历年全国初中数学竞赛试题及答案.pdf

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1、 历年全国初中数学竞赛试题及答案 1998 年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题：（每小题 6 分，共 30 分）1、已知 a、b、c 都是实数，并且cba，那么下列式子中正确的是（）（）bcab（）cbba（）cbba（）cbca 2、如果方程0012ppxx的两根之差是 1，那么 p 的值为（）（）2（）4（）3（）5 3、在ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且 BDCE，BD=4，CE=6，那么ABC 的面积等于（）（）12（）14（）16（）18 4、已知0abc，并且pbacacbcba，那么直线ppxy一定通过第（）象限（）一、二（）二、三（）三、四（）一、四

2、5、如果不等式组0809bxax的整数解仅为 1，2，3，那么适合这个不等式组的整数 a、b 的有序数对（a、b）共有（）（）17 个（）64 个（）72 个（）81 个 二、填空题：（每小题 6 分，共 30 分）6、在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上任意一点，PEBD，PFAC，E、F 分别是垂足，那么 PE+PF=_。7、已知直线32 xy与抛物线2xy 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB 的面积等于_。8、已知圆环内直径为 acm，外直径为 bcm，将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_cm

3、。9、已知方程015132832222aaxaaxa（其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么 a=_。10、B 船在 A 船的西偏北 450处，两船相距210km，若 A 船向西航行，B 船同时向南航行，且 B 船的速度为 A 船速度的 2 倍，那么 A、B 两船的最近距离是_km。历年全国初中数学竞赛试题及答案 三、解答题：（每小题 20 分，共 60 分）11、如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=1，A=900，点E 为腰 AC 中点，点 F 在底边 BC 上，且 FEBE，求CEF 的面积。12、设抛物线452122axaxy的图象与 x 轴只有一个交点，（1）求 a 的值；（2

4、）求618323aa的值。13、A 市、B 市和 C 市有某种机器 10 台、10 台、8 台，现在决定把这些机器支援给 D 市 18台，E 市 10 台。已知：从 A 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 200 元和 800 元；从 B 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 300 元和 700 元；从 C 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 400 元和 500 元。（1）设从 A 市、B 市各调 x 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，求总运费 W（元）关于 x（台）的函数关系式，并求 W 的最大值和最小值。（2）设从 A 市调 x 台到 D 市，B 市调 y 台到

5、 D 市，当 28 台机器调运完毕后，用 x、y 表示总运费 W（元），并求 W 的最大值和最小值。解 答 1根据不等式性质，选 B 2由=p2-40 及 p2，设 x1，x2为方程两根，那么有 x1+x2=-p，x1x2=1又由(x1-x2)2=(x1x2)2-4x1x2，ABCEF 历年全国初中数学竞赛试题及答案 3如图 3271，连 ED，则 又因为 DE 是ABC 两边中点连线，所以 故选 C 4由条件得 三式相加得 2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有 p=2 或 a+bc0 当 p=2 时，y=2x2，则直线通过第一、二、三象限 y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限 综合

6、上述两种情况，直线一定通过第二、三象限故选 B，的可以区间，如图 3272 历年全国初中数学竞赛试题及答案 +1，382，383，388，共 8 个，98=72(个)故选 C 6如图 3273，过 A 作 AGBD 于 G因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以 PEPF=AG因为 AD=12，AB=5，所以 BD=13，所 7如图 3-274，直线 y=-2x+3 与抛物线 y=x2的交点坐标为 A(1，1)，B(-3，9)作 AA1，BB1分别垂直于 x 轴，垂足为 A1，B1，所以 历年全国初中数学竞赛试题及答案 8如图 3275，当圆环为 3 个时，链长为 当圆环

7、为 50 个时，链长为 9因为 a0，解得 故 a 可取 1，3 或 5 历年全国初中数学竞赛试题及答案 10如图 3276，设经过 t 小时后，A 船、B 船分别航行到 A1，A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，所以 11解法 1 如图 3277，过 C 作 CDCE 与 EF 的延长线交于 D因为 ABEAEB=90，CEDAEB=90，所以 ABE=CED 于是 RtABERtCED，所以 又ECF=DCF=45，所以 CF 是DCE 的平分线，点 F 到 CE 和 CD 的距离相等，所以 历年全国初中数学竞赛试题及答案 所以 解法 2 如图 3278，作 FHCE 于 H，设

