第4讲　万有引力定律及应用.docx

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1、第4讲万有引力定律及应用夯实必备知识一、开普勒三定律二、万有引力定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨 道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都 是椭圆,太阳处在椭圆的一个 曲占卜-开普勒第二定律(面 积定律)对任意个行星来说，它与太 阳的连线在相等的时间内扫过 的面积相等开普勒第三定律(周 期定律)所有行星的轨道的半长轴的三 次方跟它的公转周期的二次方 的比值都相等,一，人是个与行星无 关的常量1 .内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量和加2的乘积成正比,与它们之间距离r的二次方成反比。2 .表达式尸=泮詈,G是比例系数，叫作引力常量，6=6.67

2、X10- N m2/kg2o3 .适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时, 物体可视为质点。(2)质量分布均匀的球体可视为质点，尸是两球心间的距离。三、宇宙速度1.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度,其数值为Z2km/s。误；月球第一宇宙速度为绕月球表面运行的卫星的速度，由牛顿第二定律得叫共7,22 元(/? + )I + 卜=?无，解得月球的第一宇宙速度为。=罗r/丁，故c正确；在月球表面，重力等于万有引力7必 mg=G-，月球表面的重力加速度为g月=4兀2 (A + A) 3故D错误。素养拓展双星模型问题.定义：绕公共圆心转动的两个星体组

3、成的系统，我们称之为双星系统。如图3所示。图31 .特点(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gmmi)p -=mCDirGmmi7p =?2口/2。(2)两颗星的周期及角速度都相同，即八=72, 3=/2。(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为门+-2 =心(4)两颗星到圆心的距离门、0与星体质量成反比，即俳=彳。(5)双星的运动周期7=25高47/3(6)双星的总质量2i+72= 72d。第10页，共19页【真题示例5】（多选）（2018全国I卷）2017年，人类第一次直接探测到来自双中 子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时， 它们相距约4

4、00 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作 是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以 估算出这一时刻两颗中子星（）A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度答案BC解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的12兀周期相等，且均为r=s,两中子星的角速度均为若,两中子星构成了双 星模型，假设两中子星的质量分别为，小、加2,轨道半径分别为门、2,速率分别 为VI、。2,则有6詈=7心2小、扇器以=22G2/2,又/+厂2=400 km,解得 7+72=-一, A 错误，B 正确；又由 V=a）r. 6=

5、初2,则。1+。2 = 口（小+尸2） =coL, C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。提升素养能力（限时：30?钟）A级基础对点练对点练（J开普勒三定律的理解和应用1.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星尸，其轨道半径约为地球半 径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与。的周期之 比约为（）A. 2 ： 1B. 4 ： 1C. 8 ： 1D. 16 ： 1答案C解析 由开普勒第三定律得捻=左，故会=1 宽）=1 （竽）=* C正确。第11页，共19页（2020山东省等级考模拟）2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、 地球、天王星

6、处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R。,天王星和地球的公转周期分别为T和To,则天王星与太阳的距离为（）解析 由开普勒第三定律可得条翳解得RJRo,故A正确，B、C、D 错误。2. （2021全国甲卷，18）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天间一号”探 测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8X105 s的椭圆形停泊轨 道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8X105已知火星半径约为3.4X 106 m,火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2,则“天问一号”的停泊轨道与 火星表面的最远距离约为（）A. 6X105mB. 6X 106 mC.

7、6X 107 mD. 6X108m答案C4 Ji2 解析 在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有吆火=m7彳火,得行=等5根据开普勒第三定律，有齐*,代入数据解得/弋6X1（）7 m, C 正确。对点练万有引力定律的理解一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H,若已知地球表面重力加速度为g,地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小（）A 珍B-R第12页，共19页R2gn（”+火）2答案C解析 忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力，有在地球表面包骨=mg在离地面的高度为，处黑；2 = 皆解得g;需方故C正确。对点练万有引力定律的应用5.（多选）在万有引力定律建立的过程

8、中，“月一地检验”证明了维持月球绕地球 运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月一地检验”需要知道的物理量 有（）A.月球和地球的质量B.引力常量G和月球公转周期C.地球半径和“月一地”中心距离D.月球公转周期和地球表面重力加速度g答案CD解析 地球表面物体的重力等于万有引力，有mm ri .7g= G-，艮gR2 = Gm 地根据万有引力定律和牛顿运动第二定律，有可算出月球在轨道处的引力加速度为根据月球绕地球公转的半径、月球的公转周期，由月球做匀速圆周运动可得第13页，共19页4日 Q=-代入数值可求得两加速度吻合，故A、B错误，C、D正确。6.中国绕月卫星“龙江二号”是全球首个独立完成

