7.1条件概率与全概率（解析版）.docx

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1、7.1 条件概率与全概率公式一、对条件概率的定义与理解条件概率：一般地，设A, /为两个随机事件，且尸(A)0,则夕仍二畿1为在事件4发生的条件下，事 (为件4发生的条件概率，简称条件概率.I、下面几种概率是条件概率的是()A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,07各投篮一次都投中的概率B.甲、乙二人投篮命中率分别为060.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是*则小明在一次上学中遇到红灯的概率 答案B 解析 由条件概率的定义知B为条件概率.二、条件概率的两种求法

2、定义法：先求P(A)和P(A8),再由P(B|A)=,求出P(A)基本事件法(缩小样本空间法)：借助古典概型，求出基本事件A包含的事件(A),再求出基本事件AB包 含的事件(AB),此时尸(和4)= 迎求出P(BA).,n(A)注意事项：当P(8H)=P(8)时，事件A与事件8是相互独立事件(不是相互独立不能直接使用) 2、现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下， 第2次抽到理科题的概率为()3 n 2 L 3A. jB. 5c. 2D- 53x2解设第1次抽到理科题为事件4,第2次抽到理科题为事件& 28依)=今祟=年=：.故选C.53、某

3、地区空气质量监测资料表明，天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6, 已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是0A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45答案A解析 设某天的空气质量为优良是事件B,随后一天的空气质量为优良是事件A,故所求概率为P(AB)= 以幽=皿=。乂 P0.75 以4、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格 学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是0A. 0.2 B. 0.33 C. 0.5 D. 0.6答案A 解析 设事件A为“数学不及格”，事件B为“语

4、文不及格”，尸二不帚二二。？.所以数学不及格时, 该学生语文也不及格的概率为024、甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市 占 18%,两地同时下雨占 12%,记 P(A)=0.2, P(8)=0.18, P(A8)=0.12,则出)和 P(B|A)分别等于()1 22A.r, tB.r, T答案C皿匚八0.12 2解析(A|B)=5j8=3P(AB) 0.12 3(即)=尢应=亍5、已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一 只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放I可，则在他第1次抽到的

5、是螺口灯泡的条件下，第2次抽 到的是卡口灯泡的概率为()A D - p - p -40 d9口9答案D解析 方法一 设事件A为“第I次抽到的是螺口灯泡”，事件8为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则尸04)=得,7(4或=木马=看，则所求概率为2(8依)=号第=乎=.W方法二 第I次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为方_7=亨6、已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是0A. 0.012 45 B. 0.057 86 C. 0.026 25 D. 0.028 65答案C 解析 用事件4,8分别表示

6、随机选一人是男人和女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则。=AU8,且A, B 互斥，P(0 = P(A)P(a4) + P(8)P(C14)=gx5%+】xO.25%=O.O26 25.7、设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，己知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产 的.旦甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为心白，!，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中I 1 J任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为0A. 0.08B. 0.1C. 0.15 D. 0.2答案A解析 以4, 42,小分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次 5391品

7、，P(A)=P(A2)=?, P3)=正,P(B|Ai)=Jq,P(阴4)=去，P(4H3)W则由全概率公式，得所求概率为P(8) = P(A)P(8Hi)+P(A2)P(8H2)+P(A)P(8H3)5 1 . 3 1 . 2 1 = iox7o+T6xi5+iox26=008-8、(多选)为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动，抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外， 完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相 同则为中奖，否则为不中奖.下列随机事件的概率正确的是0A.某顾客抽奖一次中奖的概率是598B.某顾客抽奖三次，至少有一次

8、中奖的概率是设3C.在一次抽奖过程中，若己知顾客第次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是行D.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是g答案ABD解析顾客抽奖一次中奖的概率为WP=|,故A选项正确；顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是1(1一|=1勘=1急=耨 故B选项正确；对于C, D选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球，再抽一个，抽到红球的概率是名 =；,故C选项错误，D选项正确.9、分别用集合用=124567,811,12)中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是 12,则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是.答案亍解析 设