8、 FH=h因为 ABEAEB90，FEH+AEB=90，所以 ABE=FEH，于是 RtEHFRtBAE因为 所以 历年全国初中数学竞赛试题及答案 12(1)因为抛物线与 x 轴只有一个交点，所以一元二次方程 有两个相等的实根，于是 (2)由(1)知，a2=a1，反复利用此式可得 a4=(a1)2=a22a+1=3a+2，a8=(3a2)2=9a212a4=21a13，a16=(21a+13)2=441a2546a169 987a610，a18(987a610)(a1)987a21597a610 =2584a1597 又 历年全国初中数学竞赛试题及答案 因为 a2-a-1=0，所以 64a2-

9、64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1 所以 a18323a6=2584a1597323(-8a13)=5796 13(1)由题设知，A 市、B 市、C 市发往 D 市的机器台数分别为 x，x，18-2x，发往 E 市的机器台数分别为 10-x，10-x，2x-10于是 W=200 x300 x+400(18-2x)800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800 x17200 W=-800 x17200(5x9，x 是整数)由上式可知，W 是随着 x 的增加而减少的，所以当 x=9 时，W 取到最小值 10000 元；当x=5 时，W 取到最大值 132

10、00 元 (2)由题设知，A 市、B 市、C 市发往 D 市的机器台数分别为 x，y，18-x-y，发往 E 市的机器台数分别为 10-x，10-y，xy-10于是 W=200 x+800(10-x)+300y700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)=-500 x-300y+17200 历年全国初中数学竞赛试题及答案 W=-500 x-300y+17200，且 W=-200 x-300(x+y)+17200 -20010-3001817200=9800 当 x=10，y=8 时，W=9800，所以 W 的最小值为 9800又 W=-200 x-300(xy)17200

11、 -2000-30010+17200=14200，当 x=0，y=10 时，W=14200，所以 W 的最大值为 14200 1999 年全国初中数学竞赛试卷 历年全国初中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分每小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个结论，其中只有一个是正确的请将正确答案的代号填在题后的括号里）1一个凸 n 边形的内角和小于 1999，那么 n 的最大值是（）A11 B12 C13 D14 2某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过 60 立方米，按每立方米 0.8元收费；如果超过 60 立方米，超过部分按每立方米 1.2

12、元收费已知某用户 4 月份的煤气费平均每立方米 0.88 元，那么 4 月份该用户应交煤气费（）A60 元 B66 元 C75 元 D78 元 3已知，那么代数式的值为（）A B C D 4在三角形 ABC 中，D 是边 BC 上的一点，已知 AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（）A30 B36 C72 D125 5如果抛物线与 x 轴的交点为 A，B，项点为 C，那么三角形 ABC的面积的最小值是（）A1 B2 C3 D4 6 在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得PCD 与BCD 的面积相等，并且ABP为等腰三角形，这样的不同的点 P 的个数为（

13、）A2 B3 C4 D5 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）7 已知，那么x2+y2的 值为 8如图 1，正方形 ABCD 的边长为 10cm，点 E 在边 CB 的延长线上，且 EB=10cm，点 P 在边 DC 上运动，EP 与 AB 的交点为 F 设 DP=xcm，EFB 与四边形 AFPD 的面积和为 ycm2，那么，y 与 x 之间的函数关系式是 （0 x10）历年全国初中数学竞赛试题及答案 9已知 ab0，a2+ab2b2=0，那么的值为 10如图 2，已知边长为 1 的正方形 OABC 在直角坐标系中，A，B 两点在第象限内，OA与 x 轴的夹角为 3

