圆锥曲线复习题附答案.docx

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1、锥曲线复习题1.如图，已知/(1, 0),直线/： x= - 1, P是平面上的动点，过点尸作/的垂线，垂足 为点Q,且诵.诵=而.而.(1)求动点尸的轨迹。的方程；(2)过点歹的直线交轨迹。于A3两点，交直线/于点已知易 = MB =X2BF,求入1+入2的值； 求|MA|MB|的最小值.【分析】(1)设点P (x, y),求出Q的坐标，然后利用数量积的坐标表示，列式化简, 即可得到答案；(2)设直线A3的方程为x=my+l (zW0),与抛物线方程联立，得到韦达定理，利 用向量的坐标表示，得到入1+入2并化简，即可得到答案；利用向量模的坐标，表示出|蔽|痛5,利用韦达定理以及基本不等式求解

2、最值即可.【解答】解：(1)设点尸(x, y),则。(- 1, y),因为诵.诵=而.花,则(x+1, 0)*(2, -y) = (x - 1, y)(-2, y),化简可得y=4九，所以动点P的轨迹C的方程为=以；(2)设直线AB的方程为x=my+l (mWO),设 A (xi, yi), B (必”)，乂 M(-l,),联立方程组=轨 可得/ - 4my - 4=0,(% = my + 1则4= ( -4m) 2+120,口(71 + 丫2 = 4血1y172 = -4 TTTT因为M4 = ；lMr, MB = BF,22所以 +而=一入11，丫2 +行=一入2丫2 , f f C*/

3、* zm ky1 y2ym y1y2m 4故入1+入2的值为0;|M4| |MB| = (V1 + m2)2yr - yMy2 - yM|=(1 + m2)|yxy2 - yM(yx + y2) + yM2.?4 (1 + m2)|_4 + _x4m + _=(1 + m2)(4 +o 1=4(2 + m2 Hn) m乙24(2 + 2荷./ 口6,当且仅当= -L,即m= 1时取等号,所以|而|薪|的最小值为16.【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，求解动点轨迹的常见方法有：直接法、定义法、代入法、消元法、交轨法等，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联

4、立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题.2.如图，已知抛物线在点a处的切线/与椭圆。2： + y2 =1相交，过点A作/的垂线交抛物线。于另一点8,直线。8 (。为直角坐标原点)与/相交于点。，记A(xi, yi), B (%2, y2),且 xi0.(1)求xi - X2的最小值;(2)求黑的取值范围.【分析】(1)点A处的切线方程为丁=2尢1%-刘2,联立椭圆的方程，由(),得OVxJ V4+g,写出直线A3的方程，并联立椭圆的方程，结合韦达定理可得xi72 = 2x1 +与,ZXi再利用基本不等式即可得出答案.(2)计算点B到直线I的距离分别为力，办

5、根据条件得至U照 =?=. 了、2 =DB d2 (1+4打2)24；，再求出取值范围.(*+4)2人2【解答】解：(1)点A处的切线方程为y=2xix-x/,(y = 2xrx x2，得(l+8x/) x2 - 8xi3%+2xi4 - 2=0,y + y2 = l所以 = 64处6一4 (1+8%/)(2xi4- 2) 0,解得0川2 |y = - 5 % +,口9a联上,2吗2,得 2xix2+x - 2xi3 - xi 0,x2 = y所以 Xl+%2= 2x9所以xi - x2=2xi + A 2,当且仅当x= !时取等号，所以XI - X2的最小值为2.(2)记点0, 5到直线/的

6、距离分别为力，d2,Y 211 1 + 4%-i 2所以 力二1， d2=1 + -2x + 7T= Jl + 4%i2 (),Jl+4x/ I 4x/ 2叼 x4打2所以=& =4叱=4以 |0B| d2 (1+4牝2)2(3+4)2“21因为0加2后, 12所以221DB4(衰+铲人2(0,一),17所以黑的取值范围为(0,4 一). 17【点评】本题考查直线与抛物线，椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.3.已知点A(-l, 0),点5在曲线=16工- 16上运动，动点。满足240 = 48,记点。 的轨迹为曲线区(1)求曲线E的方程；(2)过曲线E上位于1轴两侧的点P,

7、 Q (直线PQ的斜率存在)，分别作直线/：尤=-1的垂线，垂足记为P, Q,直线/交工轴于点。，记QPP, OPQ, OQQ的面 积为Si, S2, S3,若S2是2sl和2s3的等比中项，证明：直线PQ过定点.-,【分析】(1)设。(x, y), B (xo, o),由24C = AB可得，可得G 3坐标之间的关系， 再代入曲线2=16x- 16,即可得出答案.(2)设尸(xi, yi), Q(X2, 2),则 Pi ( - L yi), Qi ( - L 2),设直线 PQ： x=my+t (mWO),联立抛物线的方程y=8心得关于y的一元二次方程，由韦达定理可得yi+, yi”，再计算

8、Si, 52, S3,使得S22 = 4SA3,解得3进而可得答案.【解答】解：(1)设 C (x, y), B (xo, yo),T由2AC = 4B可得，(2x+2, 2y) = (xo+1, yo),所以伊+ 2 =* + l,(2y = y0x0 = 2x + 1 yo = 2y 因为点B在曲线=16x- 16上运动，所以加2 = 16x0 - 16,代入得曲线E的方程为=8工(2)证明：设尸(xi, yi), Q(X2, 2),则 P ( - 1, yi), Q ( - 1, ”)，设直线 PQ x=my-t (mO),代入=8x中得y2 - Smy - 8z=0,所以 1+”=8m

9、，yij2= - 8/。)所 以 4sls3 = (%i + 1)(%2 + 1) , 171721 = Oyi + t + l)(my2 + t + i)-|yiy2l = 2yly2 + (t + l)m(yt + y2) + (t + l)2 - 8t=-8m2Z+8/n2 (z+l) +(1+1) 2 - 8r=8/8m2+ (f+1) 2,又S2 = 2忙 + 1| 1% _y2l =+丫2)2 4丫,2 =2= + 1| (64m2 + 32t),因为52是2sl和2s3的等比中项，所以 S22 = 4SiS3，即一 (t + l)2(64m2 + 32t) = 8H87n2 + (t + l)2 t t = 1, 4所以直线恒过点(1, 0).【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能 力，属于中档题.