熊宝宝概率统计期末复习参考资料.docx

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1、熊宝宝概率统计期末复习参考资料（这份资料，请大家慎传，只在我们班级（小熊老师）中流传）考试不考内容（课上没有讲的或自学的内容不作为考试内容，如下：）概率论部分P110协方差矩阵P122 定理二数理统计部分P130 6. 2直方图与箱线图P137经验分布函数P143定理四P156 7. 2基于截尾样本的最大似然估计P168 7.6 （0 1）分布参数的区间估计P165、P184、P191涉及双正态总体参数的置信区间和假设检验P192 8. 4及之后的所有内容二、考试各章要点总结（粗体*和红色部分希望大家着重注意，你们懂得）第一章概率论的基本概念1 .事件间的关系及运算、概率的公理化定义及性质。2

2、 ,古典概型的概率计算。3 .条件概率公式，乘法公式，全概率公式及贝叶斯公式的应用。注：用全概公式及贝叶斯公式时，一定要将事件设出来，并且写出所用公式。4 .事件独立性的定义，会判断事件的独立性，实际问题可根据含义确定独立性，并明确独立与互斥的关系。1 .理解总体、样本的概念，理解样本与样本观察值的区别。2 .统计量的概念及几个常用的统计量。3 .掌握/分布，t分布，F分布的构造背景，及密度函数图像特点、性质及 分位点的确定，并会判断样本函数所服从的分布。4 .掌握单正态总体的抽样分布定理（前三个定理*第七章参数估计1.求参数的矩估计和最大似然估计（注意区分估计值和估计量）。2估计量的评选标准

3、：无偏、有效，并会判断无偏和有效。3.单正态总体参数的区间估计。例7.1设X1,X2,X是来自总体X的一个简单随机样本，总体X的密度函数为乌，Ox0,0, 其他 X.求。的矩估计量。例7.2设总体X的概率密度为/（“）=9.，其中是未知参数，0, 其他XhX2,.,Xn为来自总体的一个简单随机样本，Xi, X2,X为样本值，求6的矩估计量和 极大似然估计量.例 7.3 C设（4，%）是参数。的置信度为的区间估计，则以下 结论正确的是（）.（A）参数0落在区间（夕,多）之内的概率为1-;（B）参数0落在区间（劣,）之外的概率为（C）区间（4,）包含参数0的概率为1-二；（D）对不同的样本观测值，

4、区间（4，）的长度相同.例 7.4 -1设4,。&是总体分布中参数o的无偏估计量,0 =疝- 2/+ 3打，当 =时，也。是的无偏估计量.例7.5 2更设总体XN(4, 1), 4是未知参数，%1, %2是样本，则2111= )X1 + 乂2 及 42 = X1 + 2都是的无偏估计，但 有效.例7.6某商店每天每百元投资的利润率XN(,l)服从正态分布，均值为/,长期以来方差。2稳定为1,现随机抽取的100天的利润，样本均值为元=5,试求的置信水平为 95%的置信区间。(S.05(100) = 1.99,(1.96) = 0.975 )E(X) = jxf(x,0)dx = 1%券% =lo

5、 = |9令或 x)= Lx, z=i。的矩估计为A &.7分0-txi2白7.2解：矩估计法jul=E(X) = x(0 + l)xddx =2/ _人 2丫_.0 = -p- A = x = yxi所以 6的矩估计量6=一二1 -1n i=i1 - X最大似然法似然函数 L = fl(l9 + l)xf ， 0xt 1i=iL = fi(6 + 1)婢= (6 + 1) 立婢i=l/=1In L = ln(e +1) + 6, In 巧i=idlnLden + flux：e+i tf dlnLAn得。的最大似然估计值6=1力也巧/=iAn得。的最大似然估计值6=1力也巧/=iAne的最大似

6、然估计量e =1i=7.6因为。已知，且与色N(0,l)b V nX - X - =1-a依题意 a = 0.05, U a =1.96, 7? = 100, b = l, x = 5 ex2则的置信水平为95%的置信区间为依题意 a = 0.05, U a =1.96, 7? = 100, b = l, x = 5 ex2则的置信水平为95%的置信区间为- cy -次一。色 .t，x + U% , 2 , 2即为即为4.801,5.199第八章假设检验1 .假设检验的思路，术语与步骤。2 .显著性水平的意义。3 .两类错误的含义，及两类错误之间的关系。4 .单正态总体参数的假设检验。第八章假