14、0，那么点 B 的坐标是 11设有一个边长为 1 的正三角形，记作 A1（如图 3），将 A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作 A2（如图 4）；将 A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A3（如图 5）；再将 A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A4，那么 A4的周长是 12江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等如果用两 台抽水机抽水，40 分钟可抽完；如果用 4 台抽水机抽水，16 分钟可抽完如果要在 10 分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台 三、解答题（本题共 3 小题，每小题

15、20 分，满分 60 分）13设实数 s，t 分别满足 19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0，并且 st1，求的值 历年全国初中数学竞赛试题及答案 14如图 6，已知四边形 ABCD 内接于直径为 3 的圆 O，对角线 AC 是直径，对角线 AC 和BD 的交点是 P，AB=BD，且 PC=0.6，求四边形 ABCD 的周长 15有人编了一个程序：从 1 开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加 2 或加 3；每次乘法，将上次的运算结果乘 2 或乘 3 例如，30 可以这样得到：（1）（10 分）证明：可以得到 22；（2）（10 分）

16、证明：可以得到 2100+2972 1999 年全国初中数学竞赛答案 一、1C 2B 3D 4B 5A 6D 二、710 8y=5x+50 9 10 11 126 三、13解：s0，第一个等式可以变形为：又st1，t 是一元二次方程 x2+99x+19=0 的两个不同的实根，于是，有 即 st+1=99s，t=19s 历年全国初中数学竞赛试题及答案 14解：设圆心为 O，连接 BO 并延长交 AD 于 H AB=BD，O 是圆心，BHAD 又ADC=90，BHCD 从而OPBCPD ，CD=1 于是 AD=又 OH=CD=，于是 AB=，BC=所以，四边形 ABCD 的周长为 15证明：（1）

17、也可以倒过来考虑：（或者）（2）或倒过来考虑：历年全国初中数学竞赛试题及答案 注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分 2000 年全国初中数学竞赛试题解答 一、选择题（只有一个结论正确）1、设 a，b，c 的平均数为 M，a，b 的平均数为 N，N，c 的平均数为 P，若 abc，则 M 与 P 的大小关系是（）。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不确定。历年全国初中数学竞赛试题及答案 答：（B）。M3cba，N2ba，P222cbacN，MP122cba，abc，122cba0122ccc，即 MP0，即 MP。2、某人骑车沿直线旅行，先前进了 a 千米，休息了一段时间，又原路返

18、回 b 千米（ba），再前进 c 千米，则此人离起点的距离 S 与时间 t 的关系示意图是（）。答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后 S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。3、甲是乙现在的年龄时，乙 10 岁；乙是甲现在的年龄时，甲 25 岁，那么（）。（A）甲比乙大 5 岁；（B）甲比乙大 10 岁；（C）乙比甲大 10 岁；（D）乙比甲大 5 岁。答：（A）。由题意知 3（甲乙）2510，甲乙 5。4、一个一次函数图象与直线y=49545x平行，与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，并且过点

19、（1，25），则在线段 AB 上（包括端点 A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。（A）4 个；（B）5 个；（C）6 个；（D）7 个。答：（B）。在直线 AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是 x14N，y255N，（N 是整数）在线段 AB 上这样的点应满足14N0，且255N0，41N5，即 N1，2，3，4，5。历年全国初中数学竞赛试题及答案 5、设 a，b，c 分别是ABC 的三边的长，且cbababa，则它的内角A、B的关系是（）。（A）B2A；（B）B2A；（C）B2A；（D）不确定。答：（B）。由cbababa得cabba，延长 CB 至 D，使 BDAB，于是 CDa+

20、c，在ABC 与DAC 中，C 为公共角，且 BC:ACAC:DC，ABCDAC，BACD，BADD，ABCDBAD2D2BAC。6、已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，面积为 S，A1B1C1的三边长分别为 a1，b1,C1面积为 S1，且 aa1，bb1，cc1则 S 与 S1的大小关系一定是（）。（A）SS1；（B）SS1；（C）SS1；（D）不确定。答：（D）。分别构造ABC 与A1B1C1如下：作ABCA1B1C1，显然，即 SS1；设，则，S10，则 S110010，即 SS1；设，则，S10，则，S110，即 SS1；因此，S 与 S1的大小关系不确定。二、填空题 历年全国初

