2024年圆锥曲线复习题.docx

《2024年圆锥曲线复习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年圆锥曲线复习题.docx（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2024年高考圆锥曲线复习题1.已知抛物线C的顶点为坐标原点O,对称轴为x轴，且抛物线。经过点4 (4, 6).(1)求点A到抛物线C的焦点F的距离；(2)若过点(9, 0)的直线/与抛物线。交于M, N两点，证明：以线段MN为直径的 圆必过定点.【分析】(1)设出抛物线方程，抛物线经过A点，点A的坐标代入抛物线方程，可得抛 物线标准方程，利用抛物线定义可得出.(2)设直线/的方程，M, N点坐标，表示出以线段MN为直径的圆的方程，即可得到 该圆过的定点.解：设C的方程为)2=2px (p0),将点A的坐标代入方程得62=2p-4,即p = 1此时A到C的焦点的距离为4 +六导(2)证明：由(

2、1)可知，当。的对称轴为x轴时，C的方程为)2=9%.直线I斜率显然不为0,可设直线I的方程为x=my+9,设M(xi, yi), N (x2, *),线段/N的中点为G (3，为).由9得%) - 81 =0,则yi.V2= - 81,所以尢=牛=等，xo = xi+x2 = 9ml8,且|MN| = Vl + m2 - J。1+ 力/ - 4yly? = 97(1 + m2)(4 + ?n2).以线段MN为直径的圆的方程为(x - x0)2 + (y - y0)2 =(粤产艮I / - 9 (?+2) x+)，2 - 9?.y=0,即 x2 - 18x+)2 _ 9? (nix+y) =0

3、 令 wx+y=0,则 x2- I8x+)2=0,因为正R.所以圆x2- 18x+-9m (wx+y) =0过定点(0, 0), 从而以线段MN为直径的圆过定点.【点评】本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线相交的位置关系，涉及到圆的问题， 属于中档题.2.抛物线C：)2=2px的焦点为尸，过点尸作x轴的垂线交抛物线于4,上两点，且|人/2| =4,圆 M 的方程为：/+2(a/5-1) x+y2=0.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线/与抛物线。及圆M同时相切，求直线/的方程.【分析】（1）由抛物线的性质可知，通径长区认2| = 2，解出的值即可；（2）当直线/的斜率不存在时，其方程为x=

4、0：当直线I的斜率存在时，设直线/ 与抛物线C相切于点（半，机），?0,通过对抛物线方程求导可得直线/的斜率，再 利用点斜式写出直线/的方程，然后根据I与圆M相切，由点到直线的距离公式列出关 于机的方程，解之即可.解：（1）由抛物线的性质可知，通径长14A21=4=2”，p=2,，抛物线。的方程为=4%.（2）将圆M的方程化为标准方程是G+V5-1） 2+y2= （V5-l）2圆心为（1 一代，0）, 半径为6-1.当直线/的斜率不存在时，其方程为x=0；当直线/的斜率存在时，设直线/与抛物线。相切于点（土，机），?0,4,j2=4x,，），=24，不妨取y=2后,不妨取y=2后,直线/的斜率

5、为T=J?:,直线I的方程为y （彳-亨）,即产9+竽IIIIII 乙直线/与圆也相切,解得加=4或4 （舍负）,直线/的方程为），=%+2.若取），=-2亚 同理可求得直线/的方程为尸一42.综上所述，直线I的方程为工=0或尸%+2或尸-%-2.【点评】本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，抛物线方程的求法，还运用了导数求 切线方程的斜率，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.%2 y23.已知点M （1, ?）不垂直于x轴的直线/与椭圆C： + =1相交于A43（xi, yi）, B（X22）两点.（1）若M为线段/W的中点，证明：也？！之（2）设。的左焦点为F,若“在

6、/AFB的角平分线所在直线上，且/被圆/+丁=4截 得的弦长为2次，求/的方程.【分析】（1）将点A, 8代入椭圆方程，两式相减，由两点间斜率公式以及中点坐标公式进行分析，即可证明;（2）当/的斜率为。时，不符合题意，当/的斜率不为。时，设直线/： x=）+，与椭 圆的方程联立，得到韦达定理，利用kAF+kBF=（）以及两点间斜率公式，即可求出n的值，然后由直线被圆所截得的弦长，求出，的值，即可得到答案.证明：因为4, 8在椭圆上，所以产:廿”=：， （3必 + 4y2 = 12两式相减可得，3 （a-i - X2）（X1+X2）+4 （| - y2）（+*） =0,所以乃-% _ _ 3（%

7、i+%2）_ _ 3x（-2）3x2-x14（y1+y2）-4x2m4m，因为M为A8的中点，故点M在椭圆。的内部，m2+ 一 0,所以OVznVyz-yi故-:%2-12（2）解：当/的斜率为0时，/被圆/+）2=4截得的弦长为4,不符合题意:当/的斜率不为0时，设直线/： x=）+，联立方程组3%212，可得(3尸+4) y2+6/n)H-3n2 - 12=0,R|JA=48 (3? - /i2+4) 0,即 3/22_%且 +乃=-6m3t2+43n2-123t2+4又尸（-1, 0）,则M尸_Lx轴,因为M尸平分NAFB,所以kAF+kBF=3即.乃 + 及 =0, %1 + 1 x2 + l可得 yi(X2+1) +)2 (xi+1) =y (ty2+n+1) +yi (ty+n+)=2tyy2+ (+1) (i+y2)= 2c，i?Sr+(n+1)(5?S) = 0,解得 =.%所以直线/的方程为x=)-4,因为/被圆/+y=4截得的弦长为2V3,则圆心O到直线/的距离d=4Jl+t2=1解得t = 土代，满足疗,/.% 所以直线I的方程为x y/15y-4 = 0.【点评】本题考查了直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问 题时.，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研 究，属于中档题.