9、地月转移、近月制动、环月飞 行的微卫星，2019年2月4日，“龙江二号”成功拍下月球背面和地球的完整合 照。已知“龙江二号”距离月球表面h处环月做圆周运动的周期为T,月球半径 为H,万有引力常量为G,据此不可求的物理量是（）“龙江二号”的质量A. “龙江二号”的线速度大小C.月球的质量D.月球表面的重力加速度大小答案A 解析 根据万有引力提供向心力可知G（r + ）2 = 2（竽）2（/? + ）, “龙江二号” 的质量不可求出，但月球质量可求出，故A错误，C正确；根据丁=2兀可求出其运动的线速度，故B正确；根据G*=70g且加月也为已知量，可求 出月球表面的重力加速度，故D正确。7.（多选）

10、（2021 山东济南市模拟）2021年2月10日19时52分,中国首次火星探 测任务“天间一号”探测器实施近火捕获制动，探测器顺利进入近火点高度约 400千米，周期约10个地球日的环火椭圆轨道，轨道如图1所示，“天问一号” 成为我国第一颗人造火星卫星。已知火星的直径约为地球直径的一半，质量约为 地球质量的10%,自转周期约为一个地球日，关于火星和天问一号，下列说法正 确的是（）火星IQ/近火点第14页，共19页A.天问一号在近火点的速度比远火点速度大B.天问一号在远火点的速度比火星的第一宇宙速度大C.火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度D.根据以上信息可以估算出火星的密度答案AC解析

11、由开普勒第二定律可知，天问一号在近火点的速度比远火点的速度大，A 正确；所有卫星的运行速度不可能大于火星的第一宇宙速度，可知天问一号在远 火点的速度比火星的第一宇宙速度小，B错误；因为火星的直径约为地球直径的 一半，质量约为地球质量的io%,由公式。会”=唱可知，g火=前池，火星表面 的重力加速度小于地球表面的重力加速度，C正确；由于不知道火星的半径大小， 故不能估算出火星的密度，D错误。B级综合提升练8. 宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称 之为双星系统。设某双星系统力、4绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动， 如图2所示。若4、3两星球到。点的距离之比为3

12、 ： 1,贝立 )6-2 (5图2A.星球/与星球B所受引力大小之比为1 ： 3星球A与星球B的线速度大小之比为1 ： 3C.星球Z与星球8的质量之比为3 ： 1D.星球4与星球8的动能之比为3 ： 1答案D解析 星球力所受的引力与星球3所受引力就是二者之间的万有引力，大小是相 等的，故A错误；双星系统中，星球/与星球8转动的角速度相等，根据。=公尸， 则速度大小之比为3： 1,故B错误；A. 8两星球做匀速圆周运动的向心力由二 者之间的万有引力提供，可得冷笋=g2以=加心2,则星球4与星球4第15页，共19页的质量之比为nu * mB=rB *。=1 ： 3,故C错误；星球A与星球B的动能之

13、比为故D正确。故D正确。Eg二业八（口以）2_3EkB 12 IB（C8）2 19. （2021全国乙卷，18）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观 测，给出1994年到2002年间S2的位置如图3所示。科学家认为S2的运动轨迹 是半长轴约为1 000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在 超大质量黑洞。这项研究工作获得了 2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的 作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为，可以推测出该黑洞质量 约为（）19941995/1996/1997/V199BH999六。卷/2012002图3A. 4X04MC. 4X 108M

14、B. 4X106D. 4X1010Af答案B解析 由万有引力提供向心力有缥2=?第H,整理得笔=整，可知只与中 吟2心天体的质量有关，则缪=，已知T也=1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期八2 = 2X（20021994）年=16年，解得用黑洞=4X0河，b正确。10. （2020海南卷，7）2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天 发射场成功首飞，将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆 周运动，周期为T,离地高度为h,已知地球半径为R,万有引力常量为G,则（）第16页，共19页A.试验船的运行速度为平B.地球的第一宇宙速度为金.山山工、| 2兀（H+力）3C

15、.地球的质量为乔D.地球表面的重力加速度为-一（禁）-11答案B解析 由。=，得试验船的运行速度为。=2兀（彳*”），故A错误；近地轨道卫星 的速度等于第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力有6笔=机1,根据试验船 受到的万有引力提供向心力有G （骅生 造+），联立两式解得第一 宇宙速度。=汽/卫产A故B正确；根据试验船受到的万有引力提供向心.,%m幅2兀. 一 ,4兀2 （R+h） 3“、r -UN力有G（r+卜）2=必（下）解仔2地=G1，故C错I天；地球重 力加速度等于近地轨道卫星向心加速度，根据万有引力提供向心力有6笔=吆, 根据试验船受到的万有引力提供向心力有G（也）2 = ，M率）2