7、设检验5 .假设检验的思路，术语与步骤。6 .显著性水平的意义。7 .两类错误的含义，及两类错误之间的关系。8 .单正态总体参数的假设检验。注：假设检验的步骤要写完整：提出原假设和备择假设；（2）在原假设中等号成立的条件下，写清所选的检验统计量及其分布； （3）对给定的a写出拒绝域； （4）带入样本值计算检验统计量的值，判断是否落入拒绝域，作出拒绝或接受原假设的回答，并按照题目要求回答问题。第二章随机变量及其分布1 .分布函数，分布律，概率密度的定义和性质。2 .常用分布包括0 - 1分布，二项分布，泊松分布，正态分布，均匀分布，指数分布的分 布律或概率密度形式，并会求解有关事件的概率。特别注

8、意，1）每个分布的定义域、如果分段一定要写出不同定义域所对应的密度函数；2）各个分布的数学期望，方差一定要背下来。3 ）注意指数分布的参数形式。4 ）不同分布之间的关系，如0-1分布，二项分布的联系，二项分布和泊松分布的关系等； 5）理解不同分布表征的实际含义，例，泊松分布刻画一定时间一定空间下某个事件发生 的次数；指数分布刻画寿命等等，指数分布具有无记忆性。3.会利用分布律，概率密度或分布函数的性质确定其中未知常数。*即求待定参数例如，设随机变量4的密度函数为p（%） = Ce-2x,%o,则常数C的值为 o,71acosx, |x|s设随机变量X的概率密度2,则夕（工XW）二犯0, 其它6

9、64.4.会求分布函数*5.会求一维随机变量函数Y=g（X）的分布。*0, x -1例.例.设随机变量X的分布函数为尸（x） =0.3, -1 xl0.6, 1 x 2则x的分布律为QCOSX, |X|S、例，设随机变量x的概率密度/x(x)=2,贝1JP(x)二的，则0,其它66兀y=3X+5的概率密度为于丫 (y)=00,其它求随机变量的函数y = 的密度函数/y(y)。解答:Y = ex可能取值范围为1,+00), y的分布函数为4(y) = P(y Wy) = P(e y)3分当y 1时，斗(丁)=。当 y 21时，FY(y)=P(X ny) = Fx (In y)5分则y的密度函数为

10、fY(y) =氏(M刈 09yiyi1= y20V9yi第三章多维随机变量及其分布1.二维离散型随机变量*(1)求联合分布律*(2)求边缘分布律和条件分布律*(3)判断离散型随机变量的独立性。*例3：已知随机变量x和丫的概率分布为_A-101p1ii424而且 pxy=o = i.(i)求随机变量x和y的联合分布; 判断x与y是否相互独立？2 .二维连续型随机变量(1)求边缘概率密度及条件概率密度*(2)求有关的概率，形如*PX1Y = O , PX2Y(3)会判断连续型随机变量的独立性。*例3.2：设二维随机变量(x,y)的联合密度函数为26一(3A4，)，工0,丁0,/(%)= V0,0,

11、其他求：(1)p(oxi,oy2)；(2)求x,y的边缘密度；(3)判断x与y是否 相互独立。3 .会求二维连续型随机变量的函数Z=X+Y的分布。*例3.3设二维随机变量（X, Y）的联合概率密度为/(工 y)=/(工 y)=(2 -0%2,0ylI 0,其他求： 求的边缘概率密度为（。加力 并判断X与丫是否相互独立（说明原因）?(2)求 PX+YV1.例3.4设二维随机变量（X, 丫）的联合概率密度函数为“X，“X，0x 1, 0 y 2x 其它求 常数k； 关于随机变量x、y的边缘概率密度，并判断x,y是否相互独立;0）条件概率密度力|x（，闪；（4）Ry；ix=：； （5）pr|ix|）