21、中数学竞赛试题及答案 7、已知：，那么_。答：1。，即。8、如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，AB8，BC6，BCD45，BAD120，则梯形 ABCD 的面积等于_。答：666（平方单位）。作 AE、BF 垂直于 DC，垂足分别为 E、F，由 BC6，BCD45，得 AEBFFC6。由BAD120，得DAE30，因为 AE6得 DE2，ABEF8，DC286142，。9、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_个。历年全国初中数学竞赛试题及答案 答：5。当时，；当时，易知是方程的一个整数根，再由且是整数，知，；由、得符合条件的整数有 5 个。10、如图，工地上竖立着两根电线杆

22、AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上高出地面 4 米、6 米的 A、C 处，向两侧地面上的 E、D；B、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为_米。答：2.4 米。作 PQBD 于 Q，设 BQ米，QD米，PQ米，由 ABPQCD，得及，两式相加得，由此得米。即点 P离地面的高度为 2.4 米。（注：由上述解法知，AB、CD 之间相距多远，与题目结论无关。）11、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（15，6），直线恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分，那么_。答：。直线通过点 D（15，5），故 BD1

23、。当时，直线通过，两点，则它恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分。历年全国初中数学竞赛试题及答案 12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.4，使得利润率增加了 8 个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是 _。（注：100）答：17。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为100，原进价降低 6.4后，在销售时的利润率为100，依题意得：1008100，解得1.17，故这种商品原来的利润率为10017。三、解答题 13、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。（1）若，求的值。（2）求的最大值。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以，。根据题设

24、，有。历年全国初中数学竞赛试题及答案（1）因为，即。由于，故。（2）。设上是递减的，所以当时，取最大值 10。故的最大值为 10。历年全国初中数学竞赛试题及答案 14、如上图：已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为 E，AEEC，AB2AE，且 BD23，求四边形 ABCD 的面积。解：由题设得 AB22AE2AEAC，AB:ACAE:AB，又EABBAC，ABEACB，ABEACB，从而 ABAD。连结 AD，交 BD 于 H，则 BHHD3。OH1，AHOAOH211。，E 是 AC 的中点，。15、一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次

25、最多能容纳 32 人，而且只能在第 2 层至第 33 层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意。现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解：易知，这 32 个人恰好是第 2 至第 33 层各住 1 人。历年全国初中数学竞赛试题及答案 对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，。交换两人上

26、楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：设电梯停在第层。当时，若住第 s 层的人乘电梯，而住第 t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。当时，若住第 s 层的人乘电梯，而住第 t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。当时，若住第 s 层的人乘电梯，而住第 t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者

27、多。当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。历年全国初中数学竞赛试题及答案 今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：当 x27，y6 时，s316。所以，当电梯停在第 27 层时，这 32 个人不满意的总分达到最小，最小值为 316分。2001 年 TI 杯全国初中数学竞赛试题 B 卷 姓名 一、选择题（30 分）历年全国初中数学竞赛试题及答案 1、化简)2(2)2(2234nnn，得（）（A）8121n (B)12n (C)87 (D)47 2、如果cba,是三个任意整数，那么2

28、,2,2accbba （）（A）都不是整数 （B）至少有两个整数 （C）至少有一个整数 （D）都是整数 3、如果ba,是质数，且,013,01322mbbmaa那么baab的值为（）（A）22123 （B）222125或 （C）22125 （D）222123或 4、如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、1 2 下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12 3 4 5、如图，若 PA=PB，APB=2ACB，AC 与 PB 交于点 D,且 PB=4，PD=3，则 ADDC 等于（）P （A）6 （B）7 （C）12 （D）16 D C A B 6、

29、若ba,是正数，且满足)111)(111(12345ba，则ba和之间的大小关系是（）（A）ba （B）ba （C）ba （D）不能确定 二、填空题（30 分）历年全国初中数学竞赛试题及答案 7、已知：2323,2323yx。那么22yxxy 8、若,28,1422xxyyyxyx则yx 的值为 9、用长为 1，4，4，5 的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于 10、销售某种商品，如果单价上涨m，则售出的数量就将减少150m。为了使该商品的销售总金额最大，那么m的值应该确定为 11、在直角坐标系xOy中，x轴上的动点 M（x，0）到定点 P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为 MP 和 M