16、（尺+力），联立两 式解得重力加速度g=4研 制故D错误。11. （2020全国III卷）“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆， 着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半 径的K倍。已知地球半径R是月球半径的倍，地球质量是月球质量的。倍， 地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（）第17页，共19页A4笏答案D 解析 由题意可知“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的轨道半径为=方，设 月球的质量为机月，地球的质量为7地，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的速 率为0, “嫦娥四号”的质量为7,则一质量为的物体在地球表面满足簧生

17、 = g,而“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动满足丹巴=?，解得3 =、腰选项D正确。12.（20215月贵阳模拟）2021年2月10 B 19时52分，“天问一号”探测器成功 进入环绕火星的轨道，开启了我国首次火星探测之旅。假定探测器贴近火星表面 绕火星做匀速圆周运动，经时间3探测器运动的弧长为S,探测器与火星中心连 线扫过的圆心角为仇已知引力常量为G, z小于探测器绕火星运行的周期，不考 虑火星自转的影响，根据以上数据可计算出（）A.探测器的环绕周期为岩B.火星的质量为备C.火星表面的重力加速度大小为当o n2D.火星的第一宇宙速度大小为券答案C27r 2冗/解析 探测器的环绕周期为7=詈，

18、选项A错误；设火星的半径为H第18页，共19页,质量为“火，探测器质量为7,根据G与*=谓得G,火=及2,其中R=, V =力 联立解得in火=gF。选项B错误；由G r2 = mg得g=火2 =两,了二尸, 选项c正确；由题意可知探测器的速度即为火星的第一宇宙速度，大小为;，选 项D错误。第19页，共19页(2)第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度,也是人造卫星的最大环绕速度。(4)第一宇宙速度的计算方法,eGmikv2由 ?g=仄得 v=yRo2 .第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为1L2 km/so3

19、 .第三宇宙速度使物体挣脱人阳引力束缚的最小发射速度，其数值为由2km/s。【自测】(多选)(2020江苏卷，7)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周 运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有()A.由。=以可知，甲的速度是乙的啦倍B.由。可知，甲的向心加速度是乙的2倍C.由尸=牛可知，甲的向心力是乙的1D.由r=A可知，甲的周期是乙的动倍答案CD解析 两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由牛=哈 可得。=/?，则乙的速度是甲的啦倍，选项A错误；由牛=加%可得。 =誓，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误；由尸=半，结合两人造 卫星质量相等，可知甲的向

20、心力是乙的;，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周 运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2y2第2页，共19页倍，选项D正确。/研透命题要点命题点一开普勒三定律的理解和应用1 .行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。2 .开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。3 .开普勒第三定律方=女中，值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体女 值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。【例1】（2021山东潍坊市模拟）中国首个火星探测器“天问一号”，己于2021年 2月10日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做 圆周运动，

21、运行过程中火星与地球最近时相距Ro、最远时相距5Ro,则两者从相 距最近到相距最远需经过的最短时间约为（）A. 365 天B. 400 天C. 670 天D. 800 天答案B解析设火星轨道半径为Rt,公转周期为八，地球轨道半径为心,公转周期为 为，依题意有R &=Ro, Ri+R2=5Ro,解得Ri=3Ro, &=2品，根据开普勒第 三定律有攀弟解得丁尸yy年，设从相距最近到相距最远需经过的最短时间 为人有02/一口=兀，口=申，代入数据可得1=405天，故选项B正确。【针对训练1（多选）如图1,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，。 为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T

22、o,若只考虑海王星和 太阳之间的相互作用，则海王星在从尸经过M、。到N的运动过程中（） 海王星一 , .1 J、第3页，共19页A.从p至IJM所用的时间等于与B.从。到N阶段，机械能逐渐变大C.从P到。阶段，速率逐渐变小D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案CD解析 由行星运动的对称性可知，从产经M到。点的时间为g/o,根据开普勒第 二定律可知，从。到运动的速率大于从到。运动的速率，可知从。到所 用的时间小于:r)，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故 机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从0到。阶段，速率逐渐 变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指

23、向太阳，从用到N阶段，万有引 力对它先做负功后做正功，选项D正确。命题点二万有引力定律的理解1 .万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力/表现为两个效果：一是重力mg,二是提供物体随地球 自转的向心力尸向。(1)在赤道上：G与次。(2)在两极上：G=，go。(3)在一般位置：万有引力8铲等于重力咽与向心力F向的矢量和。越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为 万有引力近似等于重力，即爷依=噜。2 .星球上空的重力加速度/第4页，共19页星球上空距离星体中心-=H+处的重力加速度g,，咽=（:器）2,得g=G?地(R+/?) 2【真题示例2】（2021山东卷）从“

24、玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事 业实现了由地月系到行星际的跨越。己知火星质量约为月球的9倍，半径约为月 球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝 融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（）图2A. 9 ： 1B. 9 ： 2C. 36 ： 1D. 72 ： 1答案B解析悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的Gm9-29-2故B正确。力士五触 取7火7祝融M 八/八/I万有引力，则三一=7=-tt=9X2X TF玉丸 Gm Fin三轧 ?月m玉丸RU7【针对训练

