圆锥曲线复习题含答案解析.docx

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1、圆锥曲线复习题1 .在平面直角坐标系中，己知动点A到点8(1, 0)的距离为力，到直线x=-2距离为 d2,且d2=di+l，记动点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线Q的方程；(2)已知斜率之和为-1的两条直线m, n相交于点B,直线?，与曲线Q分别相交 于C, D, E, F四点，且线段C。、线段EF的中点分别为G, ”，问：直线G”是否过 定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【分析】(1)由题意得到动点人到点8 (1, 0)的距离等于到直线x= - I的距离，利用 抛物线的定义得到动点A的轨迹为抛物线，求解方程即可；(2)设1，的方程分别为)，=匕(x- I), y=k

2、2 (x- I),联立直线?与抛物线的方程， 利用韦达定理以及中点坐标公式求出点G的坐标，同理求出点，的坐标，由两点间斜率 公式表示出直线G”的斜率，结合力+幻=-1,得到出(1+%),确定直线G的 方程，即可得到答案.解：(1)因为动点A到点8(1, 0)的距离为力，到直线X=-2距离为心，且为=4+1, 则动点A到点B (I, 0)的距离等于到直线x= - 1的距离， 所以点人的轨迹为抛物线，其焦点坐标为B(l, 0),故曲线。的方程为=4；(2)设/，的方程分别为 丁=匕(x - 1), y=ki (x - 1),联立方程组出：?, T)，可得自2/ 一(2k+令无+ k/ = 0,2

3、勺2则G也孝，分，同理可得“也乎,所以为1+%2=如学，k也k1+k2由 ki+k2= - It所以(1+内),7则直线GH的方程为y-# = /ci(l +自)( -整理可得y+2=&i (1+%) Cx- 1),故直线GH恒过定点（1, -2）.【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解、抛物线定义的应用以及抛物线标准方程的求 解、直线与抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会 联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档 题.2 .已知动点尸到点（-1, 0）的距离与到直线x=-4的距离之比为今（I）求动点P的轨迹C的标准方程；（2）已

4、知点尸（1, 0）,点A为直线x=4上任意一点，过点尸作4尸的垂线交轨迹。于点B, Q.证明：OA平分线段8。（其中O为坐标原点）.【分析】（1）由已知条件可得，=化简整理，即可求解. |x+4|2（2）根据已知条件，先求出BD的方程，再将BD方程与椭圆方程联立可得，（4 +堂）V 一 2yoy 9 = 0,再结合韦达定理和直线OA方程，即可求证.解：（1）设尸（x, y）, 动点尸到点（1，0）的距离与到直线x=-4的距离之比为点二受等化简整理可得，9+ 9】，故动点P的轨迹C的标准方程为一4-7- = 1. 43（2）证明：点A为直线工=4上任意一点，可设A （4,和），又.点 F （1,

5、 0）, *, AF =孕， 过点尸作4尸的垂线交轨迹。于点8, D,* BD = 一， %v2，化简整理可得,（4 +孕）V _ 2yoy-9 = 0,：直线BD方程为y= -（x - 1）, 2 + 4=1 联立直线8。与椭圆方程44 3 6-五设 B （xi, yi）, D（X2, ）2）,由韦达定理可得，y+y2= 巾+e 2-学3+丫2)=崔加，故BD的中点坐标为(72，:2)，12+羽 12+羽二,直线0A方程为y=与x,:.(-T， 到。)在直线0A上，12+羽 12+羽。4平分线段8Q.【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，以及轨迹方程的求解，需要学生较强的综合能力，属

6、难题.3.在平面直角坐标系工0)，中，己知点M (-8，0),直线/：文=一隼，动点夕到点的 距离与到直线/的距离之比为避.2(I)求动点P的轨迹E的方程；(2)设曲线E与x轴交于4、B两点,过定点N ( - 1, 0)的直线与曲线正交于C、D两点(与A、B不重合)，证明：直线AC, 8D的交点在定直线上.【分析】(1)根据已知条件，可推得(x+V3)2+y2当化简整理,即可求解.(2)设过点N ( - 1, 0)的直线方程为1,将直线代入椭圆E的方程，化简整理可得，(疗+4) y2 - 2my - 3=0,结合韦达定理可得，y+y2=，工，1.V2= 再联立直线AC和4。的方程，即可求证.解

7、：(1)设尸(x,)，)，点M(V5, 0),直线/：x= 一竽，动点、P到点M的距离与到直线I的距离之比为日,l(x+V3)2+y2 Wx2京=-化简整理可得，-+ y2 = 13x2故点P的轨迹E是椭圆，方程为h+ y2 = i.(2)证明：由题意知，直线的斜率不为0,设过点N ( - 1, 0)的直线方程为X=?.y- 1,代入椭圆石的方程，化简整理可得，(#+4),2-2少-3=0,=4/+12 (w2+4) =16 (P+3) 0,设 C (xi, y), D(X2 ”)，(xi, X2N2), 由韦达定理可得，户+*=户户=一悬加 由(1)得 A ( - 2, 0), 8 (2, 0),则直线AC的方程为y=-5（x + 2）,直线BD的方程为J=丁%。-2）, 十乙42一乙联立两直线方程，消去），可得，x=2。2-2)%+(%1+2)、2 2m%y2+(yi+，2)-4yi (y1+y2)+2y12m%y2+(yi+，2)-4yi (y1+y2)+2y1(x1+2)y2-(x2-2)y1将内=叩-1 , X2 = /），2 - 1代入，整理可得=2,将式代入，整理可得，.1=2 =-4,即直线AC与直线BD的交点的横坐标恒等于-4, 故直线AC, 8。的交点恒在定直线=-4上.【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查计算能力，属于难题.