30、Q，那么当 MP+MQ 取最小值时，点 M 的横坐标x 12、已知实数ba,满足2222,1baabtbaba且，那么t 的取值范围是 三、解答题（60 分）13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击 10 次。在第 6、第 7、第 8、第 9 次射击中，分别得了 9.0 环、8.4 环、8.1 环、9.3环。他的前 9 次射击所得的平均环数高于前 5 次射击所得的平均环数。如果他要使 10 次射击的平均环数超过 8.8 环。那么他在第 10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到 0.1 环）历年全国初中数学竞赛试题及答案 14、如图，已知点 P 是O 外一点，PS、PT 是O

31、 的两条切线，过点 P 作O 的割线 PAB，交O 于 A,B 两点，并交 ST 于点 C。求证：)11(211PBPAPC.P S A C O T 15、已知：关于 x 的方程 011)1)(72()1)(1(22xxaxxa 有实根。（1）求a取值范围；（2）若原方程的两个实数根为21,xx，且113112211xxxx，求a的值。,2002 年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1、设 ab0，a2b24ab，则baba的值为 A、3 B、6 C、2 D、3 2、已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式 a2b2c2ab

32、bcca 的值为 历年全国初中数学竞赛试题及答案 A、0 B、1 C、2 D、3 3、如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、CE 交于点 G，则ABCDAGCDSS矩形四边形等于 A、65 B、54 C、43 D、32 4、设 a、b、c 为实数，xa22b3，yb22c3，zc22a3，则 x、y、z 中至少有一个值 A、大于 0 B、等于 0 C、不大于 0 D、小于 0 5、设关于 x 的方程 ax2(a2)x9a0，有两个不等的实数根 x1、x2，且 x11x2，那么 a的取值范围是 A、72a52 B、a52 C、a72 D、112a0 6、A1

33、A2A3A9是一个正九边形，A1A2a，A1A3b，则 A1A5等于 A、22ba B、22baba C、ba 21 D、ab 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）7、设 x1、x2是关于 x 的一元二次方程 x2axa2 的两个实数根，则(x12x2)(x22x1)的最大值为 。8、已知 a、b 为抛物线 y(xc)(xcd)2 与 x 轴交点的横坐标，ab，则bcca的值为 。9、如图，在ABC 中，ABC600，点 P 是ABC 内的一点，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，则 PB 。ABCDEFGABCPABOOOO1234O 历年全国初中数学竞赛试题及答案 10、如图

34、，大圆 O 的直径 ABacm，分别以 OA、OA 为直径作O1、O2，并在O 与O1和O2的空隙间作两个等圆O3和O4，这些圆互相内切或外切，则四边形 O1O2O3O4的面积为 cm2。11、满足(n2n1)n21 的整数 n 有 _个。12、某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过 d%，则 d 可以用 p 表示为 。三、解答题（每小题 20 分，共 60 分）13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，522天完成，需付 180000 元；由乙、丙两队承包，433天完成，需付 150000 元；由甲、丙两队承包，762天完成，需付 160

35、000 元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？14、如图，圆内接六边形 ABCDEF 满足 ABCDEF，且对角线 AD、BE、CF 交于一点Q，设 AD 与 CE 的交点为 P。（1）求证：ECACEDQD（2）求证：22CEACPECP 15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2bxc的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c 都是整数；（2）a、b、c 都是整数，并且 c 是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的 x的整数值，x 的二次三项式 ax2bxc 的值都是平方数？2003 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试

36、题 ABCDEFPQ 历年全国初中数学竞赛试题及答案 一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分.以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.请将正确结论的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填，得零分）1若 4x3y6z=0，x+2y7z=0(xyz0)，则222222103225zyxzyx的值等于().(A)21 (B)219 (C)15 (D)13 2在本埠投寄平信，每封信质量不超过 20g 时付邮费 0.80 元，超过 20g 而不超过 40g 时付邮费 1.60 元，依次类推，每增加 20g 需增加邮费 0.80 元（信的质量在 100g 以