25、2】（2020全国I卷，15）火星的质量约为地球质量的七，半径约为 地球半径的盘则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（）A. 0.2B. 0.4C. 2.0D. 2.5答案B解析 由万有引力定律可得，质量为?的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为产地=（?箸，在火星表面上时，受到的万有引力大小为厂火 A -K第5页，共19页，二者的比值*嚼=04 B正确,A、C. D错误。命题点三 万有引力定律的应用1.天体质量和密度的计算2.解决天体(卫星)运动问题的基本思路类型方法己知量利用公式表达式备注质 量 的 计 算利用运行天体八T加中74兀2G f2 一7 r2 厂4n2r3

26、？中一g平只能得 到中心 天体的 质量八Vnum v2G a 一行，疗 tn中一弓v. Tv2 G-p-=r【QjT4兀2=? 72 厂v3T 而中一2兀G利用天体表面 重力加速度g、RGz 中？ mg R2女解 7 |一6密 度 的 计 算利用运行天体八T、RM 4n2 G =? 产.4tn 中=。登R3/ pGT2R3当r=R时，3兀 pGf1利用近 地卫星 只需测 出其运 行周期利用天体表面 重力加速度g、RGm,m fng- r2 ，m 中一p 铲R33g 一4 兀 GH(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即第6页，共19页G7 中？ V2 o4 兀2厂=心广=相不=man

27、。(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即6爷=7鼠8表示 天体表面的重力加速度)。3 .宇宙速度与运动轨迹的关系(1)0发=7.9 km/s时，卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动。(2)7.9 km/sV。发VI 1.2 km/s,卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。(3)11.2 km/sWo发V 16.7 km/s,卫星绕太阳做椭圆运动。(4)。发216.7km/s,卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。L考向1中心天体质量和密度【真题示例3】(2021 广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成 功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，

28、已知引力常量， 由下列物理量能计算出地球质量的是()A.核心舱的质量和绕地半径B.核心舱的质量和绕地周期C.核心舱的绕地角速度和绕地周期D.核心舱的绕地线速度和绕地半径答案D解析 根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得尊 = rg, 2解得7地=*, D正确；由于核心舱质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱质 量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由半依=加/2尸得，地 =哈，且口=半，约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质 量，C错误。【针对训练3(多选)(2021八省联考辽宁卷)“嫦娥五号”第7页，共19页 探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为尸

29、，速度大小为0。已知月球半径为 R,引力常量为G,忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（）A.月球平均密度为47rgr2B.月球平均密度为怒IC.月球表面重力加速度为下 K 2D.月球表面重力加速度为标答案BD 29解析 根据万有引力提供向心力，有G=*,解得2月=得，月球体积忆= 去火3,所以月球平均密度=方=机底，故B项正确，A项错误；根据月球表 nj e ni7）2尸7）r面物体的重力等于万有引力，有G-= 7g月，又7月=瓦，解得8月=产，故D 项正确，C项错误。L考向2宇宙速度【真题示例4】（2020北京卷，5）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。 已知火星质量约为地球质量的1

30、0%,半径约为地球半径的50%,下列说法正确的 是（）A.火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B.火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C.火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案A解析火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，还在太阳系内，发射速度应大 于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A正确，B第8页，共19页Gmyjn 催 =mg火，错误；万有引力提供向心力，则有爷=喑，解得地球的第一宇宙速度为U1 7窄,所以火星的第一宇宙速度为。火=、需地=监地，所以火星的第 一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；万有引力

31、近似等于重力，则有解得火星表面的重力加速度，g火=岩=2g地=段地， 我人 k JU/O），以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。【针对训练4（多选）（2021湖南衡阳市联考）2020年11月24日，长征五号运载 火箭搭载“嫦娥五号”探测器成功发射升空并将其送入预定轨道，11月28日，“嫦娥五号”进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，“嫦娥五号”返回器携带月 壤着陆地球。假设“嫦娥五号”环绕月球飞行时，在距月球表面高度为力处，绕 月球做匀速圆周运动（不计周围其他天体的影响），测出飞行周期7,已知万有引力 常量G和月球半径则下列说法正确的是（ ）A. “嫦娥五号”绕月球飞行的线速度为2兀（皆）.工日、14兀2 （R+）2B.月球的质量为乔C.月球的第一宇宙速度为y-2-/D.月球表面的重力加速度为籍）答案AC解析“嫦娥五号”绕月球飞行的轨道半径为（R+），所以飞行的线速度为。= 2兀（昔），故A正确;“嫦娥五号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律 得G（黑）2=加岸）”+），解得月球的质量为月=生二等故B错第9页，共19页