9、“取出的两个元素中有一个是12”为事件A, “取出的两个元素构成可约分数”为事件从则(A)=7,“(44)=4,所以10、设某种动物能活到20岁的概率为0.8,能活到25岁的概率为04现有一只20岁的这种动物，它能活 到25岁的概率是.答案0.5解析 设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”,则P(4)=0.8,尸(8)=04,又所求概率为P(B|A),由于3GA,故P(AB)=P(B),ice P(AB) P(B) 0.4 “川 P(始)=p(A)=p(4)=漉=05所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0511、有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱

10、内装30件，其中18件优质品，现 在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是.答W解析 设4=取到的是优质品”，8尸”打开的是第，箱”(i=l,2),则P(B0=尸(&)=：,P(川囱)=h=5，？(4四)=4=彳利用全概率公式，2P(A )=P(Bi)P(A|Bi)+P(%)P(4|%)=亨12、人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率 的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在 利率下调的情况卜，该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下，其价格上涨的概

11、率为40%, 则该支股票将上涨的概率为.答案64%解析设A=利率下调，“利率不变”，8=股票价格上涨”.依题意知 P(A)=60%, PCA )=40%,尸(BH)=80%, P(8|不)=40%,则 P(B)=P(A)P(BA)+P(T)P(BA )=60%x80%+40%x40%=64%.13、现有8道4选1的单选题，学生李明对其中的6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的 概率为0.8,没有思路的题只好任意选一个答案，猜对答案的概率为0.25.李明从这8道题中任选1题，求他 做对该题的概率.解4=”李明选有思路的题”，则a = 李明选没有思路的题“，8=“答对该题”, 则。=A

12、U A ,且4与4两两互斥.6 31又 P(4)=g=W，P( A )=w，P(B|A)=0.8,P(B A )=0.25.则由全概率公式得p(b)=p(a)p(ba)-pCa )P(BA )34,11 3,1 53=4x5+4X4=5+i6=80-14、甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.解(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C&=28,这2个产品都是次品的事件数为C3=3,所以这2个产 3品都是次品的概率为

13、4.设事件A为“从乙箱中取一个正品“，事件Bi为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件&为“从甲箱中 取出1个正品，1个次品”，事件当为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件办，事件给，事件/力彼此互斥.P(8D=音岭,。(%)=1528G 3P(&)=&=诋,54尸(川&)=, P(4|B3)=.所以 P(A) = P(8i)尸(A回)+ P(82)P(4|B2)+ P(&)P(A|B3)=得g+呆5+亲苏=古 15、设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为小/现从这三个地区任 选一个地区抽取一个人.求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概

14、率.解 设4=”此人来自第i个地区”，i=l,2,3(分别对应甲、乙、丙三个地区)，8=感染此病”，则0=AiUA2UA3,且A” 4, Aa两两互斥,/.P(A|)=1, P(A2) = y P(A3) = yp(即)4 P(B|A2)=|, P(B|A3)=1.由全概率公式得83P(B)28率是80%,则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()A. 0.665 B. 0.564 C. 0.245 D. 0.285答案A解析 记事件A为“甲厂产品”,事件8为“合格产品”，则P(A)=0.7, P(B|A)=0.95, :.P(AB)=P(4)P(BH)=0.665.5、投掷一枚质地均匀的

15、骰子两次，记A=两次的点数均为奇数), 8=两次的点数之和为4),则P(B|A)等 于0Aib1-22D.3答案C解析 由题意知，事件 A 包含的样本点是(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5),共 9个，在A发生的条件下，事件B包含的样本点是(1,3), (3,1),共2个，所以P(B|A)46、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下， 第二次取到新球的概率为.答案解析 设第1次取到新球为事件A,第2次取到新球为事件&则2(和4)=以黑=岩=*7、夏秋两季，生

