(0,a)有两个不等的实根.设(x)=x3ax+a，x(0,a)，(x)=3x2a=0，得x=a3，又x0，x(0,a3)时，(x)0,(x)单调递增，由(a3)=a3a3aa3+a274.0=a0,a=a0，x3ax+a=0在0,a3和a3,a上各有1个实数根，即x3ax+a=0在(0,a)有两个不等的实根.故a274.故答案为274,+.17.【答案】m|mln2-12eln2;【解析】解：根据题意，函数f(x)=ex2x+2m，则其导数f(x)=ex2，令f

23、(x)=ex2=0可得x=ln2，分析可得：在(,ln2)上，f(x)0，函数f(x)为增函数，则f(x)存在最小值f(ln2)，其f(ln2)=eln22ln2+2m，若函数f(x)=ex2x+2m有零点，则有f(ln2)=eln22ln2+2m0，解可得：mln212eln2，即m的取值范围为 m|mln212eln2；故答案为： m|mln212eln2.根据题意，求出函数f(x)的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f(x)的单调区间，进而可得f(x)的最小值，结合函数零点的定义分析可得f(ln2)=eln22ln2+2m0，解可得m的取值范围，即可得答案该题考查函数的零点的判定，

24、涉及函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题18.【答案】,10,1;【解析】此题主要考查函数奇偶性的应用以及导函数与函数单调性的关系，构造函数g(x)=f(x)x，得到函数的单调性以及奇偶性即可解不等式.解：令g(x)=f(x)x，当x0时，g(x)=xf(x)f(x)x20，此时函数单调递增，又因为g(x)是偶函数，所以当x0时，f(x)0等价于g(x)0=g(1)，则0x1；x0时，f(x)0=g(1)，则x1.则f(x)0的解集为 x|x1或0x12时，g(x)min=12+b0，g(x)=2x2+2x+b0在(1,+)上恒成立，所以f(x)0即当b12时，函数f(x)在定义域(1,+

25、)上单调递增;(2)由(1)知当b12时函数f(x)无极值点当b=12时，f(x)=2(x+12)2x+1，x(1,12)时，f(x)0，x(12,+)时，f(x)0，b=12时，函数f(x)在(1,+)上无极值点当b12时，解f(x)=0得两个不同解x1=112b2，x2=1+12b2，x1(,1)，x2(1,+)，此时f(x)在(1,+)上有唯一的极小值点x2=1+12b2当0b12时，x1，x2(1,+)f(x)在(1,x1)，(x2,+)都大于0，f(x)在(x1,x2)上小于0，此时f(x)有一个极大值点x1=112b2和一个极小值点x2=1+12b2，综上可知，b0，时，f(x)在

26、(1,+)上有唯一的极小值点x2=1+12b2，当0b(0)=0，即当x(0,+)时，有x3x2+ln(x+1)0，ln(x+1)x2x3，对任意正整数n，取x=1n得ln(1n+1)1n21n3.;【解析】本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，参数的取值，导数的应用，是一道综合题(1)由f(x)=2x2+2x+bx+1，令g(x)=2x2+2x+b，则g(x)在(12,+)上递增，在(1,12)上递减，从而g(x)min=g(12)=12+b，当b12时，g(x)min=12+b0，进而求出b的范围;(2)由(1)知当b12时函数f(x)无极值点，再分别讨论当b=12时，当b(0)=0即当

27、x(0,+)时，有x3x2+ln(x+1)0，ln(x+1)x2x3，对任意正整数n，取x=1n得ln(1n+1)1n21n3.20.【答案】解：(1)f(x)=1x1x2+a=ax2+x1x2，x1,+,由于函数f(x)在1,+上是单调函数，f(x)0或f(x)0对任意x1,+恒成立，即ax2+x10或ax2+x10对任意x1,+恒成立，a1x21x或a1x21x对任意x1,+恒成立，令t=1x，由于x1,+,t(0,1,设(t)=t2t=(t12)214，因此14(t)0，所以实数a的取值范围为a0或a14；(2)由(1)知，当a0时，函数f(x)在1,e上为增函数，故f(1)f(x)f(

28、e)，即1+af(x)1+ae+1e，g(x)=11x2=x21x2，当x1,e，g(x)0，所以函数g(x)在1,e上是单调递增函数，g(1)g(x)g(e)，即2g(x)e+1e，对任意x11,e，总存在x21,e，使得f(x1)g(x2)成立，可知f(x1)maxg(x2)max，所以1+ae+1ee+1e，即a11e，故所求正实数a的取值范围00，得xa1；由f(x)0，得xa1.所以f(x)的增区间是(a1,+)，减区间是(,a1).(2)因为g(x)=f(xa)x2=xexax2=x(exax).由g(x)=0，得x=0或exax=0.设(x)=exax，又(0)=ea0，即x=0不是(x)的零点，故只需再讨论函数(x)零点的个数因为(x)=exa1，所以当x(,a)时，(x)0，(x)单调递增所以当x=a时，(x)取得最小值(a)=1a.当(a)0，即a0，(x)无零点；当(a)=0，即a=1时，(x)有唯一零点；当(a)1时，因为(0)=ea0，所以(x)在(,a)上有且只有一个零点令x=2a，则(2a)=ea2a.设(a)=(2a)=ea2a(a1)，则(a)=ea20，所以(a)在(1,+)上单调递增，所以，a(1,+)，都有(a)(1)=e20.所以(2a)=(a)=ea2a0.所以(x)在(a,+)上有且只有一个