2023年雅可比迭代实验报告.docx

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1、雅可比迭代法求解线性方程组的实验报告一、实验题目分别运用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解以下线性方程组：10.x：1 - x2- 2xy = 7.2一 X +10-2x3 = 8.3-x1 -x2+ 5x3 - 4.2使得误差不超过0.000 0 1。二、实验引言.实验目的掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和环节，熟悉计算机fortr a n语 言；了解雅可比迭代法在求解方程组过程中的优缺陷。1 .实验意义雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简朴的一种，求解方便 实用。三、算法设计.雅可比迭代法原理：A设有线性方程组A X = b满足.工()，将方程组变形为： x=Bx + f,则雅可

2、比(Jac。bi)迭代法是指即 由初始解逐步 迭代即可得到方程组的解。算法环节如下：环节1 .给定初始值4),只),.,匕),精度,最大允许迭代次数M,令k=l。环节2.对i = 1 ,2,，n依次计算凡=s厂Z%x /) / & (% w (), i = 1,2,，n) j=i7*4=1靖7：)1靖 f x；0)环节3.求出e= max,若ec,则输出结果x)(i = 1,2,.,n),停止计算。否 1/则执行环节4.环节4.若Z =e) then。k=k+ 1write (10,*)”迭代次数为二ks goto 1 00。elseg oto 2 00en d i f2(x) wr i t

3、c( 1 (),*) * * * * * * * * * * * * * *”writ e (10, *)用jacobi方法解得的结果Xt为: o w r it e (10,(lx,3 f 6. 2,/) ) x(:)s t op。end p rogr a in五、结果及讨论1.实验结果* * * *矩阵A的形式为* * * *10.00 -1.00 - 1 . 00-1. 00 10.0 0 - 1 .00-2.00 -2. 00 5.0 0迭代次数为：1迭代次数为：2迭代次数为：3迭代次数为：4迭代次数为：5迭代次数为：6迭代次数为：7* * * * * * * * * * * * * *

4、 * * * * *用j acobi方法解得的结果X卬为：1.101 .20 1.302 .讨论分析误差从上述输出结果中可以看出，当迭代次数k增大时，迭代值X|,yi，Z会越来越逼近方程组的精确解x=1.0, y=1.2,z=1.3 o(2)收敛性在本题目中，用雅可比迭代法和高斯塞德尔迭代法分别求解该线性方程组,得到的近似根是收敛的六、算法评价优点：迭代法算法简朴,编制程序比较容易。缺陷:迭代法规定方程组的系数矩阵有某种特殊性质(譬如是所谓对角占优阵) 以保证过程的收敛性。高斯一塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快（达成同样的 精度所需迭代次数少），但这个结论，在一定条件下才是对的，甚至有这样的方

5、程 组，雅可比方法收敛，而高斯一塞德尔迭代法却是发散的。在雅可比迭代法求解 线性方程组时，只要误差截断设计的合理，原则上可以得到很对的的解。而通常 我们选取设计误差限或设计最大迭代次数的方法来控制。由于它的准确性，故在 实际应用中比较常见，对于解一般线性方程组非常有效准确。通过该算法以及编 程对求解的过程，我们不难发现，雅克比迭代法的优点明显，计算公式简朴，每 迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变, 比较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢,并且占据的存储空间较大, 所以工程中一般不直接用雅克比迭代法,而用其改善方法。附：高斯一赛德尔程序pr o g r

6、am G-Si mpl i cit nonein t ege r ：i, jiniege亡：ks a v e k real, p a rameter: e =0. 0 0 Ii ntege r , p a ramet e r： :n=3rea 1 :： x (n), y ( n ) ,b (n)data b/7. 2,8.3,42real:： D re a I:a (n,n)o p cn (uni t =1 0 ,filc-1. t xt* )dalaa/1-1,-2,-2, 5/*木木木*水矩阵 a 的形式为求*水*求*wri t e( 1 0 , (lx, 3 f 6 . 2 7)a fo

7、ral 1 ( i =l:n)x( i ) =0end fora 1 Ik=010 0D=0d o i=l, n0 y(i)= b (i)doj= 1 n。if(i j )y( i )=y( i )-a(ij)* y (j)。end doy(i)=y(i)/a(i, i )end dod o j=l, n， D=a b s(x(j)y ( j )end dof o ra 1 1 (i=l:n)x( i ) =y(i)e nd forallif(D= e ) t henk= k +i。writ e(10,*)” 迭代次数为：,kgoto 100 els egoto 2 0 0end i f20

8、0 w r 沁(0,*)* * * * * * * * * w rite(l o,*)”用 Ga u ss-s e id e 1 方法解得的结果 X t 为:wr i te(10, (lx, 3 f 6.2,/)“)x (：)3 s t opend p rogram* * *矩阵 人 的形式为* * * * *1 0.00-1. 0 0 -LOO-1.00 10. 00 -1.0 0-2.(X) -2. 0 0 5.0 0迭代次数为：1迭代次数为：2迭代次数为：3迭代次数为：4木木木* * * * * * * *火* * *用Gau s s-s e idel方法解得的结果Xt为：1. 1 0 1. 201.30