16、活在长江口外浅海域的中华鱼涧游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带 产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中 华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功潮流产卵繁殖的概率 为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件8为该雌性个体成功溯流产 卵繁殖，由题意可知P(A)=0.15,尸(A8)=0.05,所以尸(抑4)=与黑=嫖=!8、从标有123,4,5的五张卡中，依次抽出2张(取后

17、不放I口I),则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到 奇数的概率为.答案；解析由题意，知从标有1,2,345的五张卡中，依次抽出2张，第一次抽到偶数所包含的样本点有(2,1),(2,3),(2,4), (2,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4.5),共 8 个；第一次抽到偶数，第二次抽到奇数,所包含的样本点有(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5),共6个，因此在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为P=l=l 9、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张 都是假钞的概率.解设

18、4=抽到的两张都是假钞，月=抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为尸(川B).C3 CS+C4CkP(A8)=P(A)=两，P(B)=-，.”小初=以幽=_=12=2P(B) Cs+aCls 85 T1()、盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是厂型玻璃球.E型玻璃 球中有2个是红色的，4个是蓝色的；尸型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取I个，已 知取到的是蓝球，问该球是型玻璃球的概率是多少？解由题意得球的情况如下：E型玻璃球型玻璃球总计红235蓝4711总计61016设A表示“取得蓝色玻璃球”，B表示“取得蓝色E型玻璃球”. 114 1解

19、方法一因为P(A)=而，尸(AB)=%=不所以AW尸需得.16方法二 因为 n(A)=, “(48)=4, 所以P(即尸嚅咻三、条件概率的性质及应用概率的乘法公式：对任意两个事件A与B,若尸(4)0,则尊64例=尸(4)尸(814). 条件概率的性质：(1)如果B和。是两个互斥事件，则PUO4)=P(B+P(Q4).(2)设5和8互为对立事件，则P(吊=1P(8|A).2111、设A, B为两个事件，已知P(A)=j P(BIA)=,则P(A砌等于()a.1b.|c.|d.1答案B2 1 I解析 由概率的乘法公式，可得P(A8) = P(8|A)尸(4)=乂5=, 12、某人忘记了一个 号码的

20、最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是0答案A解析 记事件4为第一次失败，事件8为第二次成功，91则 P(A)=讪，P(8H)=,所以 P(AB)=P(A)P(B|A)=而.13、若B, C是互斥事件且P(B|A)=g, P(C|A)=1,则尸(BUQA)等于0A2B-3Jou12答案D解析因为8, C是互斥事件，所以P(8U C|A) = /W)+P(CA)=；+(W14、(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐 中随机取出I个球放入乙罐，分别以4,4表示事件“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球“，再从乙罐中随机取出1个球

21、，以B表示事件“由乙耀取出的球是红球”，下列结论正确的是0A.事件B与事件4不相互独立B. Ai，A2,d是两两互斥的事件C. P(BA)=十3D. P(8)=g解析：选ABC.由题意4, A2, A3是两两互斥事件，P(4- W2)=K)=?。(仆)=焉1 7P(BAi) TT 76PW 尸(幽=予 P(W|B)=.事件“试验成功”表示为ARUBR,又事件AR与事件8R互斥，故由概率的加法公式，得P(AR U BR) = P(AR) + P(BR)= P(RA)P(A)+P(RB)P(B)=2x7o+5xTo=0-59-19、抛掷两颗质地均匀的骰子各一次.(I)向上的点数之和为7时，其中有一

22、个的点数是2的概率是多少？(2)向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？解(1)记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件8表示“两颗骰子向上的点数之和为7”, 则事件A8表示“向上的点数之和为7,其中有一个的点数是2，则P(8)=2=幺。048)=系=需，30 O3010所以 P(AB)= p/r?=T(2)记事件M表示“两颗骰子向上的点数之和为了,则事件”向上的点数之和为4或6”可表示为加=监536, 其中事件与“6互斥，记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件MW表示“两颗骰子向上的点 数不相同，且向上的点数之和为因为 P(A0=36=6,夕(知4根=