37、内）。如果所寄一封信的质量为 72.5g，那么应付邮费().(A)2.4 元 (B)2.8 元 (C)3 元 (D)3.2 元 3如下图所示，A+B+C+D+E+F+G=（）.(A)360 (B)450 (C)540 (D)720 4四条线段的长分别为 9，5，x，1（其中 x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且 AB 与 CD 是其中的两条线段（如上图），则 x 可取值的个数为（）.(A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)6 个 5某校初三两个毕业班的学生和教师共 100 人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数3），且要求各行的人数必须是连续的自

38、然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有().(A)1 种 (B)2 种 (C)4 种 (D)0 种 二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）6已知31x，那么2141212xxx .O C D A B A B C D E F G（第 3 题图）（第 4 题图）历年全国初中数学竞赛试题及答案 7 若实数 x，y，z 满足41yx，11zy，371xz，则 xyz 的值为 .8观察下列图形：根据图、的规律，图中三角形的个数为 .9如图所示，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC上，如果CD与地

39、面成45，A=60 CD=4m，BC=2264m，则电线杆 AB 的长为_m.10已知二次函数cbxaxy2（其中a 是正整数）的图象经 过点 A（1，4）与点 B（2，1），并且与 x 轴有两个不同的交点，则 b+c 的最大值为 .三、解答题（共 4 题，每小题 15 分，满分 60 分）11如图所示，已知AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，OC 平行于弦 AD，过点 D 作 DEAB 于点 E，连结 AC，与 DE 交于点 P.问 EP 与 PD 是否相等？证明你的结论.解：A D B C P D O C A B E（第 9 题图）历年全国初中数学竞赛试题及答案 12某人租用一辆汽车由

40、 A 城前往 B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为 80 千米/小时，而汽车每行驶 1 千米需要的平均费用为 1.2 元.试指出此人从 A城出发到 B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：9 18 12 17 6 14 15 7 11 10 13 5 O B C D E A F G H(第 11 题图)(第 12 题图)历年全国初中数学竞赛试题及答案 13B如图所示，在ABC 中，ACB=90.（1）当点 D 在斜边 AB 内部时，求证：ABBDADBCBDCD222.（2）当点 D 与点 A 重合时，第（

41、1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点 D 在 BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.14B已知实数 a，b，c 满足：a+b+c=2，abc=4.（1）求 a，b，c 中的最大者的最小值；（2）求cba的最小值.B A C D(第 13 B 题图)历年全国初中数学竞赛试题及答案 注：13B 和 14B 相对于下面的 13A 和 14A 是较容易的题.13B 和 14B 与前面的 12 个题组成考试卷.后面两页 13A 和 14A 两题可留作考试后的研究题。13A如图所示，O 的直径的长是关于 x 的二次方程0)2(22kxkx（k 是整数）的最大整数根.P

42、是O 外一点，过点 P 作O 的切线 PA 和割线 PBC，其中 A 为切点，点 B，C 是直线 PBC 与O 的交点.若 PA，PB，PC 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求222PCPBPA的值.解：B O P A C(第 13A 题图)历年全国初中数学竞赛试题及答案 14A沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4 个数 a，b，c，d 满足不等式)(cbda0，那么就可以交换b，c 的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数 1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，d，都有)(cbda0？请说明理由.（2）若圆周上从

43、小到大按顺时针方向依次放着 2003个正整数1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，d，都有)(cbda0？请说明理由.解：（1）（2）6 5 3 4 2 1 历年全国初中数学竞赛试题及答案 2003 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 6 分，满分 30 分）1D 由,072,0634zyxzyx 解得.2,3zyzx 代入即得.2D 因为 20372.5204，所以根据题意，可知需付邮费 0.84=3.2（元）.3C 如图所示，B+BMN+E+G=360，FNM+F+A+C=360，而BMN