12、；（6）随机变量Z=2X-y的概率密度。4 .二维均匀分布的概率密度。设随机向量（X, Y）的分布密度函数为；（x, y） e。了（工 y）= 0,其他其中Sd为区域D的面积，则称（X, Y）服从D上的均匀分布，记为（X, Y）U （D）o图3. 1图3. 1第三章例题解答：3. 1解：因为pxy = o = i,所以pxywo = o（1）根据边缘概率与联合概率之间的关系得出(3)因为 px = o,y = o=o px = opy = o所以 x与y不相互独立3.2解：(1) P(0 X 1,0 y Q一=S八 640xo/y(y) = J /(X, y)dx = J-80yQ(3)因为/

13、(x, y) = fx (x)/r (y) (oo v x +8, 一所以x与y相互独立。io分3. 3解答：4分111=X 二2242分.3 分江8分oo y +oo) A =/(%，外=卜 Q -= J(2 -0x2 其它/y(y) =F(x,y)心=J-002o(2_x)ydx = 2y, 0,Qyl其它因为 A（x）-/y（j）= /（x,j）,所以x与y是相互独立的.(2) PX + ywi = dxj、(2_%)ydy = (2_%)a_X)2dx = A3.4解答fOO 8f I p2xpl1 =1/(内办=。5dx=kj。2xdx=k(2)当0%1 时，fx (x) = idy

14、 = 2x ,0 % b 其它.当 0y2 时，力(y) = J；l 公=1_彳,1 ,0y2,所以力(y)=2o,其它.因为当 Ovxvl, 0y2x 时，/（x）w/；（x）/；（y）,所以 X、丫 不相互独立。当 0xl 时，f (yx = 11 = 2x r|xV 7 AW 0,工O fh 0yl(4)由,7Hyl%=#|o,其它，0 y 2%, 其它.即当x=!时，v服从u（o, i）,所以尸yL|x=3=L。(4)一， f 1 1 r2 P1/2f 1/2 1 V、 3因为中/小J。/=J。目万州二所以“y J|x J 22(6)当0vzv2 时，(z) = P2X-y2X-z =

15、 l-Py2X-zz1 ,0z2,所以z)=20,其它.第四章随机变量的数字特征1 .四个数字特征：期望，方差，协方差，相关系数的定义，性质和相关计算。2 .会求函数的期望和方差。3 .常用分布的期望和方差，包括0 - 1分布，二项分布，泊松分布，正态分布, 均匀分布，指数分布。4 .契比雪夫不等式。5 .随机变量独立性与不相关性的关系。6 .不相关的等价命题及判断。(五个)以下五个命题是等价的：2xy=；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);4D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(XY)=D(X)+D(Y).7 .二维正态分布中的参数的含义及正态分布的有关重要结论。1 )若(

16、X, Y)N夕).可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为 正态分布，即XN (n(2，0；).但是若XN(X，Y)未必是二维正态分布2)对于二维正态随机变量(X, Y), X和Y相互独立的充要条件是参数0 = 03)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布8 .关于期望的应用题，如：求利润期望最大时的最优进货量。例4.1 :设两个相互独立的随机变量X和y分别服从正态分布N(0, 1)和N(l, 1),则(A) PX + Y 0 = -(B) PX + Y 0 = -(C) PX + Y 1 = -(D) PX-Y 0 = -2(D)px-yi = |例4.2.对任意两个随机变量X

17、 和 y,若 E(XY) = E(X)E(F),则().（A）x和y独立（B）x和y不独立(C) D(XY) = D(X)D(Y)(C) D(XY) = D(X)D(Y)(D) D(X + y)= D(X) + D(Y)第五章大数定律及中心极限定理1 .两个大数定律：伯努利大数定律，辛钦大数定律成立的条件与结论。2 .用中心极限定理进行近似计算。*注意：要写出所考虑变量近似服从的正态分布（此处应强调近似即在服从 ”正态分布上写近似，在相应的计算中写丁。）3 .随机变量序列的依概率收敛。例5.1现有一批钢材，其中80%的长度不小于3 m ,现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3 m的钢材不超过30的概率。（计算结果用标准正态分布函数值表示）解:设X为100根钢材小于3m的钢材根数则 X 3(100,0.2)2分E(X) = 100x0.2=20, D(X) = 100x0.2x0.8=163 分由中心极限定理：P(X 30) = 32)V16V16p (2.5) = 0.9938第六章样本及抽样分布