圆锥曲线高考复习题.docx

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1、圆锥曲线复习题1.过点户（-4, 0）的动直线/与抛物线C /=2py （p0）相交于）、E两点，己知当/ 1TT的斜率为丁寸，PE = 4PD.（1）求抛物线C的方程；（2）设圆M： （x- l）2+（y-2）2=?,已知A, 8是抛物线C上的两动点，且直线OA, OB都与圆M相切（。是坐标原点），求证：直线A3经过一定点，并求出该定点坐标.【分析】（I）由题意设直线/的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，结合而=4PD,求出的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线AB的方程和A, 8的坐标，将直线AB与抛物线联立求出两根之和及两根之 积，求出直线。4,。8的方程，由直线OA, 08与

2、圆M相切可得圆心到两条直线的距离 相等可得A，3的坐标的关系，得到直线A8的方程，再得到直线A8经过的定点.【解答】解：（1）由题意可得直线/的方程为），=*（x+4）,设。（xi, y）, E（X2, V2），1联立y = 2（ + 4）,整理可得-如_4=0, x2 = 2py所以 Xi+X2=p, XX2= - 4/7,所以（X1+X2+8） =4+1,察=4,因为PE = 4P0,所以（X2+4, 2）=4（XI+4, y）,所以 = 4yi由可得=2,所以抛物线的方程为f=4.v：（2）证明：显然直线AB的斜率存在，设直线的方程为x 2x 2设 A （xi -B （%2 -44联立直

3、线AB与抛物线的方程可得/ - 4日-48=（）,所以 X1+X2 = 4Z, XlX2=-4力，所以直线04的方程为产今工，即xix-4y=0,直线08的方程为）,= ?x,即X2X - 4）=0,因为直线04, 08都与圆M相切，圆心到直线OA, 08的距离相等,八出一8| |x2-8|整理可得 XLT2-3（X1+A2）-16=0,所以 / o 5 = I 。,Vxi2 + 16 Vx22 + 16代入可得-48-12k - 16=0,所以b= -3k-4,所以直线AB的方程为尸h-3k-4=k （x-3） -4,所以直线AB恒过定点（3, -4）.【点评】本题考查求抛物线的方程及直线与

4、圆相切的性质，直线与抛物线的综合，直线 恒过定点，属于中档题.2.在直角坐标系xOy中，曲线E： y=f+优-2与x轴交于A, B两点，点C的坐标为（0,1） .（I）若点B在点八的右边，曲线上存在一点力，使得c3 = c7 + 2C%,求曲线E的表达 式；（2）证明过A, B, C三点的圆在白，轴上截得的弦长为定值.【分析】（1）设A （xi, 0）, B（X2, 0）,则幻，X2满足x2+皿-2=0,由韦达定理可得， xi+x2= - m, xix2= - 2,再由2） = 4 + 2后，点C的坐标为（0, 1）,可得。点的坐标，将。点的坐标代入曲 线E上，即可求解.（2）根据已知条件，分

5、别求解8C, A8的中垂线方程，联立求得圆心坐标，即可求解半 径r，再结合垂径定理和勾股定理，即可求证.【解答】解：（1）设A （xi, 0）, B （虫，0）,则 xi, X2 满足 x2+mx - 2=0,由韦达定理可得，用+屏=-/，XX2= - 2,日）=入+ 2告，点C的坐标为（0, 1）,：.D （xi+Zt2, - 2）, 点。在曲线E上，（xj + 2x2）2 4- m（x1 + 2x2） 2 = -2,Axi+2x2= - m 或 xi+2x2=0,当.+2x2=（）时，与联立可得，/=1,当x+2x2= - m时，与联立，/不存在， 综上所述，y=+x- 2.（2）证明：/

6、6C的中点坐标为,）, BC的中垂线方程为丫- 2 =皿（ -孕），由（1）可得，Xl+X2= -故AB的中垂线方程为X= y,m -21 -2微 -(X 不 m_2 = -1 -2 - - X y z/lb0）的离心率为十，尸是椭圆的右焦a2 b22点，直线4/的斜率为子，。为坐标原点.（I ）求E的方程；（H）设过点A的直线/与E相交于P, Q两点，当OPQ的面积最大时，求/的方程.【分析】（I）通过离心率得到。、c关系，通过A求出，即可求E的方程；x2（II ）法一：设直线 /：尸6-2,设 P（xi，yi）, Q（x2, V2）将 y=kx - 2 代入-4- y2 = 1, 4利用（

7、）,求出的范围，利用弦长公式求出|PQ|,然后求出OPQ的面积表达式，利 用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程.法二：利用伸缩变换，化简椭圆方程为圆的方程，判断三角形面积的最大值的位置，求 解直线的斜率，然后转化求解直线方程即可.【解答】解：(【)设/(。，0),由条件知2 =竺，得。=百，又 = , c 3a 2x2所以。=2, b2=a2 - c2,= 1 故七的方程: + y2 = l.(5 分)4(II)法一：依题意当LLx轴不合题意，故设直线/： =依2,设P(m,)，i), Q(X2,x2将 y=6-2 代入一+ 丁 = 1,得(|+4妤)/- 16代+12=0,当4

8、= 16 (43-3) 0,即时，占 =8k2优4 I, 21+4公从而|PQ| = VFTTI%1 - x2| = 4/2V又点0到直线PQ的距离d =,所以AOP。的面积Saopq = dPQ =生还黄 Jk2 + 1l+M1(),所以当OPQ的面积最大时，/的方程为：尸- 2或尸-冬:-2.(12分)法二：在伸缩变换产；：下，椭圆化为- 2+),，2=此时 P Q过定点 A (0, -4),且 Smp，=2S.opq, 如图：由于NP OQ G (0, n),因此当NP OQ为直角时，面积取得最大值，此时O到直线P 0的距离为企,设此时直线P Q的方程为：y =k X -4,则有7=?亏=历，解得/ =夕, 从而直线PQ的斜率为：士?/的方程为：丁=挈 - 2或y=-芋.1 - 2.【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考 查转化思想以及计算能力.