44、+FNM=D180，所以 A+B+C+D+E+F+G=540.4D 显然 AB 是四条线段中最长的，故 AB=9 或 AB=x。（1）若 AB=9，当 CD=x 时，222)51(9 x，53x；当 CD=5 时，222)1(59x，1142x；N M A B C D E F G O C D A B(第 3 题图)(第 4 题图)历年全国初中数学竞赛试题及答案 当 CD=1 时，222)5(19x，554x.（2）若 AB=x，当 CD=9 时，222)51(9x，133x；当 CD=5 时，222)91(5x，55x；当 CD=1 时，222)95(1x，197x.故 x 可取值的个数为6

45、个.5B 设最后一排有 k 个人，共有 n 排，那么从后往前各排的人数分别为 k，k+1，k+2，k+（n1），由题意可知1002)1(nnkn，即20012 nkn.因为 k，n 都是正整数，且 n3，所以 n0，且 b+c=2-a，abc4.于是 b，c 是一元二次方程04)2(2axax的两实根，aa44)2(20，164423aaa0，)4)(4(2aa0.所以 a4.（8 分）又当 a=4，b=c=-1 时，满足题意.故 a，b，c 中最大者的最小值为4.（10 分）（2）因为 abc0，所以 a，b，c 为全大于0 或一正二负.A B C D E 历年全国初中数学竞赛试题及答案 1

46、）若 a，b，c 均大于 0，则由（1）知，a，b，c 中的最大者不小于 4，这与a+b+c=2 矛盾.2）若 a，b，c 为或一正二负，设a0，b0，c0，那么就可以交换b，c 的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数 1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，d，都有)(cbda0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着 2003个正整数1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，d，都有)(cbda0？请说明理由.历年全国初中数学竞赛试题及答案 解：（1）答案是

47、肯定的.具体操作如下：（5 分）（2）答案是肯定的.考虑这 2003 个数的相邻两数乘积之和为P.（7 分）开始时，0P=12+23+34+20022003+20031，经过 k（k0）次操作后，这 2003 个数的相邻两数乘积之和为kP，此时若圆周上依次相连的 4 个数 a，b，c，d 满足不等式)(cbda0，即 ab+cdac+bd，交换 b，c 的位置后，这 2003个数的相邻两数乘积之和为1kP，有 0)()(1cdabbdaccdbcabbdcbacPPkk.所以11kkPP，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少 1，由于相邻两数乘积总大于 0，故经过有限次操作后，对任意依次相连

48、的 4 个数 a，b，c，d，一定有)(cbda0.(14)(23)0 交换 2，3 1 3 2 4 5 6 1 3 2 4 5 6 1 3 2 4 5 6(12)(34)0 交换 3，4 1 3 2 4 5 6(36)(25)0 交换 2，5 1 3 2 4 5 6(35)(24)0 交换 2，4 历年全国初中数学竞赛试题及答案 2004 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 参考答案和评分标准 一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错

49、填得零分）1.已 知 实 数ba，且 满 足)1(33)1(2aa，2)1(3)1(3bb.则baaabb的值为（）.（A）23 （B）23 （C）2 （D）13 答：选（B）a、b 是关于 x 的方程 03)1(312xx 的两个根，整理此方程，得 0152 xx，0425，5ba，1ab.故 a、b 均为负数.因此 232222ababbaababbaabbaababbaaabb.2.若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有 （）.（A）2hab （B）hba111 （C）222111hba （D）2222hba 答：选（C）0 ha，0 hb，2hab，222

50、222hhhba；因此，结论（A）、（D）显然不正确.设斜边为c，则有cba，abchhba2121)(21，即有 历年全国初中数学竞赛试题及答案 hba111，因此，结论（B）也不正确.由abhba212122化简整理后，得222111hba，因此结论（C）是正确的.3一条抛物线cbxaxy2的顶点为（4，11），且与 x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则 a、b、c 中为正数的（）.（A）只有a （B）只有b （C）只有c （D）只有a和b 答：选（A）由顶点为（4，11），抛物线交 x 轴于两点，知 a0.设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标为1x，2x，即为方程 02cbxax 的两