23、*=上，41P(MW)=X=g,所以 P(M1N) = P(Ma U M“N)=P(M|N)+P(M6M1 1_P(M4M P(/M/V) 不 1=P(M + P(M =5 + 5=亍 6 6四、全概率公式推导过程提出问题：从有。个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为缶.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？猜想答案：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是毫，但是这个结果并不显然，因 为第2次摸球的结果受第I次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导.用凡表示事件“第，次摸到红球”，8,表示事件“第i次摸到蓝球”，/

24、.=1,2.如图所示.事件金可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即&=凡生口5%，利用概率的加法公式和乘法公式，得 P(R2)=P(ARUSR2)=P(R1&)+P(S&)=P(A)P(R2|R1)+P(S)P(&|81)_ a a_ 1 _baa_a-b a-b- 1 ab a-b 1 a-b全概率公式：一般地，设4, 4,，4是一组两两互斥的事件,AiUA2U. U4=Q,且P(A)0, /=l,2,，则对任意的事件8G。，有p(b)=p(4)p(M4)1=1全概率解题思路：拆分一计算T求和20、两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0

25、.07,加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为0A. 0.21B. 0.06C. 0.94D. 0.95答案D解析 令8=取到的零件为合格品，A,=零件为第i台机床的产品，i=l,2.则Q=4U/h,且Ai, 4互 21斥，由全概率公式，得 P(B)=P(4i)P(8|Ai) + P(A2)P(B|A2)=QX().96+/P(B|A2)=谈e+rx1=5.24、某商店新进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06, 乙厂每箱装120个，废品率为0.05,求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品

26、的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.解 记事件A, 分别为“甲、乙两厂的产品“，事件C为“废品，则。=AU&且A, B互斥,30 37() 2(1)由题意，得P()=而=申()=而=予P(CH)=0.06, P(C8)=0.05,由全概率公式，得 P(C)=P(A)P(CA)+P(8)P(C|B)=t.30x1005(2)A)=so)oo+2ox 120=5P(B)=P(B)=20x12030x100+20x120 9P(C|A)=0.06, P(QB)=0.05,由全概率公式，得 P(O=P(A)P(C|A)+P(8)P(C|B)9x7o6+9x7oo=l8,25、假

27、设某市场供应的智能25、假设某市场供应的智能25、假设某市场供应的智能在该市场中任意买一部智能品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70%中，市场占有率和优质率的信息如表所示:，求买到的是优质品的概率.解用4, A2, A3分别表示事件买到的智能 为甲品牌、乙品牌、其他品牌，8表示买到的是优质品的事 件，则 0=4UA2UA3,且 Ai, A2f A3 两两互斥,依题意，可得P(4)=50%, P(A2)=30%, 24)=20%,且 P(W 1) = 95%, P(W2)= 90%, P(W3)= 7O%,由全概率公式，得 P(B) = P(Ai)PBAi) + P(A2

28、)-P(BA2) +P(A3)P(8H3)=50%x95%+30%x90%+20%x70%=88.5%.课后巩固练习1、盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为0B.t C.T D.f JJ答案解析解析解析设“第二次取得一等品”为事件A, “第一次取得二等品”为事件B,则P（A3）=靠=去，P（A）=33号，所以p（碘尸33号，所以p（碘尸33号，所以p（碘尸CixCiP(A) 15 2 5-2、甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取球，则取到的球是白球的概率为0A1 r13 J_ 1答案B 解析 设事件A表示“取到的是甲袋“，则4表示“取到的是乙袋”，事件9表示“取到的球是白球”.根据题5211意，P(8H)=e，P(B A )=亨 P(A)=2，P( A )=/,，尸(B)=P(A)P(B|A)+P( A )P(B A )15,12 132 12十2 3一24 3、在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一名